nbhkdz.com冰点文库

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(二)


华 东 师 大 二 附 中 2015 届 暑 期 练 习 ( 二 ) 数学试卷
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 设 U ? R , M ? {x | x2 ? 2x ? 0} ,则 CU M = 2.计算: lim

Pn2 ?

n ?? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n
1 x
6

.

3. 二项展开式 ( x ? ) 中的常数项为

. (用数字作答)

4.已知一个关于 x、 y 的二元一次方程组的增广矩阵是 ? ?

?1 ?1 2? ? ? ,则 x+y = ? 0 1 2?

.

5.已知点 G 为?ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点,且 AM ? x AB ,

AN ? y AC ,则
1
6.直线 l 的方程为 x

xy 的值为________________. x? y
0 2
.

2 3 ? 0 ,则直线 l 的一个法向量是 y ?1 2

7. 函数 y ? sin? x ?

? ?

??

? cos x 的最大值为 6?
? 4

.

8. 在极坐标系中,点 ( 2, ) 到直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的距离等于________. 9.若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与曲线 ? 是____________. 10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥 的母线长为________ cm . 11.已知函数 f ( x) ? a
x ?1

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围 ? y ? ?2 ? sin ?

? 2(a ? 0, 且a ? 1),设f ?1 ( x)是f ( x) 的反函数.若 y ? f ?1 ( x) 的图象不经

·1 ·

过第二象限,则 a 的取值范围

12.知离散型随机变量 x 的分布列如右表。若 Ex ? 0 , Dx ? 1 ,则 a ? _____, b ? _____。

X P

?1

0 b

1 c

2

a

1 12

13.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 6 ,则 x ? 0 时, 不等式 f ( x) ? x 的解集为
*



2 14.设 n ? N ,圆 Cn : x2 ? y 2 ? Rn (Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ?

x 的交点为

N ( xn , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) .若数列 ?xn ? 满足:xn?1 ? 4xn ? 3, x1 ? 3 .则常数 p =
使数列 ?an?1 ? p ? an ? 成等比数列; 二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,选对得 5 分,答案代号 必须填在答题纸上.注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 15 .一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形,则这个三角形一定是 ( ) (C).钝角三角形 (D).以上都有可能 )

(A).锐角三角形 (B).直角三角形

16. 为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象 ( (A)向左平移

? 3

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 6

(B)向右平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 6
( (D) . ? 10 )

(C)向左平移

(D)向右平移

17.等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 2 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a 2 ? (A) .? 4 (B) .? 6 (C) .? 8

18.如果函数 y ?| x | ?2 的图像与曲线 C : x2 ? ? y 2 ? 4 恰好有两个不同的公共点,则实数 ? 的 取值范围是 ( ) ∪ (1, ??)

1 ? , 1 (A) . [)

} 0 ? , ( B) . {1

?? ,] 1 (C) . (?

∪ [0,1)

0 ] , ? (D) . [1

·2 ·

三、解答题 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 6 分. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 AB 上的动点. (1)求证:DA1⊥ED1 ; (2)若直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45 ,求
o

z D1 A1 B1 C1

AE 的值; AB
A x

D E B

C

y

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 已知虚数 z1 ? cos? ? i sin ? , z 2 ? cos ? ? i sin ? , 2 (1)若 z1 ? z 2 ? 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值; 5 (2)若 z1, z2 是方程 3x2?2x+c=0 的两个根,求实数 c 的值。

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 气象台预报,距离 S 岛正东方向 300km 的 A 处有一台风形成,并以每小时 30km 的速度向北偏西 30 ? 的方向移动,在距台风中心处不超过 270km 以内的地区将受到台风的影响. 问:(1)从台风形成起经过 3 小时, S 岛是否受到影响(精确到 0.1km)?(2)从台风形成起经过多少 小时,S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?(精确到 0.1 小时)

22.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题①满分 4 分,②满分 6 分;第 2 小题满分 6 分. 已知椭圆 C 的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为 F1 、 F2 ,
2 抛物线 M : y ? 4mx (m ? 0) 的准线与 x 轴交于 F1 ,椭圆 C 与抛物线 M 的一个交点为 P .

