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数学竞赛


考试范围
  一试
  全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。
  二试
  1、平面几何
  基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
  补充要求:面积和面积方

法。
  几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
  几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
  几何不等式。
  简单的等周问题。了解下述定理:
  在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。
  在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。
  在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。
  在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。
  几何中的运动:反射、平移、旋转。
  复数方法、向量方法。
  平面凸集、凸包及应用。
  2、代数
  在一试大纲的基础上另外要求的内容:
  周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。
  三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。
  第二数学归纳法。
  递归,一阶、二阶递归,特征方程法。
  函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。
  n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。
  复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用。
  圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。
  一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。
  简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。
  3、立体几何
  多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
  正多面体,欧拉定理。
  体积证法。
  截面,会作截面、表面展开图。
  4、平面解析几何
  直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。
  二元一次不等式表示的区域。
  三角形的面积公式。
  圆锥曲线的切线和法线。
  圆的幂和根轴。
  5、其它
  抽屉原理。
  容斥原理。
  极端原理。
  集合的划分。
  覆盖。
  梅涅劳斯定理
  梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
  证明:
  过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
  则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
  三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
  它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。
  另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
  为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点,各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩,最后回到出发点,直升机就停在那里等待我们回去。
  我们不必考虑怎样走路程最短,只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点,不能算是“游历”。
  例如直升机降落在A点,我们从A点出发,“游历”了其它五个字母所代表的景点后,最终还要回到出发点A。
  另外还有一个要求,就是同一直线上的三个景点,必须连续游过之后,才能变更到其它直线上的景点。
  从A点出发的旅游方案共有四种,下面逐一说明:
  方案 ① ——从A经过B(不停留)到F(停留),再返回B(停留),再到D(停留),之后经过B(不停留)到C(停留),再到E(停留),最后从E经过C(不停留)回到出发点A。
  按照这个方案,可以写出关系式:
  (AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA)=1。
  现在,您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
  从A点出发的旅游方案还有:
  方案 ② ——可以简记为:A→B→F→D→E→C→A,由此可写出以下公式:
  (AB:BF)*(FD:DE)*(EC:CA)=1。从A出发还可以向“C”方向走,于是有:
  方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A,由此可写出公式:
  (AC:CE)*(ED:DF)*(FB:BA)=1。 从A出发还有最后一个方案:
  方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A,由此写出公式:
  (AE:EC)*(CD:DB)*(BF:FA)=1。
  我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落,因此就有了图中的另外一些公式。
  值得注意的是,有些公式中包含了四项因式,而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时,就会有四项因式。而在C点和F点,既会有三项的公式,也会有四项的公式。公式为四项时,有的景点会游览了两次。
  不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的,只是列出了一两个典型的公式给我们看看。
  还可以从逆时针来看,从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离,以此类推,可得到三个比例,它们的乘积为1.
  现在是否可以说,我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式,不会再写错或是记不住吧。
  一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。
  托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
  原文:圆内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
  从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
[编辑本段]证明
  (以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。)
  在任意四边形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
  因为△ABE∽△ACD
  所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
  又有比例式AB/AC=AE/AD
  而∠BAC=∠DAE
  所以△ABC∽△AED相似.
  BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)
  (1)+(2),得
  AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
  又因为BE+ED≥BD
  (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)
  所以命题得证
[编辑本段]推论
  1.任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
  2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、
[编辑本段]推广
  托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。
  简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,
  得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD
  注意:
  1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。
  2.四点不限于同一平面。
  欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD
  有三角形ABC,平面上有一点P。P在三角形三边上的投影(即由P到边上的垂足)共线(此线称为西姆松线, Simson line)当且仅当P在三角形的外接圆上。
  相关的结果有:
  称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在九点圆上。
  两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
  若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关。
  从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
[编辑本段]证明
  证明一: △ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF.
  易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,(∵都是∠ABP的补角) 且∠PDE=∠PCE
  ② 而∠ACP+∠PCE=180°
  ③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
  ④ 即F、D、E共线. 反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
  证明二: 如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和
  M、P、L、C分别四点共圆,有
  角 PBN = 180 - 角 PLN = 角 PLM = 角 PCM.
  故A、B、P、C四点共圆。
  若A、B、P、C四点共圆,则角 PBN = 角 PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有
  角 PBN = 180 - 角 PLN = 角 PLM = 角 PCM.
  故L、M、N三点共线。
  对于三角形ABC所在平面上任一点O,联结AO、BO、CO并延长之,如果分别交三角形的另一边于P、Q、R,则有,BP/PC·CQ/QA·AR/RB=1
  上述定理的逆命题也成立。
  赛瓦(G·CEVA,1648---1734)定理及其逆定理可用来证明有关三直线共点的问题。
[编辑本段]高中数学竞赛大纲(修订讨论稿)
  中国数学会普及工作委员会制定
  (2006年8月)
  从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联赛以来,在“普及的基础上不断提高”的方针指导下,全国数学竞赛活动方兴未艾,每年一次的数学竞赛吸引了上百万学生参加。1985年我国步入国际数学奥林匹克殿堂,加强了数学课外教育的国际交流,20年来我国已跻身于IMO强国之列。数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣,吸引他们去进行积极的探索,不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。
  为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展,中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《高中数学竞赛大纲》,这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导性作用,我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。
  近年来,新的教学大纲的实施在一定程度上改变了我国中学数学课程的体系、内容和要求。同时,随着国内外数学竞赛活动的发展,对竞赛活动所涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求,原来的《高中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意见和多次讨论, 对《高中数学竞赛大纲》进行了修订。
  本大纲是在《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础上制定的。《全日制普通高级中学数学教学大纲》指出:“要促进每一个学生的发展,既要为所有的学生打好共同基础,也要注意发展学生的个性和特长;……在课内外教学中宜从学生的实际出发,兼顾学习有困难和学有余力的学生,通过多种途径和方法,满足他们的学习需求,发展他们的数学才能 。”
  学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、富有个性的过程,不应只限于接受、记忆、模仿和练习,还应倡导阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式,这些方式有助于发挥学生学习的主动性。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导。教师应引导学生主动地从事数学活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法,获得广泛的数学活动经验。对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生,教师要为他们设置一些选学内容,提供足够的材料,指导他们阅读,发展他们的数学才能。
  教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容,在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。“课堂教学为主,课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此,本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况,使不同程度的学生在数学上得到相应的发展,并且要贯彻“少而精”的原则。
  高中数学联赛
  全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。
  全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展,适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加内容是:
  1.平面几何
  几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;
  三角形旁心、费马点、欧拉线;
  几何不等式;
  几何极值问题;
  几何中的变换:对称、平移、旋转;
  圆的幂和根轴:
  面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
  2.代数
  周期函数,带绝对值的函数;
  三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数;
  递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式;
  第二数学归纳法;
  平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数及其应用;
  复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根;
  多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*;
  n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理;
  函数迭代,求n次迭代*,简单的函数方程*。
  3.初等数论
  同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余系,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法*,欧拉定理*,孙子定理*。
  4.组合问题
  圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式;
  组合计数,组合几何;
  抽屉原理;
  容斥原理;
  极端原理;
  图论问题;
  集合的划分;
  覆盖;
  平面凸集、凸包及应用*。

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