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贵州省兴义市第九中学2010届高三第一次月考数学


贵州省兴义市第九中学 2010 届高三第一次月考 数学
一、选择题(本答题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分在每小题.给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若不等式 ( a ? 2 ) x 2 + 2 ( a ? 2 ) x ? 4 < 0 对一切 x ∈ R 恒成立,则 a 的取值范围是( A. )

( ?∞, 2]


3 2

B.

( ?2, 2 )

C.

( ?2, 2]

D.

( ?∞, ?2 )


+ 2. p : f ( x) = x + 2 x + mx + 1 在 (?∞, ∞) 内单调递增,q : m ≥ 设
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4 , p 是q的 则 ( 3

3.函数 y = f ( x ) 在一点的导数值为 0 是函数 y = f ( x ) 在这点取极值的( A 充分条件
2 1



B 必要条件
1 1 1

C 充要条件
5

D 必要非充分条件

1 4.化简 ( a 3 b 2 )( ?3a 2 b 3 ) ÷ ( a 6 b 6 ) 的结果 3
A. 6a B. ? a C. ? 9a ( D. 9a )
-1
0
2





5. f ' ( x ) 的图象如右图所示,则 f (x ) 的图象可能是

y

+1

6.若函数 f ( x ) = x +
2

A.? B.? C.? D.?

a (a ∈ R ) ,则下列结论正确的是 x a ∈ R , f (x) 在(0,+∞)上是增函数 a ∈ R , f (x) 在(0,+∞)上是减函数 a ∈ R , f (x) 是偶函数 a ∈ R , f (x) 是奇函数





?3x , ( x ≤ 1), ? 7. 已知函数 f ( x) = ?log x, ( x > 1), 则 y = f (1 ? x) 的大致图象是( ? 1 ? 3



8. Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则“数列 {Sn } 为等差数列”是“数列 {an } 为常数列”的 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题(本答题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 函数 f ( x) = 1 ? (

1 的定义域是______ x

10.在直角坐标平面内,由直线 x = 1 , x = 0 , y = 0 和抛物线 y = ? x 2 + 2 所围成的平面 区域的面积是________ 11. 同时满足条件: M ? {1,2,3,4,5}; ②若 a ∈ M , 则6-a ∈ M , ① 这样的集合 M 有 个。

12 设 f ( x ) = x 3 ? 1 x 2 ? 2 x + 5 ,当 x ∈ [?1,2] 时, f ( x) < m 恒成立,则实数 m 的取值范 2 围为 .

13 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x = 1 对 称 , f ( ?1) = 1 , 则

f (1) + f (2) + f (3) + ? + f (2009) 的值为________
14.函数 f ( x ) = x 2 ? 2 x , x ∈ [ ?1, m] 图象上的最高点为 A,最低点为 B,A、B 两点之间 的距离是 2 5 ,则实数 m 的取值范围是_______ 三、解答题(本答题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品, 2 件为次品: (Ⅰ)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (Ⅱ)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率

16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 6 ln x ( x > 0) 和 g (x ) = a x + 8 x ( a 为常数)的图象在
2

x = 3 处有平行切线. (1)求 a 的值;
(2)求函数 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 的极大值和极小值.

17. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = x + x ? 2 ? 1 , x ∈ R
2

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求函数的最小值.

18. (本小题满分 14 分)

已知 a>0,函数 f ( x) = x 3 ? ax 在 x ∈ [1 , + ∞ ) 是一个单调函数, (1)求实数 a 的取值范围;

(2)设 x0 ≥ 1 , f ( x0 ) ≥ 1 ,且 f ? f ( x0 ) ? = x0 ,试证明: f ( x0 ) = x0 ? ?

19.(本小题满分 14 分) 通过研究学生的学习行为, 专家发现, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变 化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态, (分钟) 的变化规律 f (t ) ( 随后学生的注意力开始分散, f (t ) 表示学生注意力随时间 t 设 越大,表明学生注意力越集中) ,经过实验分析得知:

?? t 2 + 24t + 100(0 < t ≤ 10) ? f (t ) = ? 240 (10 < t ≤ 20) ? ? 7t + 380(20 < t ≤ 40) ?
(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (2)讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较,何时学生的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求学生的注意力至少达到 180,那么经 过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?

20. (本题满分 14 分)某企业为了适应市场需求,计划从 2010 年元月起,在每月固定投资 5 万元的基础上,元月份追加投资 6 万元,以后每月的追加投资额均为之前几个月投资 额总和的 20%,但每月追加部分最高限额为 10 万元. 记第 n 个月的投资额为 an (万元). (1)求 an 与 n 的关系式; ( 2 ) 预 计 2010 年 全 年 共 需 投 资 多 少 万 元 ? ( 精 确 到 0.01 , 参 考 数 据 :
1.22 = 1.44, 3 = 1.73, 1.2 1.24 = 2.07, 5 = 2.49, 6 = 2.99) 1.2 1.2

贵州省兴义市第九中学 2010 届高三第一次月考 数学参考答案
一、选择题(本答题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 D 6 C 7 C 8 B

解析: 1. ∪B={0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,4},?U (A∩B)={0,3,5},故选 A。也可用 , 摩根定律:?U (A∩B)=?U A∪?U B. 3.由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到: a < 0,0 < c < 1 ,而 b = log 2 3 > 1 ,因 此 选B 5.利用 f '(x)的正负与 f (x ) 单调的关系 6.对于 a = 0 时有 f ( x) = x 2 是一个偶函数,答案:C 二、填空题(本答题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. {x | x ≥ 1 或 x < 0} 10.