(1) 当 m ? 1 时, ①求椭圆 C 的方程; ②直线 l 过焦点 F2 , 与抛物线 M 交于 A、B 两点, 若弦长 AB 等于 ?PF 1 F2 的周长,求直线 l 的方程; (2)是否存在实数 m ,使得 ?PF 1 F2 的边长为连续的自然数.

·3 ·

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 在 数 列 ?an ? 中,若 an ? an?1 ? k ( n ≥ 2 , n ? N , k 为常数) ,
2 2
*

则称 ?an ? 为 X 数 列 . ( 1 ) 若 数 列 ?bn ? 是 X 数 列 , b1 ? 1 , b2 ? 3 , 写 出 所 有 满 足 条 件 的 数 列 ?bn ? 的前 4 项; ( 2) 证 明 : 一 个 等 比 数 列 为 X 数 列 的 充 要 条 件 是 公 比 为 1 或 ? 1; ( 3 ) 若 X 数 列 ?cn ? 满足 c1 ? 2 , c2 ? 2 2 , cn ? 0 ,设数 列 ? 否 存 在 正 整 数 p, q ,使 不 等 式 Tn ? 出 p, q 的 值 ; 若 不 存 在 , 说 明 理 由

?1? ? 的 前 n 项 和 为 Tn . 是 ? cn ?

pn? q ? 1对 一 切 n ? N* 都 成 立 ? 若 存 在 , 求

(参 考 答 案 )
考生注意: 1. 答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号填写清楚.并在规定的区域内贴上条形码。 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
2 1. 设 U ? R , M ? {x | x ? 2x ? 0} ,则 CU M =

[0,2]

Pn2 ? 2. (理科)计算: lim n ?? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n
3. 二项展开式 ( x ? ) 中的常数项为
6

2

1 x

?20

. (用数字作答)

4. (理科)已知一个关于 x、 y 的二元一次方程组的增广矩阵是 ? ?

?1 ?1 2? ? ? ,则 x+y = ? 0 1 2?

.6

5. (理科) 已知点 G 为?ABC 的重心, 过 G 作直线与 AB、 AC 两边分别交于 M、 N 两点, 且 AM ? x AB ,
·4 ·

AN ? y AC ,则

xy 1 的值为________________. 3 x? y

解:M、G、N 三点共线? AG ? ? AM ? (1 ? ?) AN ? ? xAB ? (1 ? ?) yAC

1 ? ?x ? ? xy 1 ? 1 1 3 ? ? 又 G 为?ABC 的重心? AG ? AB ? AC ,所以 ? 3 3 x? y 3 ?(1 ? ? ) y ? 1 ? 3 ?
1
6.(理科)直线 l 的方程为 x

0

2
.

2 3 ? 0 ,则直线 l 的一个法向量是 y ?1 2

答案

? k , 2k ? 其中 k ? 0
? ?

7. (理科)函数 y ? sin? x ?

??

? cos x 的最大值为 6?

3 4

.

8. (理科)在极坐标系中,点 ( 2, ) 到直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的距离等于____ 9.(理科)若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与曲线 ? 值范围是______ m ? 10 或 m ? 0 .______.

? 4

2 ____. 2

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取 ? y ? ?2 ? sin ?

10.(理科)已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这 个圆锥的母线长为____ 17 ____ cm . 11.(理科)已知函数 f ( x) ? a
x ?1

? 2(a ? 0, 且a ? 1),设f ?1 ( x)是f ( x) 的反函数.若 y ? f ?1 ( x) 的图
a ? 2.


象不经过第二象限,则 a 的取值范围 解得 f
?1

?log a 2 ? 1 ? 0, ( x) ? loga ( x ? 2) ? 1, 要使y ? f ?1 ( x) 的图象不过第二象限, 只需 ? ?a ? 1,

解得 a ? 2. 12. (理科)知离散型随机变量 x 的分布列如右表。若 Ex ? 0 , Dx ? 1 ,则 a ? _____, b ? _____。 X
·5 ·

?1

0

1

2

P 解:由题知 a ? b ? c ?

a

b

c

11 1 , ?a ? c ? ? 0 , 12 6

1 12

12 ? a ? 12 ? c ? 22 ?

