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湖南省2016届高考数学模拟试卷(四)文(含解析)

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2016 年湖南省高考数学模拟试卷(文科) (四)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设复数 z 满足 1+z=(1﹣z)i,则|z|=( A. B.1 C. D.2 ) )

2.设全集为 R,集合 A={x|x2﹣9<0},B={x|﹣1<x≤

5},则 A∩(?RB)=( A.(﹣3,0) 3.已知 B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1] D.(﹣3,3) ,则 a,b,c 的大小关系是(



A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 4.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( )

A.﹣10 B.6

C.14

D.18

5.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已 知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( )

A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 6. 已知等差数列{an}前四项中第二项为 606, 前四项和 Sn 为 3834, 则该数列第 4 项为 ( )
1

A.2004 B.3005 C.2424 D.2016 7.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r=( )

A.1

B.2

C.4 满足 C.

D.8 , D. ) , ,则 与 的夹角为( )

8.已知向量 A. B.

9. 已知圆 C: x2+y2﹣4x﹣4y=0 与 x 轴相交于 A, B 两点, 则弦 AB 所对的圆心角的大小 ( A. 10.将 上所有点向左平移 A. B. B. C. D.

的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再将图象 个单位,则所得函数图象的一条对称轴为( C. D. AB,若四面 )

11.已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO⊥平面 ABC,2AC= 体 P﹣ABC 的体积为 ,则该球的体积为( A. B.2π ﹣
2



C.

D. ),且双曲线的一

12.已知双曲线

=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, x 的准线上,则双曲线的方程为( ﹣ =1 )

个焦点在抛物线 y =4 A. ﹣ =1 B.

C.



=1

D.



=1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上..
2

13. 曲线 y=e +1 在点 (0, 2) 处的切线与直线 y=0 和 x=0 围成三角形的面积为 14.已知等比数列{an}中,a3+a5=8,a1a5=4,则 = .

﹣x



15.若不等式组

表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值

为 16.已知函数 是

. ,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围 .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若 sinC﹣sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 18.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200, 220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图 (1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样 的方法抽取 11 户居民,则越平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?

19.在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8,现沿对角线 BD 把△ABD 折起,折起后使∠ADC 的余 弦值为 .

3

(1)求证:平面 ABD⊥平面 CBD; (2)若 M 是 AB 的中点,求三棱锥 A﹣MCD 的体积.

20.已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: C2 的公共弦的长为 2 且 与 同向.

+

=1(a>b>0)的一个焦点,C1 与

,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)证明;当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k (x﹣1). .

四.请考生在第(22)、(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.[选修 4-1 几何证明选讲] 22.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (Ⅰ)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

4

[选修 4-4 坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已 知点 A 的极坐标为( 线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)若圆 C 的参数方程为 (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. , ),直线 l 的极坐标方程为 ρ cos(θ ﹣ )=a,且点 A 在直

[选修 4-5 不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)<4 的解集; (Ⅱ)设函数 f(x)的最小值为 g(a),求 g(a)的最小值.

5

2016 年湖南省高考数学模拟试卷(文科)(四) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设复数 z 满足 1+z=(1﹣z)i,则|z|=( A. B.1 C. D.2 )

【考点】复数求模. 【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】由 1+z=(1﹣z)i,可得 z= 的计算公式即可得出. 【解答】解:∵1+z=(1﹣z)i, ∴z= = = =i, ,再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模

则|z|=1. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与 技能数列,属于基础题.

2.设全集为 R,集合 A={x|x2﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则 A∩(?RB)=( A.(﹣3,0) B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1] D.(﹣3,3)



【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】根据补集的定义求得?RB,再根据两个集合的交集的定义,求得 A∩(?RB). 【解答】解:∵集合 A={x|x2﹣9<0}={x|﹣3<x<3},B={x|﹣1<x≤5},∴?RB={x|x≤﹣1, 或 x>5}, 则 A∩(?RB)={x|﹣3<x≤﹣1}, 故选:C.

6

【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于 基础题.

3.已知

,则 a,b,c 的大小关系是(



A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据指数的运算求出 a 的范围,根据对数的运算性质得到 b,c 的范围,比较即可. 【解答】解: = = >2, <0,0< <1,

即 a>2,b<0,0<c<1, 即 a>c>b, 故选:A. 【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质,是一道基础题.

