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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第二章 2.4


数学

北(理)

§2.4 二次函数与幂函数
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式
2 ax +bx+c(a≠0) ①一般式:f(x)=



2 a ( x - h ) +k(a≠0) . ②顶点式:f(x)=

③零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0)



基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) f(x)=ax2+bx+c (a<0)
知识回顾 理清教材

图像

定义域 值域

(-∞,+∞)
? 4ac ? b 2 ? ? 4a , ?? ? ? ?
题型分类

(-∞,+∞)
? 4ac ? b 2 ? ? ??, 4a ? ? ?
思想方法 练出高分

基础知识

基础知识·自主学习
要点梳理
? b? x∈ ?-∞,-2a? ? ?

知识回顾 理清教材

在 单调性



? b? ?-∞,- ? 2a? x∈ ?



上单调递减;

对称性

单调递增; ? ? b ? ? b ? ? ?- ,+∞? 在 x∈ ?-2a,+∞? 上 ? 在 x∈ ? 2a 单调递减 上单调递增 b 函数的图像关于 x=- 对称 2a

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.幂函数 (1)定义:如果一个函数,底数是自变量,指数是常量 α,即
知识回顾 理清教材

y=xα ,这样的函数称为幂函数.
(2)幂函数的图像

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(3)幂函数的性质比较 y=x 定义域 值域 y=x2 y=x3 y= x
1 2

知识回顾 理清教材

y=x-1

R R

R [0,+∞) 偶函数

R R

[0,+∞) [0,+∞)

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0}

奇偶性 奇函数

非奇非偶 奇函数 函数

奇函数

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

x∈[0,+∞)
单调性

x∈(0,+∞) 时,减;



时,增; x∈(-∞,0] 时,减





x∈(-∞,0) 时,减

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) × (6) ×

解析

B D [1,2]
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图像和性质
2

【例 1】 已知函数 f(x)=x +2ax +3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y = f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.
基础知识 题型分类

思维启迪

解析

思维升华

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图像和性质
2

【例 1】 已知函数 f(x)=x +2ax +3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y = f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 函数;

思维启迪

解析

思维升华

对于 (1) 和 (2) 可根据对称轴与 区间的关系直接求解,对于 (3) ,应先将函数化为分段函 数,再求单调区间,注意函数

(3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 定义域的限制作用. 区间.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图像和性质
2

【例 1】 已知函数 f(x)=x +2ax +3,x∈[-4,6].

思维启迪

解析

思维升华



(1)当 a=-2 时,

f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,

(1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; 由于 x∈[ -4,6] ,∴f(x)在[ -4,2]
在[ 2,6] 上单调递增, (2)求实数 a 的取值范围,使 y 上单调递减, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, = f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 又 f(-4)=35,f(6)=15, 函数;
故 f(x)的最大值是 35.

(3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.
基础知识 题型分类

(2)由于函数 f(x)的图像开口向上, 对称轴是 x=-a,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图像和性质
2

【例 1】 已知函数 f(x)=x +2ax +3,x∈[-4,6].

思维启迪

解析

思维升华

所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调 函数,应有-a≤-4 或-a≥6,

(1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; 即 a≤-6 或 a≥4.
2 (3) 当 a = 1 时, f ( x ) = x +2x+3, (2)求实数 a 的取值范围,使 y ∴f(|x|)=x2+2|x|+3, 此时定义域 = f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 为 x∈[ -6,6] , 且 f(x)= 函数; 2 ? ?x +2x+3,x∈?0,6] (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 ? 2 , ? x - 2 x + 3 , x ∈ [ - 6 , 0] ? 区间. ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],

单调递减区间是[ -6,0] .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图像和性质
2

【例 1】 已知函数 f(x)=x +2ax +3,x∈[-4,6].

思维启迪

解析

思维升华

(1) 二次函数在闭区间上的最值 主要有三种类型:轴定区间定、

(1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; 轴动区间定、轴定区间动,不论 (2)求实数 a 的取值范围,使 y 哪种类型,解决的关键是考查对 = f(x) 在区间 [ - 4,6] 上是单调 称轴与区间的关系,当含有参数 时,要依据对称轴与区间的关系 函数; 进行分类讨论; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 (2) 二次函数的单调性问题则主 区间.
基础知识 题型分类

要依据二次函数图像的对称轴进 行分析讨论求解.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析

跟踪训练 1

(1)二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2, 1 2 y = ( x - 2) -1 . 最小值为-1,则它的解析式是__________________ 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (2)若函数 f(x)=2x2+mx-1 在区间[-1,+∞)

(-∞,-3] . 上递增,则 f(-1)的取值范围是____________
解析 m ∵抛物线开口向上,对称轴为 x=- , 4

m ∴- ≤-1,∴m≥4. 4
又 f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3].

