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8.2 空间几何体的表面积和体积-5年3年模拟北京高考

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1

8.2

空间几何体的表面积和体积

五年高考
考点 1 表面积 1. (2011 安徽,6,5 分)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
( )

A.48

B.32 ? 8 17

C.48 ? 8 17

>
D.80

2. (2010 课标全国.10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球 的表面积为 ( )

A.?a 2

7 B. ?a 2 3

C.

11 2 ?a 3

D.5?a 2

3. (2010 福建.12)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于

4. (2013 福建.19,13 分)如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABCD, AB // DC,

AA1 ? 1, AB ? 3k , AD ? 4k , BC ? 5k , DC ? 6k (k ? 0) ?
(1)求证:CD⊥平面 ADD 1A 1; (2)若直线 AA 1C 所成角的正弦值为 1 与平面 AB

6 , 求 k 的值; 7

(3)现将与四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱, 规定: 若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问:共有几种不同的拼接方案? 在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f(k)写出 f(k)的解析式. (直接写出答案, 不必说明理由)

考点 2

体积

2

1. (2013 湖北.8,5 分)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体 积分别记为 V1 ,V2 , V3 ,V4 , 上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 ( )

A.V1 ? V2 ? V4 ? V3 C.V2 ? V1 ? V3 ? V4

B.V1 ? V3 ? V2 ? ? V4
D.V2 ? V3 ? V1 ? V4

2. (2012 课标全国.11,5 分)已知三棱锥.S-ABC 的所有顶点都在球 0 的球面上,△ABC 是边长为 1 的 正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC =2,则此棱锥的体积为 ( )

A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2
( )

3. (2012 广东,6,5 分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为

A.12?

B.45?

C .57?

D.81?

4. (2011 辽宁, 12, 5 分) 已知球的直径 SC =4, A. B 是该球球面上的两点,AB ? 3, ?ASC ? ?BSC ? 30? , 则棱锥 S -ABC 的体积为( )

A.3 3

B.2 3

C. 3

D.1

5. (2013 江苏,8,5 分)如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,D,E,F 分别是 AB, AC, AA1 的中点,设三 棱锥 F -ADE 的体积为 V1 , 棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 , 则 V1 : V2 ?

智力背景
《孙子算经》 《孙子算经》共分上、中、下三卷卷上叙述筹算乘除法,卷中叙述筹算的分数算法 和开平方法,是了解中国古代 筹算的很好的资料,可以补充《九章算术》的不足,卷下则是收集了一些 算术难题的问题集. 如已知头数和足数的“鸡兔同笼”问题, 在今天的算术教科书中仍然是常见的问题. 在 《孙子算经》中,最有名的当然是卷下第赫题,就是通常所称的“孙子问题”,也是现称为“中国剩余定 理”的出处.

3

6. (2012 山东,14,4 分)如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 l,E,F 分别为线段 AA 1 , B1C 上的 点,则三棱锥 D1 ? EDF 的体积为

7. (2012 上海,14,4 分)如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱.BC =2.若 AD =2c,且 AB +BD =AC+ CD =2a,其中 a、c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是

8. (2011 福建,12,4 分)三棱锥_P - ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 则三棱锥 P- ABC 的体积等于 . 9. (2012 湖南.18,12 分)如图,在四棱锥 P- ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, AB ? 4, BC ? 3, AD ? 5,

?DAB ? ?ABC ? 900 ,E 是 CD 的中点.
(1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P - ABCD 的体积.

10.(2011 安徽.17,12 分)如图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 0 在线段 AD 上,OA =1,OD=2.△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形. (1)证明直线 BC//EF; (2)求棱锥 F - OBED 的体积.

4

解读探究
考点 内容 命题规律 命题趋势 1.考查内容:2013年全国各省市对空间几何体的表面 1. 趋势分析: 给定空间几何体求表面 了解球、棱柱、棱锥、积及体积的考查共计6次,如2013江苏,8. 积和体积或由三视图得出几何体的直 一、 表面积 台的表面积和体积的 2.题型赋分:对空间几何体的表面积的考查以选择题 观图求其表面积和体积是高考热点. 计算公式 (不要求记忆 形式为主,每题5分;对空间几何体的体积的考查以选 2. 备考指南: 备考时应熟记空间几何 公式). 择题、填空题的形式为主,每题4或5分 掌握为主,容易题、中等难度题、难题都有可能. 体的表面积和体积公式.另外,由于 切,因此备考时应熟练掌握常见几何 3.能力层级:高考试题对本节能力点的考查以理解和 求表面积和体积往往与求高联系密 4.考查形式:高考试题的考查形式有两种:一种是求 体(如棱柱、棱锥、棱台)的高、侧 几何体的表面积和体积; 一种是求与三视图对应的直观 高的求法,着重加强空间想象能力与 图的表面积和体积. 运算能力.