4.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为(



A.﹣10 B.6

C.14

D.18

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图.
7

【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 i=8 时满足条件 i>5, 退出循环,输出 S 的值为 6. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=20,i=1 i=2,S=18 不满足条件 i>5,i=4,S=14 不满足条件 i>5,i=8,S=6 满足条件 i>5,退出循环,输出 S 的值为 6. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的 i,S 的值是解题 的关键,属于基础题.

5.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已 知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( )

A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 【考点】茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来,再除以 5.找甲组数据的中位数 要把甲组数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数为中位数.据此列式求解即可. 【解答】解:乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8; ∴y=8; 甲组数据可排列成:9,12,10+x,24,27.所以中位数为:10+x=15, ∴x=5. 故选:C. 【点评】 本题考查了中位数和平均数的计算. 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以 数据的个数.将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中 位数.
8

6. 已知等差数列{an}前四项中第二项为 606, 前四项和 Sn 为 3834, 则该数列第 4 项为 ( A.2004 B.3005 C.2424 D.2016 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据等差数列前 n 项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可. 【解答】解:已知 a2=606,S4=3834, 则 S3=a1+a2+a3=3a2=1818 即 a4=S4﹣S3=3834﹣1818=2016, 故选:D 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式和通项公式的应用,比较基础.



7.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r=( )

A.1

B.2

C.4

D.8

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】立体几何. 【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可. 【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知, 截圆柱的平面过圆柱的轴线, 该几何体是一个半球拼接半个圆柱, ∴其表面积为: ×4π r2+ ×π r2 又∵该几何体的表面积为 16+20π , ∴5π r2+4r2=16+20π ,解得 r=2, 故选:B.
9

2r×2π r+2r×2r+ ×π r2=5π r2+4r2,

【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于 中档题.

8.已知向量 A. B.

满足 C.

, D.



,则 与 的夹角为(



【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】平面向量及应用. 【分析】设 与 的夹角为 θ ,由数量积的定义代入已知可得 cosθ ,进而可得 θ 【解答】解:设 与 的夹角为 θ , ∵ ∴ , , , ,

=| || |cosθ =1×2×cosθ = ,∴θ =

∴cosθ =﹣ 故选:D

【点评】本题考查数量积与向量的夹角,属基础题.

9. 已知圆 C: x2+y2﹣4x﹣4y=0 与 x 轴相交于 A, B 两点, 则弦 AB 所对的圆心角的大小 ( A. B. C. D.



【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】根据条件令 x=0,求出 AB 的长度,结合三角形的勾股定理求出三角形 ACB 是直角 三角形即可得到结论. 【解答】解:当 y=0 时,得 x ﹣4x=0,解得 x=0 或 x=4, 则 AB=4﹣0=4, 半径 R=2 , )2+(2 )2=8+8=16=(AB)2,
10
2

∵CA2+CB2=(2

∴△ACB 是直角三角形, ∴∠ACB=90°, 即弦 AB 所对的圆心角的大小为 90°, 故选:C. 【点评】本题主要考查圆心角的求解,根据条件求出先 AB 的长度是解决本题的关键.

10.将 上所有点向左平移 A. B.

的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再将图象 个单位,则所得函数图象的一条对称轴为( C. D. )

【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式, 再根据正弦函数的图象的对称性,求得所得函数图象的一条对称轴. 【解答】解:将 可得函数 y=sin(2x+ 再把所得图象象左平移 + ]=sin(2x+ =kπ + ), , 求得 x= ﹣ , k∈z, 故所得函数的图象的对称轴方程为 x= ﹣ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变, )的图象; 个单位,则所得函数图象对应的解析式为 y=sin[2(x+ )

令 2x+

,k∈z. 结合所给的选项, 故选:A. 【点评】本题主要考查 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题.

11.已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO⊥平面 ABC,2AC= 体 P﹣ABC 的体积为 ,则该球的体积为( )

AB,若四面

11

A.

B.2π

C.