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
2

【例 2】

已知函数 f(x)=ax

思维启迪

解析

思维升华

+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
2

【例 2】

已知函数 f(x)=ax

思维启迪

解析

思维升华

+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

利用 f(x)的最小值为 f(-1)=0 可列两个方程求出 a、b;恒成 立问题可以通过求函数最值 解决.

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
2

【例 2】

已知函数 f(x)=ax

思维启迪

解析

思维升华

+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 为



(1)由题意有 f(-1)=a-b+

1=0,

b f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 且-2a=-1,∴a=1,b=2.

并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.
基础知识 题型分类

∴f(x)=x2+2x+1,单调减区间 为(-∞,-1],

单调增区间为[-1,+∞).

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
2

【例 2】

已知函数 f(x)=ax

思维启迪

解析

思维升华

+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.
基础知识 题型分类

(2)f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上 恒成立,
转化为 x2+x+1>k 在区间[ -3, -1] 上恒成立.

设 g(x)=x2+x+1,x∈[ -3,-1] , 则 g(x)在[ -3,-1] 上递减.
∴g(x)min=g(-1)=1.

∴k<1,即 k 的取值范围为 (-∞,1).
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
2

【例 2】

已知函数 f(x)=ax

思维启迪

解析

思维升华

+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

有关二次函数的问题,数形结 合,密切联系图像是探求解题 思路的有效方法.用函数思想 研究方程、不等式(尤其是恒成 立)问题是高考命题的热点.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
解 (1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[ -5,5] ,

所以当 x=1 时,f(x)取得最小值 1; 当 x=-5 时,f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 的图像的对称轴为直线 x=-a,
因为 y=f(x)在区间[ -5,5] 上是单调函数,

所以-a≤-5 或-a≥5,即 a≤-5 或 a≥5.

故 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 幂函数的图像和性质
2

【例 3】 (1)已知幂函数 f ( x) ? (n2 ? 2n ? 2) xn ?3n (n∈Z)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n 的值为 A.-3
1 2

(

)

B. 1
1 2

C. 2

D.1 或 2 ( )

2 ( m ? m ? 1) ,则实数 m 的取值范围是 (2)若 (2m ? 1) > ? ? 5-1 ? - 5-1? ? ? ? ? A.?-∞, B . ,+∞ ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 5-1 ? ? ? C.(-1,2) D.? ,2 ? 2 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 幂函数的图像和性质
2

【例 3】 (1)已知幂函数 f ( x) ? (n2 ? 2n ? 2) xn ?3n (n∈Z)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n 的值为 A.-3
1 2

(

)

B. 1
1 2

C. 2

D.1 或 2 )

2 ( m ? m ? 1) ,则实数 m 的取值范围是 ( (2)若 (2m ? 1) > ? ? 5-1 ? - 5-1? ? ? ? ? A.?-∞, B . ,+∞ ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 ? 5- ?-2=1,再利 思维启迪 (1)由幂函数的定义可得 n1 +2n ? ? C.(-1,2) D.? ,2 ? 2 ? ? 用 f(x)的单调性、对称性求 n;

(2)构造函数 y= x ,利用函数单调性求 m 范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

1 2

题型分类·深度剖析
题型三
解析

幂函数的图像和性质
2

【例 3】 (1)已知幂函数 f ( x) ? (n2 ? 2n ? 2) xn ?3n (n∈Z)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n 的值为 ( ) 解得 n=1 或 n=- 3,经检验只有 n=1 适合题意,故选 B. 1 A .- 3 C. D.1 或 2 2 1的定义域为 (2) 因为函数 y=B. [02 ,+∞),且在定义域内为增函数,
2 ( m m ? 1) 2m + 1≥ 0, (2)若 (2m ? 1) > ?? ,则实数 m 的取值范围是 ( ? 2 ? ? +m-1≥0, ? 5-1 ? - 5- 1 m ? 所以不等式等价于 ? ? ? ? A.?-∞, B . ,+∞ ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ?2m+1>m +m-1. ? 5-1 ? 1 ? ? C . ( - 1,2) D . 解 2m+1≥0,得 m≥-2; ,2 ? ? 2 ? ? - 5-1 5-1 2 解 m +m-1≥0,得 m≤ 或 m≥ 2 . 2 5-1 2 解 2m+1>m +m-1,得-1<m<2, 综上 2 ≤m<2.

