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(集合篇并集)


1.1.1 并集的概念
教学目标: 教学重点:具体情境中理解并集的概念;会求简单的并集;会用 Venn 图表示集合间的关系 教学难点:区别交集与并集的概念

建模探究 集合 A 和 B 合并在一起得到的集合叫做集合 A 和集合 B 的并(图 2 的阴影部分) 在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次 1.1 甲买了洗发水 A ? {a

, b, c} 乙买了洗发水 B ? {d , e, f } (画出 Venn 图)

C ? {a, b, c, d , e, f } 六种洗发水
(这里交集 A

B ? ?)
参加篮球队 B ? {c, d , e, f }(画出 Venn 图)

(元素分析,可能性有三类:属于 A 不属于 B ,属于 B 不属于 A ,既属于 A 又属于 B ) 1.2 参加足球队 A ? {a, b, c, d }

C ? {a, b, c, d , e, f }
(这里交集 A

B ? {c, d } )

(元素分析,可能性有三类:属于 A 不属于 B ,属于 B 不属于 A ,既属于 A 又属于 B ) 1.3 A ? {x |1 ? x ? 5} B ? {x | 5 ? x ? 8} (画出数轴,画出阴影)

C ? {x |1 ? x ? 8}
(这里交集 A

B ? ?)

(元素分析,可能性有三类:属于 A 不属于 B ,属于 B 不属于 A ,既属于 A 又属于 B ) 1.4 A ? {x |1 ? x ? 5}} B ? {x | 3 ? x ? 8} (画出数轴,画出阴影)

C ? {x |1 ? x ? 8}
(这里交集 A

B ? {x | 3 ? x ? 5} )

(元素分析,可能性有三类:属于 A 不属于 B ,属于 B 不属于 A ,既属于 A 又属于 B )

1

概念定义 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集. 记作 A ? B(读作‘A 并 B’ ) , 符号化 A ? B={x|x ? A,或 x ? B} “或” 三种可能性;与语文的“或”有所不同 (掌握概念的自然语言描述,符号描述与图形描述)
A B

图2

(1)属于 A 不属于 B 的元素 并集是 (2)属于 B 不属于 A 的元素 (3)既属于 A 又属于 B 的元素

x ? A, x ? B x ? A, x ? B
共同组成的集合

x ? A, x ? B

并集是由所有至少属于 A, B 两者之一的元素组成的集合 进行并集的元素分析

概念形象 思考:为什么相同的元素只出现一次? 这个规定是集合的互异性所要求的。 用 Venn 图,数形结合形象地帮助理解并集概念 对比交集与并集的记法 给出交集的记法: A 并集的记法: A

B ? {x | x ? A,且x ? B }

B ? {x | x ? A,或x ? B }

“ ” 使学生认识到“并” “或”与记号 之间的对应关系, “ ” 以及“交” “且”与记号 之间的对应关系
代数实例 1.1 {1, 2,3,6} , {1,2,5,10} 求A

B B = {1, 2,3,6} ? {1,2,5,10} = {1, 2,3,5,6,10}
B ? {1,2} )
2

答案: A (此时 A

1.2 {1, 2,3, 4}, {5,6,7} 求A

B B = {1, 2,3, 4} ? {5,6,7} = {1,2,3,4,5,6,7}
B ? ?)

答案: A (此时 A

不等式实例 (数形结合,利用数轴解决) 2.1 设 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x |1 ? x ? 3} ,求 A∪B 解:A ? B= {x | ?1 ? x ? 2} ? {x |1 ? x ? 3} = {x | ?1 ? x ? 3} (此时 A

B ? ?)

2.2 设 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ,求 A∪B 解:A ? B= {x | ?1 ? x ? 2} ? {x | 2 ? x ? 5} = {x | ?1 ? x ? 5} (此时 A 文字实例 1.1 设 A={x|x 是锐角三角形} ,B={x|x 是钝角三角形} ,求 A ? B. 解:A ? B={x|x 是锐角三角形} ? {x|x 是钝角三角形} ={x|x 是斜三角形} . (此时 A

B ? ?)

B ? ?)

1.2 已知 A ? {x | x是等腰三角形}, B ? {x | x是直角三角形} 求A 解: A

B B = {x | x是等腰三角形} ? {x | x是直角三角形}
= {x | x是等腰三角形或直角三角形}

(此时 A 方程实例

B ? ?)

1.1 设集合 A ? {x |(x ? 3)(x ? 5) ? 0},

B ? {x |(x ? 4)(x ? 1) ? 0}
求A

B

3

答案: 1.2 设集合 A ? {x |(x ? 3)(x ? a) ? 0,a ?

R },

B ? {x |(x ? 4)(x ? 1) ? 0}
求A 答案: 概念讨论 用 Venn 图表示并集的元素 (学生思考、讨论、分析:从图中你能看出那些结论?): 左图表示集合 A 与集合 B 的公共部分就是 B 即 A

B

B ? B

中图表示集合 A 与集合 B 的公共不是空集,但不是 A,也不是 B, 即A

B ? ?,A

B ? A且A

B ? B
B ? ?