1 5 1 ? 1 ,解得 a ? , b ? . 12 12 4
. (?2, 0)

13.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 6 ,则 x ? 0 时, 不等式 f ( x) ? x 的解集为
*

(2, ??)

2 14.设 n ? N ,圆 Cn : x2 ? y 2 ? Rn (Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ?

x 的交点为

N ( xn , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) .若数列 ?xn ? 满足:xn?1 ? 4xn ? 3, x1 ? 3 .则常数 p =
2或4 解, y ? 使数列 ?an?1 ? p ? an ? 成等比数列;
2 2 2 2 2 ? xn ? yn ? xn ? xn , Rn ? xn ? xn , x 与圆 Cn 交于点 N ,则 Rn

由题可知, 点 M 的坐标为 ? 0, Rn ? , 从而直线 MN 的方程为

x y ? ?1, an Rn

由点 N ( xn , yn ) 在直

线 MN 上得:

xn yn 2 ? xn , yn ? xn 代入化简得: an ? 1 ? xn ? 1 ? xn . ? ? 1 , 将 Rn ? xn an Rn

由 xn?1 ? 4 xn ? 3 得: 1 ? xn?1 ? 4(1 ? xn ) , 又 1 ? x1 ? 4 ,故 1 ? xn ? 4 ? 4n?1 ? 4n ,

? an ? 4 n ? 4 n ? 4 n ? 2 n

an?1 ? p ? an ? 4n?1 ? 2n?1 ? p ? (4n ? 2n ) ? (4 ? p) ? 4n ? (2 ? p) ? 2n , an?2 ? p ? an?1 ? 4n?2 ? 2n?2 ? p ? (4n?1 ? 2n?1 ) ? (16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n
令 an?2 ? p ? an?1 ? q(an?1 ? p ? an ) 得:

(16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n ? q(4 ? p) ? 4n ? q(2 ? p) ? 2n
由等式 (16 ? 4 p) ? 2 ? (4 ? 2 p) ? q(4 ? p) ? 2 ? q(2 ? p) 对任意 n ? N 成立得:
n n
*

?16 ? 4 p ? q(4 ? p) ? pq ? 8 ?p ? 2 ?p ? 4 ,解得: ? 或? ?? ? ?4 ? 2 p ? q(2 ? p) ?p?q ? 6 ?q ? 4 ?q ? 2
故当 p ? 2 时,数列 ?an?1 ? p ? an ? 成公比为 4 的等比数列;
·6 ·

当 p ? 4 时,数列 ?an?1 ? p ? an ? 成公比为 2 的等比数列。

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,选对得 5 分,答案代号 必须填在答题纸上.注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 15. (理科)一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形,则这个三角形一 定是( C ) (A).锐角三角形 (B).直角三角形 (C).钝角三角形 (D).以上都有可能

16. 为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象 ( (A)向左平移

? 3

D )

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 6

(B)向右平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 6
( B ) (D) . ? 10

(C)向左平移

(D)向右平移

17.等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 2 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a 2 ? (A) .? 4 (B) .? 6 (C) .? 8

18. (理科)如果函数 y ?| x | ?2 的图像与曲线 C : x2 ? ? y 2 ? 4 恰好有两个不同的公共点,则实数 ? 的 取值范围是 ( A )

1 ? , 1 } 0 , ? (A) . [) ( B) . {1 解:数形结合,分类讨论。

?? ,] 1 (C) . (?

∪ [0,1)

0 ] , ? (D) . [1

∪ (1, ??)

①当 ? ? 0 时,曲线 C 表示两条平行直线 x ? ?2 ,与曲线 y ?| x | ?2 有两个公共点; ②当 ? ? 1 时,曲线 C 表示圆 C : x2 ? y 2 ? 4 ,与曲线 y ?| x | ?2 有三个公共点 ③当 0 ? ? ? 1 时,曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,与曲线 y ?| x | ?2 有两个公共点; 4 4

?

④当 ? ? 1 时,曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,与曲线 y ?| x | ?2 有四个公共点; 4 4

?

⑤当 ? ? 0 时, 曲线 C 表示焦点在 x 轴上的双曲线

x2 y 2 ? ?1, 考虑双曲线的渐近线, 当 ?1 ? ? ? 0 4 ?4

?