(1)由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,

1 2

x

1 2

)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 幂函数的图像和性质
2

【例 3】 (1)已知幂函数 f ( x) ? (n2 ? 2n ? 2) xn ?3n (n∈Z)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n 的值为 A.-3
1 2

( B )

B. 1
1 2

C. 2

D.1 或 2 ( D )

2 ( m ? m ? 1) ,则实数 m 的取值范围是 (2)若 (2m ? 1) > ? ? 5-1 ? - 5-1? ? ? ? ? A.?-∞, B . ,+∞ ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 5-1 ? ? ? C.(-1,2) D.? ,2 ? 2 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 幂函数的图像和性质
2

【例 3】 (1)已知幂函数 f ( x) ? (n2 ? 2n ? 2) xn ?3n (n∈Z)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n 的值为 A.-3
1 2

( B )

B. 1
1 2

C. 2

D.1 或 2

2 ( m ? m ? 1) ,则实数 m 的取值范围是 ( D ) (2)若 (2m ? 1) > ? ? 5-1 ? - 5-1? ? ? ? ? A.?-∞, B . ,+∞ ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 5-1 ? ? ? C.(-1,2) D.? ,2α ? 2 ? 思维升华 (1)幂函数解析式一定要设为 y=x ? (α 为常数的形式);

(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知幂函数

f ( x) ? x

( m2 ?m) ?1

(m∈N+)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2), 试确定 m 的值, 并求满足条件 f(2-a)>f(a -1)的实数 a 的取值范围.

而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, 解 (1)m2+m=m(m+1),m∈N+, ∴m(m+1)为偶数. 2 ?1 ( m ? m ) ∴函数 f ( x) ? x (m∈N+)的定义域为[0, +∞), 并且
在定义域上为增函数.

(2)∵函数 f(x)经过点(2, 2), ∴ 2= 2

( m2 ? m ) ?1

,即 2 = 2

1 2

( m2 ? m ) ?1
1 2

.

∴m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2. 又∵m∈N+,∴m=1.∴f(x)= x . ?2-a≥0, ? 3 3 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0 解得 1≤a<2.∴a 的取值范围为[1, ). 2 ?2-a>a-1. ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图像; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图像; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)因 f(x)的表达式中含|x|,故应分类讨论,将原表达式化为分段 函数的形式,然后作图.
(2)因 a∈R,而 a 的取值决定 f(x)的表现形式,或为直线或为抛物 线,若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况,故应分类讨论 解决.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图像; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒



(1)当 a=1

2 ? x +x+1,x<0 ? 2 时,f(x)=x -|x|+1=? 2 ? ?x -x+1,x≥0

.

3分

作图(如右图所示)
(2)当 x∈[1,2] 时,f(x)=ax2-x+2a-1.
若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2] 上是减函数, g(a)=f(2)=-3.
基础知识 题型分类 思想方法

5分 6分

7分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图像; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

若 a≠0,则

1 f(x)图像的对称轴是直线 x= . 2a 当 a<0 时,f(x)在区间[1,2] 上是减函数,

? 1 ?2 1 ? ? f(x)=a x-2a +2a- -1, 4a ? ?

g(a)=f(2)=6a-3. 1 1 当 0< <1,即 a> 时,f(x)在区间[1,2] 上是增函数, 2a 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图像; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

g(a)=f(1)=3a-2.
?1? 1 1 1 1 ? ? 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时,g(a)=f 2a =2a- -1. 2a 4 2 4a ? ?