二、体积

智力背景
六十进制的由来 六十进制 最早起源于巴比伦,至于巴比伦人为什么要用 60 进制, 说法不一,有 人把巴比伧人最初认为一年为 360 天.太阳每天走一‘步’(即一度)及巴比伦 人已经熟悉六等分圆周 相结合而得 60 进位;也有人认为 60 有 2、3、4、5、6、10、12 等因子,使运算简化等.60 进制至今仍在 很多领域内应用,如一小时等于鳓分,角度制等,天干、地支的记法也是一种 60 进制.

知识清单
1.旋转体的表面积

5

2.几何体的体积公式 (1)棱(圆)柱的底面积为 S,高为 h,则体积 v=⑧ (2)棱(圆)锥的底面积为 S,高为 h,则体积 v=⑨

. .

(3)棱(圆)台的上、下底面面积分别为 S’、S,高为 h,则体积 V ?

1 / ( S ? S / S ? s )h. 3

(4)球的半径为 R,则球的体积 v=⑩ 【知识拓展】 立体几何中的“截、展、拆、拼” (1)“截”指的是截面,平行于柱、锥底面的截面以及旋转体的轴截面,它们集中反映了几何体的主 要元素的数量关系,是能帮助解题的重要工具. (2)“展”指的是侧面和某些面的展开图,在有关沿表面的最短路径问题中,就是求侧面或某些面的 展开图上两点间的距离. (3)“拆”指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算. (4)“拼”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱,有时将 一个三棱柱复原成一个四棱柱,还台为锥,这些都是拼补的方法.

·知识清单答案

6

突破方法
方法 1 几何体的表面积 例 1 (2012 北京,7,5 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 ( )

A.28 ? 6 5
解题思路

B.30 ? 6 5

C.56 ? 12 5

D.60 ? 12 5

解析 由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示.过 D 作 DM ⊥ AC,连结 BM.

s ?ACD ? s ?ABC

1 1 ? AC ? DM ? ? 5 ? 4 ? 10. 2 2 1 1 ? ? AC ? BC ? ? 5 ? 4 ? 10. 2 2
?

在△CMB 中, ?C ? 90 ,? | BM |? 5. 由三视图知 DM⊥面 ABC,? ?DMB ? 90 ,
?

? | DB |? 4 ? 5 ? 41,
∴ △BCD 为直角三角形, ?DCB ? 90 ,
0

智力背景
戏说日常生活中的说学名词——必要条件 2009 年 11 月 10 日, 武汉综合新闻网发表了“十年买房’ 之必要条件”的署名文章,讲的是能在十年内买房的必不可少的条件,必要条件,是数学名词,在高中数 学中大量使用,设 A,B 是两个命题,若 A 则 B,就把 B 称为 A 的必要条件.有了条件 B,不一定能得到结 论 A,可是,如果连条件 B 都不具备,结论 A 一定不成立.可见,此文使用“必要条件”一词,既符合 数 学含义,又言简意赅.

? S ?BCD ?

1 ? 5 ? 4 ? 10. 2

7

在△ABD 中,如图(2), S ?ABD ?

1 ? 2 5 ? 6 ? 6 5, 2

? S表 ? 10 ? 10 ? 10 ? 6 5 ? 30 ? 6 5. 故选 B.

答案 B 【方法点拨】 几何体表面积的求解方法: (1)表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积时,只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形,可 利用求平面图形的面积的方法,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从旋转体的生成过程及其几 何特征人手,将其展开,求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的 柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,从而获得几何体的表面积. (3)正棱锥、正棱台、正棱柱的侧面积公式间的联系:

c / ? 0 时,棱锥可以看作上底面周长为 0 的棱台.
(4)设球的半径为 R,则球的表面积 S ? 4?R .
2

方法 2 几何体的体积
例 2 (2012 江苏.7,5 分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm, AA 1 ? 2cm, 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为

cm3 .

解题思路

解析 解法一:? V A? A1B1D1 ?

1 1 ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 3(cm 3 ), 3 2

VhBD? A1B1D1 ?

1 ? 3 ? 3 ? 2 ? 9(cm 3 ), 2

8

?VA?BB1D1D ? VABD? A1B1D1 ? VA? A1B1D1 ? 6(cm3 ) ?
解法二:连结 AC 交 BD 于点 0,则 AC ? BD, AC ? BB1 ,? AC ⊥平面 BB1 D1 D,? AO 即为四棱锥

A ? BB1 D1 D 的高.
?V A? BB1D1D ? 1 3 ?3 2 ? 2? 2 ? 6(cm 3 ) ? 3 2

答案 6 【方法点拨】 锥体体积的求解方法: 求锥体的体积,要选择适当的底面和高,然后应用公式 V ?