D.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】设该球的半径为 R,则 AB=2R,2AC= AB= ,故 AC= R,由于 AB 是球的

直径,所以△ABC 在大圆所在平面内且有 AC⊥BC,由此能求出球的体积. 【解答】解:设该球的半径为 R, 则 AB=2R,2AC= ∴AC= R, AB= ,

由于 AB 是球的直径, 所以△ABC 在大圆所在平面内且有 AC⊥BC, 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得: BC =AB ﹣AC =R , 所以 Rt△ABC 面积 S= ×BC×AC= ,
2 2 2 2

又 PO⊥平面 ABC,且 PO=R,四面体 P﹣ABC 的体积为 , ∴VP﹣ABC= 即 R =9,R =3
3 3

= , ,
3

所以:球的体积 V 球= ×π R = ×π ×3 故选 D.

=4

π.

【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理 地化空间问题为平面问题.

12.已知双曲线
2



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, x 的准线上,则双曲线的方程为( ﹣ =1 )

),且双曲线的一

个焦点在抛物线 y =4 A. ﹣ =1 B.

C.



=1

D.



=1

12

【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得 a、b 的另一个方程,求出 a、b,即可得到双曲 线的标准方程. 【解答】解:由题意, ∵抛物线 y2=4 ∴c=
2 2

=

, ,双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上,

x 的准线方程为 x=﹣


2

∴a +b =c =7, ∴a=2,b= , .

∴双曲线的方程为 故选:D.

【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于 基础题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.曲线 y=e +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 x=0 围成三角形的面积为 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;方程思想;转化法;导数的概念及应用. 【分析】求函数的导数,利用导数求出函数的切线方程,结合三角形的面积公式进行求解即 可. 【解答】解:函数的导数 f′(x)=﹣e , 则 f′(0)=﹣1,则切线方程为 y﹣2=﹣x,即 y=﹣x+2, 切线与 x 轴的交点为(2,0),与 y 轴的交点为(0,2), ∴切线与直线 y=0 和 x=0 围成三角形的面积 S= 故答案为:2 【点评】本题主要考查三角形面积的计算,求函数的导数,利用导数的几何意义求出切线方 程是解决本题的关键.
13
﹣x ﹣x

2 .



14.已知等比数列{an}中,a3+a5=8,a1a5=4,则 【考点】等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列.

=

9 .

【分析】由等比数列的性质可得 a1a5=a32=4,解出 a3,分别可得 q2,而 案. 【解答】解:由等比数列的性质可得 a1a5=a32=4, 解得 a3=2,或 a3=﹣2, 当 a3=2 时,可得 a5=8﹣a3=6,q2= =3

=q4,代入可得答

当 a3=﹣2,可得 a5=8﹣a3=10,q =

2

=﹣5,(舍去)



=q =3 =9

4

2

故答案为:9 【点评】本题考查等比数列的性质,涉及分类讨论的思想,属基础题.

15. 若不等式组

表示的平面区域为三角形, 且其面积等于 , 则 m 的值为 1 .

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】数形结合;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式 进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 若表示的平面区域为三角形, 由 ,得 ,即 A(2,0),

14

则 A(2,0)在直线 x﹣y+2m=0 的下方, 即 2+2m>0, 则 m>﹣1, 则 A(2,0),D(﹣2m,0), 由 ,解得 ,即 B(1﹣m,1+m),



,解得

,即 C(



).

则三角形 ABC 的面积 S△ABC=S△ADB﹣S△ADC = |AD||yB﹣yC| = (2+2m)(1+m﹣ =(1+m)(1+m﹣ 即(1+m)× 即(1+m) =4 解得 m=1 或 m=﹣3(舍).
2

) )= ,

= ,

【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积 公式是解决本题的关键.

15

16. 已知函数 2,0] .

, 若|f (x)|≥ax, 则 a 的取值范围是 [﹣

【考点】绝对值不等式的解法;指、对数不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由题意可得,当 x>0 时,log2(x+1)>0 恒成立,则此时应有 a≤0.当 x≤0 时, |f(x)|=x2﹣2x≥ax,再分 x=0、x<0 两种情况,分别求得 a 的范围, 综合可得结论. 【解答】解:由于函数 ,且|f(x)|≥ax,

①当 x>0 时,log2(x+1)>0 恒成立,不等式即 log2(x+1)≥ax,则此时应有 a≤0. ②当 x≤0 时,由于﹣x +2x 的取值为(﹣∞,0],故不等式即|f(x)|=x ﹣2x≥ax. 若 x=0 时,|f(x)|=ax,a 取任意值. 若 x<0 时,有 a≥x﹣2,即 a≥﹣2. 综上,a 的取值为[﹣2,0], 故答案为[﹣2,0]. 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,对数不等式的解法,体现了分类讨论的数学思 想,属于中档题.
2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若 sinC﹣sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】(Ⅰ)由正弦定理及已知可得 = ,由 sinA≠0,即可证明 sinB=cosA.