5 3

11.8; 12. (7, +∞ ) 13. ? 1 14. 1 ≤ m ≤ 3 . 三、解答题(本答题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序 ( x, y, z ) 记录结果,则 x, y , z 都有 10 种可能,所 以试验结果有 10 ×10 × 10 = 10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事件
3

共有 8 × 8 × 8 = 8 种,因此, P ( A) =
3

83 = 0.512 103

(2)可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录 ( x, y , z ) ,则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能, z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10 × 9 × 8 = 720 种

设 事 件 B 为 “ 3 件 都 是 正 品 ” 则 事 件 B 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 8× 7 × 6 , 所 以 ,

P( B) =

336 7 = 720 15 6 , g ' ( x) = 2ax + 8 , x

16. (本题满分 12 分) 解:(I) f ' ( x ) =

根据题意,得 f ' (3) = g ' (3) 解得 a = ?1 (II) F ( x) = f ( x) ? g ( x) = 6 ln x + x ? 8 x
2

令 F ' ( x) = 得 x = 1,3

6 + 2x ? 8 = 0 , x

∵ 0 < x < 1 时, F ' ( x) > 0, F (x) 单调递增;

1 < x < 3 时, F ' ( x) < 0, F (x) 单调递减; x > 3 时, F ' ( x) > 0, F (x) 单调递增.
∴ F (x) 的极大值为 F (1) = -7,

F (x) 的极小值为 F (3) = -15 + 6ln 3ln
17. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ f (2) = 3 , f ( ?2) = 7 ,

由于 f ( ?2) ≠ f (2) ,且 f ( ?2) ≠ ? f (2) , 故 f ( x) 在 x ∈ R 上既不是奇函数也不是偶函数;

(2)∵ f ( x) = ?

? x 2 + x ? 3, x ≥ 2 , x 2 ? x + 1, x < 2 ?
2

当 x ≥ 2 时, f ( x) = x 2 + x ? 3 在 [2, +∞) 上单调递增,最小值为 f (2) = 3 , 当 x < 2 时, f ( x) = x ? x + 1 = ( x ? ) +
2

1 2

3 1 3 ,在 ( ?∞, 2) 内的最小值为 f ( ) = , 4 2 4

故函数 f ( x) 在 x ∈ R 上的最小值为 18. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) y ' = f ' ( x) = 3 x 2 ? a ,

3 . 4

若 f (x) 在 [1,+∞) 上是单调递减函数,则 y ' ≤ 0 ,即 a ≥ 3 x 在 x ∈ [1, +∞) 上恒成立,
2

∵ 当 x ∈ [1, +∞) 时, 3 x 2 ≥ 3 ,此时实数 a 不存在
若 f (x) 在 [1,+∞) 上是单调递增函数,则 y ' ≥ 0 ,即 a ≤ 3 x 在 x ∈ [1, +∞) 上恒成立,
2

∵ 当 x ∈ [1, +∞) 时, 3 x 2 ≥ 3 ,又∵ a > 0 ,∴ 0 < a ≤ 3

(Ⅱ) 用反证法证明:假设 f ( x0 ) ≠ x0 ,则 f ( x0 ) > x0 或 f ( x0 ) < x0 , 若 1 ≤ x 0<f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 )<f ( f ( x 0 )) = x 0 矛盾, 若 1 ≤ f ( x 0 )<x 0 ,则 f ( f ( x 0 ))<f ( x 0 ) ,即 x 0<f ( x 0 ) 矛盾, 故假设不成立,即 f ( x 0 ) = x 0 成立.

又 x0 ≥ 1 , f ( x0 ) ≥ 1 ,且由(Ⅰ)可知 f (x ) 在 [1,+∞) 上为单调增函数,

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)设切去正方形边长为 x,则焊接成的长方体的底面边长为 4-2x,高为 x , 2 3 2 所以 V1= (4-2x) ·x = 4(x -4x + 4x) (0<x<2) . / 2 ∴V1 = 4(3x -8x + 4), 令 V1 = 0,即 4(3x -8x + 4) = 0,解得 x1 = ∵ V1 在(0,2)内只有一个极值, 2 128 时,V1 取得最大值 . 3 27
/ 2

2 ,x2 = 2 (舍去) . 3

∴ 当x =

(2)重新设计方案如下: 如图①,在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形;如图②,将切下的小正 方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③,将图②焊成长方体容器.新焊长方体容 器底面是一个长方形,长为 3,宽为 2,此长方体容积 V2 = 3×2×1 = 6,显然 V2>V1. 故第二种方案符合要求.

图①

图②

图③

注:第二问答案不唯一。 20.解: (1)设前 n 个月投资总额为 Sn , 则 n ≥ 2 时, an = 5 + Sn ?1 ,∴ an +1 = 5 + S n , 两式相减得: an +1 ? an = ( Sn ? Sn ?1 ) = an ,∴ an +1 = an , 又 a1 = 11, a2 = 5 + a1 =
1 5 36 36 6 6 ,∴ an = a2 q n ? 2 = i ( ) n ? 2 = 6( ) n ?1 (n ≥ 2), 5 5 5 5 1 5 1 5 6 5 1 5 1 5

又 an ≤ 15 ,∴ 6 × 1.2n?1 ≤ 15 ,∴ n ? 1 ≤ 5 ,∴ n ≤ 6.
?11, (n = 1) ? n ?1 ∴ an = ?6 ×1.2 , (2 ≤ n ≤ 6) ? (n ≥ 7) ?15,

(2) S12 = a1 + (a2 + ? + a6 ) + (a7 + ? + a12 ) = 11 + 6 × (1.2 + ? + 1.25 ) + 6 × 15

= 101 + 6 ×

1.2(1.25 ? 1) = 154.64(万元) 1.2 ? 1

故预计 2010 年全年共需投资 154.64 万元


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