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19.2.3 一次函数与方程、不等式(第2课时)

时间:2017-02-07


19.2.3 一次函数与方程、不等式 (第2课时)

1. 理解解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值 大于(或小于)0时,求自变量相应的取值范围. 2.会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集. 3. 加深理解数形结合思想.

我们来看下面两个问题有什么关系?
1.解不等式5x+6>3x+10. 2.当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0? 在问题1中,不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0, 解这个不等式得x>2. 解问题2就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时函数 y=2x-4的值大于0. 因此这两个问题实际上是同一个问题.

【想一想】
那么,是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次
函数的相关问题呢?它在函数图象上的表现是什么?如何 通过函数图象来求解一元一次不等式? 观察函数y=2x-4 的图象 , 可以看出: 当x>2时,直线y=2x-4上的点全在 x轴上方,即这时y=2x-4>0.

【归纳】
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或 ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次 不等式可以看作:当一次函数的函数值大于(或小于)

0时,求相应自变量的取值范围.

【例题】
【例1】用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10. 解法1:原不等式化为3x –6<0,

画出直线y = 3x -6(如图)
可以看出,当x<2 时,这条直线上

的点都在x轴的下方,
即这时y = 3x -6 <0 所以不等式的解集为x<2.

解法2:画出函数y=2x+10, y=5x+4的图象 从图中可以看出:当x<2时 直线y=5x+4在y=2x+10的下方 即5x+4<2x+10 ∴不等式5x+4<2x+10的解集是 x<2.

将原不等式的两边分别 看作两个一次函数

【例题】
【例2】已知一次函数y=2x+1,根据它的图象回答下列问题. (1) x 取什么值时,函数值y为3? (2) x 取什么值时,函数值y大于3? (3) x 取什么值时,函数值y小于3?

【解析】作出函数 y = 2x+1的图象
及直线y = 3 (如图) 从图中可知: (1)当 x = 1 时,函数值 y 为3. (2)当x > 1 时,函数值 y 大于3.

(3)当x <1 时,函数值 y 小于3.

【跟踪训练】
1.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一 家签订月租车合同,设汽车每月行驶x千米,个体车主收 费y1元,国营出租车公司收费为y2元,观察下列图象可知 (如图),当x________ >1500 时,

选用个体车较合算.

2.当自变量x的取值满足什么条件时,函数y=3x+8的值
满足下列条件? ①y=-7. ②y<2.

x=-5

x<-2

1.(烟台·中考)如图,直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐
标为(1,2),则使y1< y2的x的取值范围为( A.x>1 B.x>2
y

)

C.x<1
y1=k1x+a

D.x<2

x

y2=k2x+b

【解析】选C. 由图象可知直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐 标为(1,2),则y1<y2为x=1左边的部分,所以使y1<y2的x 的取值范围为x<1.

2.(泰州·中考)一次函数

y ? kx ? b (k为常数

且k≠0)的图象如图所示,则使y>0成立的x的取值范围 为 .

【解析】由图象知x﹤-2时,y>0.
答案: x﹤-2

3.(巴中·中考)“保护环境,人人有责”为了更好地治理 巴中,巴中市污水处理厂决定购买A,B两种型号的污水处理 设备,共10台,其信息如下表:

单价(万元/台)

每台处理污水量(吨/月)

A 型 B 型

12 10

240 200

(1)设购买A型设备x台,所需资金共为W万元,每月处理污

水总量为y吨,试写出W与x,y与x的函数关系式.
(2)经预算,市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元, 月处理污水量不低于2040吨,请你列举出所有购买方案,并 指出哪种方案更省钱,需要多少资金?

【解析】(1)由题意得W=12x+10(10-x)=2x+100,

y=240x+200(10-x)=40x+2000.
2 x ? 100 ? 106 (2)由题意得不等式组:? ? ?40 x ? 2000 ? 2040

解得:1≤x≤3. 又x取整数,所以购买的方案及资金为: ①当x=1时,购买A型1台,B型9台; ②当x=2时,购买A型2台,B型8台; ③当x=3时,购买A型3台,B型7台. 由于w随x的增大而增大,所以当x=1时,最省钱,需要资金

为102万元.

4.(台州·中考)A,B两城相距600千米,甲、乙两车同时 从A城出发驶向B城,甲车到达B城后立即返回.如图是它们 离A城的距离y(千米)与行驶时间 x(小时)之间的函数图 象. (1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自 变量x的取值范围. (2)当它们行驶了7小时,两车相遇,求乙车速度.
y/千米 600 C

E F

D O 6 14 x/小时

【解析】(1)①当0≤x≤6时, y ? 100x; ②当6<x≤14时,设 y ? kx ? b (k≠0), ∵图象过(6,600),(14,0)两点, ∴
?6k ? b ? 600, ? ?14k ? b ? 0.

?k ? ?75, 解得 ? ?b ? 1050.

∴ y ? ?75x ? 1050 .
(0 ? x ? 6) .

∴y?? ?

100x

??75x ? 1050 (6 ? x ? 14)

(2)当x=7时,

,v ? 525 ? 75 (千米/时). y ? ?75 ? 7 ? 1050 ? 525 乙 7

通过本课时的学习,需要我们掌握:
任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0

( a , b 为常数,a≠0 )的形式,因此解一元一次不等式
可以看作:当一次函数的函数值大于(或小于)0时,求 自变量相应的取值范围.


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