右图表示集合 A 与集合 B 的公共是空集,即 A

利用 Venn 图讨论性质

A B?B A A ??? A?? A A? A A? B ? A B ? B A ? B ? A,A ? B ? B 公式 A ? B ? A B ? A 的意义:
并 集 的 性 质 体现了集合关系与集合运算的转化 联系交集的性质有结论 Φ ?A? B?A ?A? B Φ ?A? B?B ?A? B 设 B ? {a, b, c} , A

A

B

A (B)

B

A

B?B
B

A

集合 A 可能有多少种? 探究:集合 A 中有 3 个元素,集合 B 中有 2 个元素, A B 最多几个元素?最少几个元素?

A

B

变式练习 “或”的理解
4

已知 A ? {x x ? ?1或x ? 5}, B ? {x a ? x ? a ? 4} ,若 A ? ? B, 则实数 a 的取值范围是 答案:由题意得 a ? 4 ? ?1, 得a ? ?5, 或a ? 5 , 综合得 {a | a ? ?5或a ? ?5}

共同特征的等价转化 1.1 已知集合 A ? { y | y ? x2 ? 1, x ? R} , B ? {x | y ? x2 ? 1, x ? R} , 则 A∩B= 答案: { y | y ? 1} , R 1.2 已知集合 A ? { y | y ? x2 ? 2x ? 1, x ? R} , B ? {x | y ? x2 ? 2x ? 1, x ? R} , 则 A∩B= 答案: { y | y ? 1} , R 1.3 设集合 A ? {y |y ? x } , B ? (y |y ? x 2 } ,则 A∩B=( ) A. ,A∪B= ,A∪B=

A ? {y |y ? 0} B. R

C.{0,1}

D. {(0,0),(0,1)}

答案:A 1.4 已知集合 P ? {x x ? m ? 3m ? 1}, T ? {x x ? n ? 3n ? 1} ,有下列判断:
2 2

① P ? T ? {y y ? ? } 其中正确的是 答案:①②④

5 4

② P ? T ? {y y ? ? } .

5 4

③ P ?T ? ?

④P ?T

? 5? ? 5? P ?x x ? ? ? ,T ? ?x x ? ? ? 4? 4? ? ? ? 5? ? ① P ? T ? ? y y ? ? ? 正确. 4? ?
③ P ? T ? ? 错误. ② P ? T ? ? y y ? ? ? 正确.

? ?

5? 4?

④ P ? T 正确.

满足{x,y}∪B={x,y,z}的集合 B 的个数是____. 答案:4

5

6.1 已知集合 A={x∈R|x -2x-8=0} ,B={x∈R|x +ax+a -12=0} , 若B

2

2

2

A ? B ,求实数 a 的取值集合.

答案:所求实数 a 的集合为{a|a<-4 或 a=-2 或 a≥4}. (此时集合 B 元素个数为 2 )(前面子集,交集题目的改造)

Venn 图解法 在 100 个学生中,有篮球爱好者 60 人,排球爱好者 65 人,则既爱好篮球又爱好排球的人数 的最小值____25___;最大值___60____ 解:设 A

B 中有 x 个元素,? (60 ? x ) ? x ? (65 ? x ) ? 100 B 中最少有 25 个元素,最多有 60 个元素。

得 x ? 25 。即 A 公式的使用

已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A A.1 答案:D 组合公式的使用 B.—1

B ? A ,则 m 的值为( )
D.1 或—1 或 0

C.1 或—1

已知 A ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0}, B ? {x | x 2 ? cx ? 10 ? 0} , 若A

B ? B, A B ? {5} ,求 a, b, c 的值
B ? A)

答案: a ? ?10, b ? 25, c ? ?7 ( A B ? B ? A ? B, A ? B ? A

拓展练习 设集合 A ? {x ? 2 ? x ? ?1或x ? 1}, B ? {x a ? x ? b}, 若 A ? B ? {x x ? ?2},

A ? B ? {x 1 ? x ? 3} ,则 a ?
答案:由题意结合数轴分析知 a ? ?1, b ? 3.

,b ?

.

6

容斥原理

一般地把有限集 A 的元素个数记作 card ( A) 对于两个有限集 A, B , 有 card ( A

B) ? card ( A B) ? card ( A) ? card ( B)

A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } , B ? { y | y ? 3k ? 2, k ? Z} ,取 x0 ? A , y0 ? A
则 x0 y0 与集合 A, B 的关系是 A. x0 y0 ? A B. x0 y0 ? B C. x0 y0 ? A

B

D.以上均不正确

A ? {x | x ? 2k , k ? Z} , B ? { y | y ? 3k ? 1, k ? Z }
则A

B?

