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广西南宁二中2012届高三10月月考试题数学理

时间:2011-10-16


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广西南宁二中 2012 届高三 10 月月考试题 数学(理)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
P,那么 n 次独立重复试验中恰好

发生 k

正棱锥、圆锥的侧面积公式 1 S 锥侧 = cl 2 其中 c 表示底面周长,l 表示斜高或母线长 球的体积公式
4 V球 = πR 3 3

次的概率 Pn ( k ) = C n P (1 ? P )
k k

n?k

其中 R 表示球的半径

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题的四个选项中只有一项符合 题目要求)
1.定义 A ? B = {x | x ∈ A且x ? B} ,若 M = {1, 2, 3, 4,5}, N = {2, 3, 6}, 则 N-M=( A .M B.N C.{1,4,5} D.{6}



2 . P :{an } 是 等 比 数 列 ( q为{an }的公比) , Q :{an } 的 前 n 项 和 为 S n =

α1 (1 ? q n )
1? q




a1q ≠ 0 ,则 P 是 Q



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 3.下列命题中正确的是 A.一条直线至多与两条异面直线中的一条平行 B.垂直于同一平面的两个平面必平行 C.平行于同一平面的两条直线必平行 D.一条直线至多与两条相交直线中的一条垂直 4.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,现将这 4 人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人 不能相邻,则不同的排法共有( )种 ( ) A.4 B .6 C .8 D.16 5.设 a = ( ) , b = ( ) , c = log 3 (log 3 4) 则
0.5 0.4 4

3 4

4 3

A. c < a < b

( ) B. a < b < c

C. c < b < a

D. a < c < b

6.若 sin 2α =

2 4 4 ,则 sin α + cos α 的值是 2

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( A.



1 2

B.

3 5

C.

2? 2 2

D.

3 4

7.若 (3 x ?

1 n ) 的展开式各项系数的和为 64,则展开式中的常数项为 x
( ) B.-162 C.162 D.540

A.-540

8.若函数 f ( x ) 存在反函数 f ?1 ( x ) ,且函数 f ( x ) 图象在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为

2 x ? y + 1 = 0 , 则 函 数 f ?1 ( x) 的 图 象 在 点 ( f ( x0 ), x0 ) 处 的 切 线 方 程 为
( A. 2 x ? y + 1 = 0 ) C. x ? 2 y + 1 = 0 D. x + y ? 1 = 0 2 B. x ? 2 y ? 1 = 0

9.已知 A( ?3, 0), B (0, 3) ,O 为坐标原点,点 C 在 ∠AOB 内,且 ∠AOC = 60° ,设

uuur uuu uuu r r OC = λ OA + OB (λ ∈ R ) ,则 λ 等于
( A. ) C.

3 3

B. 3

1 3

D.3

10 . 已 知 f ( x ) 为 偶 函 数 , 且 f (2 + x ) = f (2 ? x ) , 当 ?2 ≤ x ≤ 0 时 ,

f ( x) = 2 x 若n ∈ N * , an = f (n) ,则 a2011 =
( A.2011 ) C.

B.-2011

1 4

D.

1 2

11.设双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F,右准线 l 与两条渐近线交于 P,Q 两 a2 b2

点,如果 ?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率为 ( A.2 ) C. 2 D.

B. 3

3 3

12.如果关于 x 的方程 ax +

1 = 3 正实数解有且仅有一个,那么实数 a 的取值范围为 x2
) B. {a | a ≤ 0或a = 2}

( A. {a | a ≤ 0}

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C. {a | a ≥ 0}

D. {a | a ≥ 0或a = ?2}

二、填空题: (本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) 13.函数 y = 2sin x 的图象按向量 a 平移后得到的图象解析式为 y = 2sin( x +

r

π
3

) ? 1 ,则平

r
移向量 a 的坐标为 。

?x ? 2 ≤ 0 ? 14.已知实数 x,y 满足 ? y ? 1 ≤ 0 ,则 x ? y 的取值范围是 ?x + 2 y ? 2 ≥ 0 ?



15. 已知 ?ABC 的三个顶点在同一球面上, ∠BAC = 90°, AB=AC=2, 若 球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则该球的半径为 。

2 16.过抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点 F 作一条斜率大于 0 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两

点,若在抛物线的准线上存在点 P,使 ?PAB 是等边三角形,则直线 l 的斜率等 于 。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 对边长分别是 a,b,c,已知 c = 2, C = (I)若 ?ABC 的面积等于 3, 求a, b; (II)若 sin C + sin( B ? A) = 2sin 2 A, 求?ABC 的面积。

π
3

.

18. (本小题满分 12 分) 一射击测试每人射击三次,甲每击中目档一次记 10 分,没有击中记分 0 分,每次 击中目标的概率 . 乙每击中目标一次记 20 分,没有击中记 0 分,每次击中目标的概率 为 . (I)求甲得 20 分的概率; (II)求甲乙两人得分相同的概率。

2 3

1 3

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19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB ⊥ BC , P 为 A1C1 的中点,AB=BC=kPA。 (I)当 k=1 时,求证: PA ⊥ B1C ; (II)当 k 为何值时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 A—PC—B 的余弦值。

1 ,并求此时二面角 4

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 an = 2an ?1 + 2 ( n ≥ 2), 且a1 = 2.
n

(I)设 bn =

an ,求证数列 {bn } 为等差数列; 2n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) =

x3 + ax 2 ? (2a + 1) x. 3

(I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)对满足 ?1 ≤ a ≤ 1 的 a 一切的值,都有 f '( x ) > 0 ,求实数 x 的取值范围。

22. (本小题满分 12 分)

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已知椭圆

x2 y2 π + 2 = 1 的右准线是 x=1, 倾斜角 α = 的直线 l 交椭圆于 A、 两点, B 2 a b 4
1 1 , ). 2 4
2 2

AB 的中点为 M ( ?

(I)求椭圆的方程; (II)若 P、Q 是椭圆上满足 | OP | + | OQ | =

3 的点,若直线 OQ、OQ 的斜率分别为 4

kOP , kOQ ,求证: | kOP ? kOQ | 是定值。

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