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2017届高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.1 简单几何体、直观图与三视图课件 理


第七章 立体几何

第一节

简单几何体、直观图与三视图

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能

运用这些特征描述现实生活

中简单物体的结构; 2.能画出简单空间图形(长 方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图 所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图; 3.会画简单空间图 形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式; 4.会画某些建筑物 的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要 求) 。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.简单几何体 (1)简单旋转体的结构特征: ①圆柱可以由 矩形 绕其任一边旋转得到; ②圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 旋转得到;

上下底边中点连线 ③圆台可以由直角梯形绕 直角腰 或等腰梯形绕___________________
旋转得到,也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到; ④球可以由半圆或圆绕 直径 旋转得到。

(2)简单多面体的结构特征:
①棱柱的侧棱都 平行且相等 ,上下底面是 全等 ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个 公共点 的多边形; 的三角形;

③棱台可由
相似 多边形。 _________

平行于棱锥底面

的平面截棱锥得到,其上下底面是

2.直观图

(1)平面图形直观图的画法
①在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观图时,它们分别对应x′轴 和y′轴,两轴交于点O′,使∠x′O′y′= 水平平面 示 。 平行于 x′轴和y′轴的线段。 ________ 45°(或 135°) ,它们确定的平面表

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成

③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变 ;平行于 1 原来的2 y轴的线段,长度为______________ 。

(2)立体图形直观图的画法

立体图形与平面图形相比多了一个 z 轴,其直观图中对应于 z 轴的是 水平 _______ 平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示 平 z′轴 ,平面x′O′y′表示
直立 面,平行于 z轴的线段,在直观图中 长度 和 平行性 都不变。

3.三视图

(1)几何体的三视图包括 主 视图、 左 视图、 俯 视图,分别是从 几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几何体画出的轮廓线。
(2)绘制三视图时,要注意:

①主、俯视图

长对正

;主、左视图

高平齐

;俯、左视图

_________ 宽相等 ,前后对应。 ②在三视图中,需要画出所有的轮廓线,其中,视线所见的轮廓线画 实线 ,看不见的轮廓线画 ________ 虚线 。 ③同一物体放置的位置不同,所画得三视图可能不同。 ④清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的组成

方式,特别是它们的 交线

位置。

基 础 自 测
[判一判] (1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱。( × ) 解析 错误。因为侧棱不一定与底面垂直。 (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥。( × ) 解析 错误。尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角

形,但不能保证三角形具有公共顶点,如图。

(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱。( × ) 解析 错误。因为两个平行截面不能保证与底面平行。 (4)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y

轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°。( × )
解析 错误。∠A应为45°或135°。 (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同。( × )

解析

错误。正方体的三视图由于主视的方向不同,其三视图的形状

可能不同,圆锥的左视图与俯视图显然不相同。

[练一练] 1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体 一定是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体

解析

当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角

形,只有球满足任意截面都是圆面。 答案 C

2.某空间几何体的主视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 C.四面体 解析 B.圆锥 D.三棱柱

)

因为圆锥、四面体、三棱柱的主视图均可以是三角形,而圆

柱无论从哪个方向看均不可能是三角形。

答案 A

3.如图所示的几何体是棱柱的有(

)


A.②③⑤ C.③⑤




B.③④⑤ D.①③





解析 由棱柱的定义可知选项C正确。

答案 C

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(

)

A.

B.

C.

D.

解析 由三视图中的俯视图知,几何体上部为圆台,下部为圆柱。

答案 D

5.利用斜二测画法得到的:

①正方形的直观图一定是菱形;②菱形的直观图一定是菱形;③三角
形的直观图一定是三角形。 ③ 以上结论正确的是________ 。 解析 ①中其直观图是一般的平行四边形,②菱形的直观图不一定是 菱形,③正确。

R

热点命题

深度剖析

考点一

简单几何体的结构特征
)

【例1】 (1)下列说法正确的是(

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

【解析】

选项A错,如图1;选项B正确,如图2,其中底面ABCD

是矩形,可证明∠PAB,∠PCB都是直角,这样四个侧面都是直角三角 形;选项C错,如图3;D错,由棱台的定义知,其侧棱延长后必相交于 同一点。

图1
【答案】 B

图2

图3

(2)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的 母线;