时与曲线 y ?| x | ?2 有两个个公共点;所以 ? ? [ ?1,1) 答案选 A
·7 ·

三、解答题 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 6 分. (理科)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 AB 上的动点. (1)求证:DA1⊥ED1 ; (2)若直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45 ,求
o

AE 的值; AB

解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则 D(0,0,0),A(1,0,0) , B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1),设 E(1,m,0)(0≤m≤1) (1)证明: DA 1 ? (1,0,1) , ED 1 ? (?1, ?m,1)
A1 z D1 B1 C1

DA1 ? ED1 ? 1? (?1) ? 0 ? (?m) ? 1?1 ? 0
D C E B

所以 DA1⊥ED1. ----------4 分
A

y

(2)设平面 CED1 的一个法向量为 v ? ( x, y, z) ,则

x

? ?v ? C D 1 ?0 ,而 CD1 ? (0, ?1,1) , CE ? (1, m ?1,0) ? v ? C E ? 0 ? ?
所以 ?

?? y ? z ? 0, 取 z=1,得 y=1,x=1-m, ? x ? (m ? 1) y ? 0,

得 v ? (1 ? m,1,1) .

因为直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45o,所以 sin 45? ?| cos ? DA 1, v ?| 所以

| DA1 ? v | 2 1 | 2?m| 2 ? ,所以 ,解得 m= .-----12 分 ? 2 2 | DA1 | ? | v | 2 2 m2 ? 2m ? 3

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (理科)已知虚数 z1 ? cos? ? i sin ? , z 2 ? cos ? ? i sin ? , 2 (1)若 z1 ? z 2 ? 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值; 5 (2)若 z1, z2 是方程 3x2?2x+c=0 的两个根,求实数 c 的值。 解(1)∵ z1 ? z 2 ? (cos? ? cos ? ) ? i(sin? ? sin ? ) , ………………2 分 ∵ z1 ? z 2 ?

2 5 2 2 2 , ………5 分 5 ,? (cos? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? ) ? 5 5
·8 ·

4 5 ? 3. ∴cos(α ? β )= ………6 分 2 5 (2)由题意可知 cos?=cos?,sin?=?sin? ………8 分 c 且 z1 ? z2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ………10 分 ? c ? 3 ,经检验满足题意。 3 2?

………12 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (理科)气象台预报,距离 S 岛正东方向 300km 的 A 处有一台风形成,并以每小时 30km 的速度向北 偏西 30 ? 的方向移动,在距台风中心处不超过 270km 以内的地区将受到台风的影响. 问:(1)从台风形成起经过 3 小时, S 岛是否受到影响(精确到 0.1km)?(2)从台风形成起经过多少 小时,S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?(精确到 0.1 小时) 解 (1) 设 台 风 中 心 经 过 3 小 时 到 达 点 B , 由 题 意 , 在 ?SAB 中 , SA=300 , AB=90 ,

?SAB ? 90? ? 30? ? 60? ,根据余弦定理,

SB 2 ? SA 2 ? AB 2? 2SA ? AB ? cos ?SAB ? 3002 ? 902 ? 2 ? 300 ? 90 cos 60? -------4 分 =71100 .
S B
30?

A

SB= 71100 ? 266.6 <270 .
所以,经过 3 小时 S 岛已经受到了影响.------------6 分 (2)可设台风中心经过 t 小时到达点 B,由题意得,

?SAB ? 90? ? 30? ? 60? .在 VSAB 中,SA=300,AB=30t, 由余弦定理,

SB2 ? SA2 ? AB2 ? 2SA ? AB ? cos ?SAB. ? 3002 ? ( 30t )2 ? 2 ? 300 ? 30t cos 60?
若 S 岛受到台风影响,则有
2

------10 分

SB ? 270 ,而 SB2 ? 2702 ,
即 t 的范围大约在 2.5 小时与 7.4 6.

化简整理得 t ? 10t ? 19 ? 0 ,解此不等式得 5 ? 6 ? t ? 5 ?