16

(Ⅱ)由两角和的正弦函数公式化简已知可得 sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ,由(1) sinB=cosA,可得 sin2B= ,结合范围可求 B,由 sinB=cosA 及 A 的范围可求 A,由三角形内 角和定理可求 C. 【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a=btanA. ∴ =tanA, ∵由正弦定理: ∴ = , ,又 tanA= ,

∵sinA≠0, ∴sinB=cosA.得证. (Ⅱ)∵sinC=sin[π ﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ,由(1)sinB=cosA, ∴sin2B= , ∵0<B<π , ∴sinB= ,

∵B 为钝角, ∴B= , ,

又∵cosA=sinB= ∴A= ,

∴C=π ﹣A﹣B= 综上,A=C=

, .

,B=

【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式的应用,属 于基础题.

18.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200, 220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图

17

(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样 的方法抽取 11 户居民,则越平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?

【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征. 【专题】计算题;数形结合;整体思想;定义法;概率与统计. 【分析】 (1) 由直方图的性质可得 (0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025) ×20=1, 解方程可得; (2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数 为 a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5 可得; (3)可得各段的用户分别为 25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数. 【解答】解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025) ×20=1, 解方程可得 x=0.0075,∴直方图中 x 的值为 0.0075; (2)月平均用电量的众数是 =230,

∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内, 设中位数为 a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5 可得 a=224, ∴月平均用电量的中位数为 224; (3)月平均用电量为[220,240)的用户有 0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有 0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有 0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有 0.0025×20×100=5,

18

∴抽取比例为

= ,

∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25× =5 户 【点评】本题考查频率分布直方图,涉及众数和中位数以及分层抽样,属基础题.

19.在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8,现沿对角线 BD 把△ABD 折起,折起后使∠ADC 的余 弦值为 .

(1)求证:平面 ABD⊥平面 CBD; (2)若 M 是 AB 的中点,求三棱锥 A﹣MCD 的体积.

【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出 AO⊥平面 BCD,由此能证明平面 ABD⊥平面 CBD. (Ⅱ) 分别以 OA, OC, OD 所在直线为坐标轴建系, 利用向量法能求出三棱锥 A﹣MCD 的体积. 【解答】(Ⅰ)证明:菱形 ABCD 中,记 AC,BD 交点为 O,AD=5,∴OA=4,OD=3, 翻折后变成三棱椎 A﹣BCD,在△ACD 中, AC =AD +CD ﹣2AD?CD?cos∠ADC =25+25﹣2× ,
2 2 2

在△AOC 中,OA2+OC2=32=AC2, ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC,又 AO⊥BD,OC∩BD=O, ∴AO⊥平面 BCD, 又 AO? 平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 CBD. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 OA,OC,OD 两两互相垂直,分别以 OA,OC,OD 所在直线为坐标轴建 系, 则 A (0,0,4),B(0,﹣3,0),C(4,0,0),D(0,3,0),M(0,﹣ ,2),

19

=(4, ,﹣2),

=(4,0,﹣4),

=(4,﹣3,0),

设平面 ACD 的一个法向量 =(x,y,z), 则由 ,得 ,

令 y=4,得 =(3,4,3), ∵ =( ),∴A 到平面 ACD 的距离 d= = = .

∵在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8, ∴S△ACD= ∴三棱锥 A﹣MCD 的体积 V= =12, = = .

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用.

20.已知抛物线 C1:x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: C2 的公共弦的长为 2 且 与 同向.