1 Sh 进行计算即可.常用方法有:割补 3

法和等积变换法. (1)割补法:求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出锥体和柱体的 体积,从而得出几何体的体积. (2)等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面, ①求体积时,可选择容易计算的方式来求解; ②利用“等积性”可求“点到面的距离”.

三年模拟
A组 2011-2013 年模拟探究专项基础测试
时间.30 分钟 分值.40 分 一、选择题(每题 5 分,共 30 分) 1. (2013 北京海淀月考)已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如图,若图中圆的半径 为 1,等腰三角形的腰长为 5 , 则该几何体的体积是( )

A.

4? 3

B.2?

C.

8? 3

D.

10? 3

智力背景
三角学发展简史 传统的三角学以研究平面三角形和球面三角形的边角关系为基础,达到测量上的 应用目的.17 世纪,函数概念的引入为三角函数成为三角学的基本概念奠定了基础.三角在中国早期比较 通行的名称是“八线”和“三角”,“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线:正弦线、余弦线、正切 线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线,作为独立的数学分科的三角学已渐渤消失,但作为刻画 周期性现象的三角函数,仍然发挥着巨大的作用,

2. (2013 北京丰台高三上学期期末考试) 如图, 某三棱锥的三视图都是直角边长为 2 的等腰直角三角形, 则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 ( )

9

A. 3

B.2 3

C .1

D.2

3. (2013 北京朝阳高三上学期期末考试)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如 图所示,则其侧视图的面积为 ( )

A.

3 4

B.

3 2

C.

3 4

D.1

4. (2013 河南郑州 3 月.6)一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为 cm,则该几何体的体积 为

cm3

A.18

B.48

C .45

D.54

5. ( 2013 北京西城一模. 8 )如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为 ( )

A.18?

B.30?

C.33?

D.40?

6. (2012 浙江杭州二模.9)一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个空间几何体的表面 积是 ( )

A.

11? 2

B. ?

11? ?6 2

C.11?

D.

11? ?3 3 2

10

二、填空题(每题 5 分,共 10 分) 7. (2013 湖南株洲二模.6)圆柱形容器的内壁底面半径是 10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中, 若取出这个铁球,测得容器的水面下降了

5 cm , 则这个铁球的表面积为 3

cm 2 .

8. (2011 浙江金华十校模拟.13)一个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积 是

cm 2 .

2011-2013 年模拟探究专项提升测试 时间:45 分钟 分值:55 分 一、选择题(每题 5 分,共 15 分) 1. (2013 吉林长春 5 月.7)一个棱长都为 a 的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面 积为 ( )

B组

7 A. ?a 2 3 A. 9 3 2 B.

B.2?a 2
3 3 4

C. 3 3 2

11 2 ?a 4 D. 9 3 4

4 D. ?a 2 3
( )

2. (2013 宁夏银川二模. 6) 侧棱长为 2 的正三棱锥, 若其底面周长为 9, 则该正三棱锥的体积是

C.

3. (2013 北京昌平二模.6)已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ( )

智力背景
《海岛算经》 《海岛算经》本来不是一部独立的著作,是刘徽为了解释“重差术”而附在《九章算 术》中《勾股》后的一些问题.所谓“重差术”是计算极高和极低的方法,是透过对对象的反复观测,在 不引入三角函数的情况下,运用了相似三角形的对应边成比例的原理采计算出精确的结果,所以《海岛算 经》标志着中国古代测量数学的成就,唐代初年,这一部分被人从《九章算术》抽出来独立成书,因第一 题是测量有关海岛的高度及距离的问题,故把它命名为《海岛算经》 ,

11

A.

14 3

B.

17 3

C.

20 3

D.8

二、填空题(每题 5 分,共 15 分) 4. (2013 吉林四平一模. 14) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 D 的球面上, 且 AB ? 6, BC ? 2 3, 则棱锥 0 - ABCD 的体积为 5. (2012 北京西城二模,13)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 l 的两个全等 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是 ;若该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的表 面积是 .

6. (2012 云南昆明二模.15)如图是一个几何体的三视图(单位:m),则几何体的体积为____

三、解答题(共 25 分) 7. (2013 浙江杭州一模.20)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形,侧 面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积. 8. (2013 江苏南京二模,18)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已 建的仓库的底面直径为 12 m,高为 4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有 两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变);二是高度增加 4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些?