小时之间 . 所以从台风形成起,大约在 2.5 小时 S 岛开始受到影响,约持续 4.9 小时以后影响结 束.----14 分

22.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题①满分 4 分,②满分 6 分;第 2 小题满分 6 分. (理科)已知椭圆 C 的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为 F1 、 F2 ,
·9 ·

抛物线 M : y 2 ? 4mx (m ? 0) 的准线与 x 轴交于 F1 ,椭圆 C 与抛物线 M 的一个交点为 P . (1) 当 m ? 1 时, ①求椭圆 C 的方程; ②直线 l 过焦点 F2 , 与抛物线 M 交于 A、B 两点, 若弦长 AB 等于 ?PF 1 F2 的周长,求直线 l 的方程; (2)是否存在实数 m ,使得 ?PF 1 F2 的边长为连续的自然数. 22.解: (1)①设椭圆的实半轴长为 a,短半轴长为 b,半焦距为 c, 当 m =1 时,由题意得,a=2c=2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3, a 2 ? 4 ,

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 .(4 分) 4 3

②依题意知直线 l 的斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ?

? y 2 ? 4x 得, y ? k ( x ? 1 ) ?

k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ,由直线 l 与抛物线 M 有两个交点,可知 k ? 0 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由韦达定理得 x1 ? x 2 ?

2k 2 ? 4 4 ? 2 ? 2 , x1 x2 ? 1 , 2 k k
………(6 分)

则 AB ? 1 ? k

2

1? k 2 4 ? ? x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ?(2 ? 2 ) 2 ? 4 ? = 4 ? 2 k k ? ?

1? k 2 ? 6, 因为 ?PF 1 F2 的周长为 2a ? 2c ? 6 ,所以 4 ? k2
解得 k ? ? 2 ,从而可得直线 l 的方程为 2x ? 2 y ? 2 ? 0

………(8 分)

(10 分)

( 2 ) 假 设 存 在 满 足 条 件 的 实 数 m , 由 题 意 得 c ? m, a ? 2m, F1 F2 ? 2m , 又 设 设 P( x0 , y0 ) , 对于抛物线 M, 有 r2 ? x0 ? m, 对于椭圆 C, PF1 ? r1 , PF2 ? r2 , r1 ? r2 ? 2a ? 4m ,
2 2 ? x0 y0 ?1 1 ? 2 ? 由 ? 4m 得 r2 ? ( 4m ? x 0 ) 3m 2 2 ?r ? x ? m 2 ? y 2 2 0 0 ?

?

?

………(13 分)

由 x0 ? m ?

1 2 5 7 (4m ? x 0 ) 解得: x 0 ? m ,所以 r2 ? m ,从而 r1 ? m ,因此, ?PF1 F2 的边长 2 3 3 3
·10·

分别为

5 6 7 m、 m 、 m , 3 3 3
………(16 分)

当 m ? 3 时,使得 ?PF 1 F2 的边长为连续的自然数.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. ( 理 科 ) 在 数 列 ?an ? 中,若 an ? an?1 ? k ( n ≥ 2 , n ? N , k 为常数) ,
2 2
*

则称 ?an ? 为 X 数 列 . ( 1 ) 若 数 列 ?bn ? 是 X 数 列 , b1 ? 1 , b2 ? 3 , 写 出 所 有 满 足 条 件 的 数 列 ?bn ? 的前 4 项; ( 2) 证 明 : 一 个 等 比 数 列 为 X 数 列 的 充 要 条 件 是 公 比 为 1 或 ? 1; ( 3 )若 X 数 列 ?cn ? 满足 c1 ? 2 , c2 ? 2 2 , cn ? 0 ,设数 列 ? 在 正 整 数 p, q , 使 不 等 式 Tn ? 值;若不存在,说明理由
2 2 解: ( 1 ) 由 ?bn ? 是 X 数 列 , b1 ? 1 , b2 ? 3 ,有 d ? 3 ? 1 ? 8 ,

?1? ? 的 前 n 项 和 为 Tn .是 否 存 ? cn ?

求 出 p, q 的 pn? q ? 1对 一 切 n ? N* 都 成 立 ? 若 存 在 ,

于是 b32 ? 1 ? (3 ?1) ? 8 ? 17 , b4 ? 1 ? (4 ?1) ? 8 ? 25
2

所 有 满 足 条 件 的 数 列 ?bn ? 的前 4 项为:

1,3, 17,5 ; 1,3, 17, ?5 ; 1,3, ? 17,5 ; 1,3, ? 17, ?5 .