1 1 当 >2,即 0<a< 时,f(x)在区间[1,2] 上是减函数, 2a 4
g(a)=f(2)=6a-3.
基础知识 题型分类 思想方法
11分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图像; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

? ?6a-3, ? ? 1 ? 2 a - -1, 综上可得,g(a)= 4 a ? ? 1 3 a - 2 , a > ? 2 ?
基础知识 题型分类

1 a< 4 1 1 ≤a≤ . 4 2

12分

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图像; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法, 在二次函数最值 问题的讨论中,一是要对二次项系数进行讨论,二是要对对称轴 进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要 一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免 分类,绝不无原则的分类讨论.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1. 二次函数、 二次方程、 二次不等式间相互转化的一般规律:

方 法 与 技 巧

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函 数的图像数形结合来解,一般从:①开口方向;②对称轴 位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二 次函数的图像、性质求解.

2.幂函数 y=xα(α∈R)图像的特征 α>0 时, 图像过原点和(1,1), 在第一象限的图像上升; α<0 时,图像不过原点, 在第一象限的图像下降, 反之也成立.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.对于函数 y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就 必须满足 a≠0,当题目条件中未说明 a≠0 时,就

失 误 与 防 范

要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.
2.幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会 出现在第四象限, 至于是否出现在第二、 三象限内, 要看函数的奇偶性;幂函数的图像最多只能同时出 现在两个象限内;如果幂函数图像与坐标轴相交, 则交点一定是原点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.若 f(x)=x2-ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是( C ) A.a≤-2 C.a>2 或 a<-2 B.-2<a<2 D.1<a<3

解析

∵f(x)=x2-ax+1 有负值,

∴Δ=a2-4>0,则 a>2 或 a<-2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中 的图像大致是 ( C )

解析

若 a>0,则一次函数 y=ax+b 为增函数,二次函数 y=

ax2+bx+c 的开口向上,故可排除 A; 若 a<0,一次函数 y=ax+b 为减函数,二次函数 y=ax2+bx +c 开口向下,故可排除 D; b 对于选项 B,看直线可知 a>0,b>0,从而- <0,而二次函 2a

数的对称轴在 y 轴的右侧,故应排除 B,因此选 C.
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3.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x) =f(-x),那么 A.f(-2)<f(0)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) B.f(0)<f(-2)<f(2) D.f(0)<f(2)<f(-2) ( D )

1 解析 由 f(1+x)=f(-x)知 f(x)的图像关于 x= 对称, 2
又抛物线开口向上,结合图像(图略)可知 f(0)<f(2)<f(-2).

基础知识

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4.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞) B.[2,+∞) D.[0,2] ( D )

解析 二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1] 上单调递 减,则 a≠0,f′(x)=2a(x-1)<0,x∈[0,1] ,

所以 a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线 x=1.

所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2.
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1 2
1 2

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3 4

专项基础训练
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5.已知 f(x)= x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( C ) 1 1 1 1 A.f(a)<f(b)<f(a)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(b)<f(a) 1 1 1 1 C.f(a)<f(b)<f(b)<f(a) D.f(a)<f(a)<f(b)<f(b)
1 2

解析 因为函数 f(x)= x

在(0,+∞)上是增函数,

1 1 又 0<a<b<b<a,故选 C.

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6.若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m

1 0≤m≤ 的取值范围是____________ 4 .

解析

m=0 时,函数在给定区间上是增函数;

1 m≠0 时, 函数是二次函数, 对称轴为 x=- ≤-2, 2m 1 1 由题意知 m>0,∴0<m≤ .综上 0≤m≤ . 4 4

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7.若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a

1 0<a≤ . 的取值范围是________ 4

解析

令 f(x)=x2-11x+30+a.

? ?Δ≥0 结合图像有? ? ?f?5?>0

1 ,∴0<a≤ . 4

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专项基础训练
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8.当

? ? ? ? 1 ? α∈?-1,2,1,3? 时,幂函数 ? ? ?

y=xα 的图像不可能经

二、四 象限. 过第________

解析 当 α=-1、1、3 时,y=xα 的图像经过第一、三 象限;

1 当 α= 时,y=xα 的图像经过第一象限. 2

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9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)> -2x 的解集为(1,3).若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的 根,求 f(x)的单调区间.