答案: {x | x ? 6n ? 2, n ? Z }

1.1.2 补集的概念
教学目标: 教学重点:具体情境中理解全集的概念;会用 Venn 图表示集合间的关系; 具体情境中理解给定集合中一个子集的补集的概念;会求给定集合的补集; 教学难点:

建模探究 观察给出的集合之间的关系

{a, b, c, d , e} 五个人搬书 {a, b} 不用搬

{c, d , e} 搬

{b, d} 不用搬 {a, c, e} 搬
S

{e} 不用搬

{a, b, c, d} 搬

A

概念定义 全集 如果集合 U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 这个集合就可以看作一个全集, 注意:通常也把给定的集合作为全集

记法

U

(给多些实例理解全集与补集)
7

补集 记法 符号化

一般地,设 U 是一个集合, A 是 U 的一个子集(即 A ? U ) , 由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 U 中子集 A 的补集

CU A
CU A ? {x | x ?U 且x ? A}

(掌握概念的自然语言描述,符号描述与图形描述) 补集是集合之间的一种关系,又是集合间的运算 有时候虽然没有指明全集,但是全集实际上是存在的 全 集 的 性 质

U

A ?U

U

A? A

概念形象 (学习全集的意义:明确在什么范围内讨论问题) 集合都是全集的子集 3.3 已知全集 U ? {x | ?1 ? x ? 9} , A ? {x |1 ? x ? a} , 若 A ? ? ,则 a 的取值范围是( ) (A) a<9 (B)a≤9 (C)a≥9 (D)1<a≤9 答案:D 代数实例 1.1 U ? {1, 2,3, 4,5}

A ? {1,3,5}

则 CU A ? {2, 4} (求给定集合的补集)

若 S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求 CSA 解:∵S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5}, ∴由补集的定义得 CSA={2,4,6} 1.2 已知 A ? {0, 2, 4} , CU A ? {?1,1} , CU B ? {?1,0, 2} , 求B ? 答案:利用 Venn 图, B ? {1, 4} 文字实例 2.1 U ? R ,则 CU Q ? {无理数} 2.2 设 U={梯形},A={等腰梯形},求 CUA 解:CUA={不等腰梯形}. 2.3 设全集 U ? {x | x是三角形}, A ? {x | x是锐角三角形}, B ? {x | x是钝角三角形}
8

-1

A B4 1

0 2

求 CU ( A

B) , A B , CU A

CSA={直角三角形或钝角三角形} 2.4 已知 A ? {正方形} ,当 U ? {菱形} 时, CU A = 当 U ? {矩形} 时, CU A = 答案: {一个内角不等于90 的菱形}; {邻边不相等的矩形} 2.5 设 S={x|x 是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x 是平行四边形}, B={x|x 是菱形},C={x|x 是矩形},求 B

C ,C U B ,C U A

A ? {x ? Z | x ? 3k , k ? Z} , CU A ? A ? {x ? Z | x ? 3(k ? 1), k ? Z } , CU A ?
不等式的实例 3.1 A ? {x | ?1 ? x ? 1} ? {x || x |? 1}

CU A ? {x | x ? ?1或1 ? x}={x|1 ?| x |}
3.2 已知全集 U=R,集合 A={x|1≤2x+1<9} ,求 C U A 解:∵A={x|1≤2x+1<9}={x|0≤X<4} ,U=R 0 ∴C U A={x|x<0,或 x≥4} 4 x

3.3 设全集 S ? R ,A={x∣2<x≤5},B={x∣x>4}, 则 ? s(A∩B)= , ? s(A∪B)= 。

答案: ? 4,5? , (2, ??) , ? ??, 4? (5, ??) , ? ??, 2?

概念讨论 补 集 的 性 质

CU (CU A) ? A A (CU A) ? ? A (CU A) ? U

9

CUU ? ? CU ? ? U
公式的运用 设全集 U (U ? ?) , 已知集合 M , N , P ,且 M ? CU N , N ? CU P ,则 M 与 P 的关系是____ 答案: M ? P 设 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8}, 求 CuA, CuB, (CuA) ? (CuB), (CuA) ? (CuB), Cu(A ? B) , Cu(A ? B). 解:CuA={1,2,6,7,8} CuB={1,2,3,5,6}

(CuA) ? (CuB)= Cu(A ? B)={1,2,6} (CuA) ? (CuB)= Cu(A ? B)={1,2,3,5,6,7,8} 引入代数上的等式 再做两道相关的 Venn 图解法的看图解法的习题 引入图形上的直观 探究发现 德摩根律

(CU A) (CU B) ? CU ( A B) , (CU A) (CU B) ? CU ( A B)
(可以用 Venn 图来理解).

变式练习

x ? CU A ,则 x ? A
设 U ? {2, 4,1 ? a} , A ? {2, a 2 ? a ? 2} ,若 CU A ? {?1} ,求 a 答案: a ? 2

x ? CU A ,则 x ? A
2 2 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? px ? 6 ? 0}, B ? {x | x ? 4 x ? q ? 0}

若 (CU A)

B ? {1} ,试用列举法表示集合 A

10


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