②底面是矩形的平行六面体是长方体;
③一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等。 其中正确命题的个数是( A .0 【解析】 B.1 ) C.2 D.3

①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②

不一定,因为侧棱与底面可能不垂直;③不一定,必须用平行于圆锥底
面的平面截圆锥才可以;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平 行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等。

【答案】 A

【规律方法】 空间几何体结构特征有关问题的解答技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条 件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加 线、面等基本元素,然后再依据题意判定。 (2)通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只 要举出一个反例即可。

变式训练1 (1)下列结论正确的是(

)

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形 成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱 锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析

(1)A错,如图 1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几

何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥; B错误,如图 2 ,若 △ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边, 所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它 是正六棱锥。易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾。

答案 D

(2)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧 棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 )

解析 如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相 等,则其腰与底面所成角相等,即命题A正确;底面四边形必有一个外

接圆,即命题C正确;在高线上可以找到一个点O,使得该点到四棱锥
各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即命题D正确;但四 棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)。故

仅命题B为假命题。

答案 B

考点二

简单几何体的直观图
有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直

【例2】

观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这 2 2 + 块菜地的面积为________ 2 。

【解析】 如图,在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为点 E, 2 则在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45° ,∴BE= 2 。 而四边形 AECD 为矩形,AD=1, 2 ∴EC=AD=1。∴BC=BE+EC= 2 +1。

由此可还原原图形如图。

在原图形中,A′D′=1,A′B′=2, 2 B′C′= 2 +1,且 A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′, ∴这块菜地的面积为 1 S=2(A′D′+B′C′)· A′B′ 1 2 2 =2×(1+1+ 2 )×2=2+ 2 。

【规律方法】
度减半。”

(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段。“平

行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y轴的线段平行性不变,长 (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积 有以下关系:

S 直观图=

2 S ,S 原图形=2 2S 直观图。 4 原图形

变式训练 2 x′轴的距离为(

下图为水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系 xOy 中 )

点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到

1 A. 2 C.1

2 B. 2 D. 2

解析 如图,在平面直观图中,

B′C′=1,∠B′C′D′=45°,

2 ∴B′D′= 2 。 答案 B

考点三

简单几何体的三视图

简单几何体的三视图是每年高考的热点内容,题型多为选择题或填空 题,难度适中,属中低档题。主要有以下几个命题角度:

角度一:由空间几何体的直观图判断三视图

1.一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

A.

B.

C.

D.

解析 正确。

俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何体可知选项 B

答案 B

2.(2016·厦门模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1
的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何 体的左视图为( )

解析

设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,则F是棱DD1的

中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图

应选C。

答案 C

角度二:由空间几何体的三视图还原出几何体的形状
3.(2016·郑州模拟 )若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 直观图可以是( )

解析

A,B的主视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求,故

选 D。
答案 D

4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的
三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

A.6 2 C.4 2

B.6 D.4

解析

如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为4。取B1B的中

点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,

D1G= 答案 B

?4 2?2+22=6。

【规律方法】 (1)根据几何体确认三视图的技巧 由实物图画三视图或判断选择三视图,符合“主左一样高,主俯一样 长,俯左一样宽”的特点,同时要注意虚、实线的区别。

(2)根据三视图还原几何体的技巧策略
①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉;②明确三视图的形成原理,并 能结合空间想象将三视图还原为直观图;③遵循“长对正、高平齐、宽相

等”的原则。

S

思想方法

感悟提升

⊙2个注意点——画三视图时应注意的两个问题 (1)确定主视、左视、俯视的方向,观察同一物体方向不同,所画的三 视图也不同。 (2)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的,并注意它们的组成 方式,特别是它们的交线位置。

⊙3条规则——画三视图时应遵循的三条规则
(1)画法规则:“长对正,宽相等,高平齐”。 (2)摆放规则:左视图在主视图的右侧,俯视图在主视图的正下方。

(3)实虚线的画法规则:可见轮廊线和棱用实线画出,不可见线和棱用
虚线画出。


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