解 ∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),

设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0,
∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.
由方程 f(x)+6a=0 得 ax2-(2+4a)x+9a=0.
∵方程②有两个相等的根,
∴Δ=[ -(2+4a)] 2-4a· 9a=0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分




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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)> -2x 的解集为(1,3).若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的 根,求 f(x)的单调区间.
1 解得 a=1 或 a=- .由于 a<0,舍去 a=1. 5 1 将 a=- 代入①式得 5 1 2 6 3 1 6 2 f(x)=- x - x- =- (x+3) + , 5 5 5 5 5 ∴函数 f(x)的单调增区间是(-∞,-3],
单调减区间是[-3,+∞).
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5 6 7 8 9 10

10.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.
解 函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,
对称轴方程为 x=a.
(1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a,
∴1-a=2,∴a=-1.

(2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1,

1± 5 ∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,∴a= 2 (舍). (3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2.
综上可知,a=-1 或 a=2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

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B组
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专项能力提升
3 4 5

?1x ?? ? -7,x<0, 1.设函数 f(x)=? 2 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是 ? ? x,x≥0, ( C ) A.(-∞,-3) C.(-3,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

解析

1a - 当 a<0 时,(2) -7<1,即 2 a<23,

∴a>-3,∴-3<a<0.

当 a≥0 时, a<1,∴0≤a<1.
故-3<a<1.
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1
{m|f(m)<0},则

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专项能力提升
3 4 5
( A ) B. 任意 m∈A, 都有 f(m+3)<0

2 .已知函数 f(x) = ax2 + bx + c ,且 a>b>c , a + b + c = 0 ,集合 A = A.任意 m∈A,都有 f(m+3)>0

C.存在 m0∈A,使得 f(m0+3)=0 D. 存在 m0∈A, 使得 f(m0+3)<0
解析 由 a>b>c, a+b+c=0 可知 a>0, c<0,

即 1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根, b 由 a>b,得 1>a, 当 x>1 时,f(x)>0. 设方程 ax2+bx+c=0 的另一个根为 x1, b 则 x1+1=-a>-1,即 x1>-2, 由 f(m)<0 可得-2<m<1, 所以 1<m+3<4,

且 f(1)=0,f(0)=c<0,

由抛物线的图像可知,f(m+3)>0,选 A.

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3.已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R,值域为[1,+∞),

-1或3 . 则 a 的值域为________
解析 由于函数 f(x)的值域为[1,+∞),

所以 f(x)min=1 且 Δ<0.∴- 5+1<a< 5+1.

又 f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,
当 x∈R 时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,

即 a2-2a-3=0,
解得 a=3 或 a=-1.
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4.已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2<a<-1; (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
(1)证明 当 a=0 时,f(0)=c,f(1)=2b+c,又 b+c=0,
则 f(0)· f(1)=c(2b+c)=-c2<0 与已知矛盾,
因而 a≠0,则 f(0)· f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0 b b b 即(a+1)(a+2)<0,从而-2<a<-1.
(2)解 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,
a+b 2b 则 x1+x2=- ,x1x2=- , 3a 3a

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4.已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2<a<-1; (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
a+b 4 b 2 4b 4 4 b 3 2 1 2b 2 =(-3a) +4× 3a =9· (a) +3a+3=9(a+2) +3.
b 1 2 4 ∵-2<a<-1,∴3≤(x1-x2) <9, 3 2 ∴ ≤|x1-x2|< , 3 3 3 2 即|x1-x2|的取值范围是[ , ). 3 3

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5.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 是 f( - 1) = 0 , 且 c = 1 , F(x) = ? ?f?x?,x>0, ? 求 F(2)+F(-2)的值; ? ?-f?x?,x<0, (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取 值范围.
b 解 (1)由已知 c=1,a-b+c=0,且-2a=-1,

解得 a=1,b=2.∴f(x)=(x+1)2.
2 ? ??x+1? ,x>0, ∴F(x)=? 2 ? - ? x + 1 ? ,x<0. ?

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[ -(-2+1)2] =8.
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5.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 是 f( - 1) = 0 , 且 c = 1 , F(x) = ? ?f?x?,x>0, ? 求 F(2)+F(-2)的值; ? ?-f?x?,x<0, (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取 值范围.
(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立,

1 1 即 b≤x-x 且 b≥-x -x 在(0,1]上恒成立. 1 1 又x-x 的最小值为 0,-x -x 的最大值为-2.
∴-2≤b≤0.故 b 的取值范围是[ -2,0] .
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