------------------4 分

( 2) ( 必要性)设数列 ?an ? 是等比数列, an ? a1q n?1 ( q 为公比且 q ? 0 ) ,则

an2 ? a12q2n?2 ,若 ?an ? 为 X 数列,则有 an2 ? an?12 ? a12q2n?2 ? a12q2n?4 ? a12q2n?4 (q2 ?1) ? k ( k 为与 n 无关的常数)
所以 q ? 1 , q ? 1 或 q ? ?1 .
2

------------------7 分
2 2

(充分性)若一个等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,则 an ? a1 , an ? an?1 ? 0 ,所 以 ?an ? 为 X 数列; 若一个等比数列 ?an ? 的公比 q ? ?1 ,则 an ? a1 (?1)n?1 ,

an2 ? an?12 ? a12 (?1)2n?2 ? a12 (?1)2n?4 ? 0 ,所以 ?an ? 为 X 数列----10 分
·11·

( 3 ) 因 X 数 列 ?an ? 中 a1 ? 2 , a2 ? 2 2 , an ? 0 ,则

an2 ? a12 ? (n ?1)d ? 4 ? 4(n ?1) ? 4n, ?an ? 2 n , 1 1 1 1 1 1 所以数列 { } 的前 n 项和 Tn ? ( ? ? ? ... ? ) ------------------12 分 2 1 an 2 3 n
假设存在正整数 p, q 使不等式

1 1 1 1 1 ( ? ? ? ... ? )? 2 1 2 3 n

pn ? q ? 1 对一

切 n ? N * 都成立.即

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2( pn ? q ? 1) 1 2 3 n
9 ,又 p, q 为正整数, 4
-----------------15 分

当 n ? 1 时, 1 ? 2( p ? q ? 1),? p ? q ?

? p ? q ? 1.
下面证明:

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2( n ? 1 ? 1) 对一切 n ? N * 都成立. 1 2 3 n

由于

1 2 2 ? ? ? 2( n ? 1 ? n )(n ? N * ) n n? n n ?1 ? n 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2[( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ... ? ( n ? 1 ? n )] ? 2( n ? 1 ? 1) 1 2 3 n
------------------18 分

所以

·12·


上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(五)试题

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(五)试题_数学_高中教育_教育专区。华东师大二附中 2015 届暑期练习(五) 数学试卷一. 填空题(本大题满分 56 分)本...

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(二)试题

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(二)试题_数学_高中教育_教育专区。上海华师大二附中高三综合卷华东师大二附中 2015 届暑期练习(二) 数学试卷一. 填空...

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(六)试题

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(六)试题_数学_高中教育_教育专区。华东师大二附中 2015 届暑期练习(六) 数学试卷一. 填空题:(本题满分 56 分,每...

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学试题(4) W...

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学试题(4) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。华东师大二附中 2015 届暑期练习(四) 数学试卷 一、填空题(每小题 ...

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(三)试题

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(三)试题_数学_高中教育_教育专区。上海华师大二附中高三综合卷华东师大二附中 2015 届暑期练习(三) 数学试卷一、填空...

上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习卷(二)

上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习(二)_数学_高中教育_教育专区。上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习(二)华东师大二附中 2015 届暑期练习(二) 数学...

上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习卷(五)

上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习卷(五)_数学_高中教育_教育专区。上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习卷(五)华东师大二附中 2015 届暑期练习(五) 数学...

上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习卷(三)

上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习卷(三)_数学_高中教育_教育专区。上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习卷(三)华东师大二附中 2015 届暑期练习(三) 数学...

华东师大二附中2015届高三数学暑期测试卷(答案)

华东师大二附中2015届高三数学暑期测试卷(答案)_数学_高中教育_教育专区。华东师大...题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (第 43 页例题 18,2005 年上海市...

华东师大二附中2015届暑期数学练习(五)(含答案)

华东师大二附中2015届暑期数学练习(五)(含答案)_数学_高中教育_教育专区。华东师大二附中 2015 届暑期练习() 数学试卷一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题...