2

+

=1(a>b>0)的一个焦点,C1 与

,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)通过 C1 方程可知 a ﹣b =1,通过 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 象都关于 y 轴对称可得 ,计算即得结论; = 可得(x1+x2)
2 2 2

且 C1 与 C2 的图

(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),通过

﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线 l 方程为 y=kx+1,分别联立直线与抛物线、直线与椭圆 方程,利用韦达定理计算即可. 【解答】解:(Ⅰ)由 C1 方程可知 F(0,1),

20

∵F 也是椭圆 C2 的一个焦点,∴a ﹣b =1, 又∵C1 与 C2 的公共弦的长为 2 ,C1 与 C2 的图象都关于 y 轴对称, , ),

2

2

∴易得 C1 与 C2 的公共点的坐标为(± ∴ ,

又∵a2﹣b2=1, ∴a =9,b =8, ∴C2 的方程为 + =1;
2 2

(Ⅱ)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),





同向,且|AC|=|BD|,



=

,∴x1﹣x2=x3﹣x4,
2 2

∴(x1+x2) ﹣4x1x2=(x3+x4) ﹣4x3x4,

设直线 l 的斜率为 k,则 l 方程:y=kx+1, 由 ,可得 x2﹣4kx﹣4=0,

由韦达定理可得 x1+x2=4k,x1x2=﹣4,



,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,

由韦达定理可得 x3+x4=﹣

,x3x4=﹣



21

又∵(x1+x2) ﹣4x1x2=(x3+x4) ﹣4x3x4, ∴16(k2+1)= + ,

2

2

化简得 16(k +1)=

2



∴(9+8k2)2=16×9,解得 k=± 即直线 l 的斜率为± .



【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查求椭圆方程以及直线的斜率,涉及到韦 达定理等知识,考查计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间;



(Ⅱ)证明;当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k (x﹣1). 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;开放型;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)求导数,利用导数大于 0,可求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣(x﹣1),证明 F(x)在[1,+∞)上单调递减,可得结论; (Ⅲ)分类讨论,令 G(x)=f(x)﹣k(x﹣1)(x>0),利用函数的单调性,可得实数 k 的所有可能取值. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx﹣ ,

∴f′(x)=

>0(x>0),

∴0<x<

, );

∴函数 f(x)的单调增区间是(0,

22

(Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣(x﹣1),则 F′(x)= 当 x>1 时,F′(x)<0, ∴F(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴x>1 时,F(x)<F(1)=0, 即当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,k=1 时,不存在 x0>1 满足题意; 当 k>1 时,对于 x>1,有 f(x)<x﹣1<k(x﹣1),则 f(x)<k(x﹣1), 从而不存在 x0>1 满足题意; 当 k<1 时,令 G(x)=f(x)﹣k(x﹣1)(x>0),则 G′(x)= =0,可得 x1= <0,

x2=

>1,

当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在(1,x2)上单调递增, 从而 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即 f(x)>k(x﹣1), 综上,k 的取值范围为(﹣∞,1). 【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,正确构造 函数是关键.

四.请考生在第(22)、(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.[选修 4-1 几何证明选讲] 22.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (Ⅰ)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

23

【考点】圆的切线的性质定理的证明;直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系;与圆有 关的比例线段. 【专题】计算题;证明题. 【分析】(I)连接 AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同弧 所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E, 等量代换得到∠D=∠E, 根据内错角相等得到两直线平行 即可; (II) 根据切割线定理得到 PA2=PB?PD, 求出 PB 的长, 然后再根据相交弦定理得 PA?PC=BP?PE, 求出 PE,再根据切割线定理得 AD =DB?DE=DB?(PB+PE),代入求出即可. 【解答】解:(I)证明:连接 AB, ∵AC 是⊙O1 的切线, ∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E, ∴∠D=∠E, ∴AD∥EC. (II)∵PA 是⊙O1 的切线,PD 是⊙O1 的割线, ∴PA2=PB?PD, ∴62=PB?(PB+9) ∴PB=3, 在⊙O2 中由相交弦定理,得 PA?PC=BP?PE, ∴PE=4, ∵AD 是⊙O2 的切线,DE 是⊙O2 的割线, ∴AD2=DB?DE=9×16, ∴AD=12
2

24

【点评】此题是一道综合题,要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问 题.本题的突破点是辅助线的连接.

[选修 4-4 坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已 知点 A 的极坐标为( 线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)若圆 C 的参数方程为 【考点】参数方程化成普通方程. 【专题】计算题;规律型;转化思想;直线与圆. 【分析】(1)利用点在直线上,代入方程求出 a,利用极坐标与直角坐标的互化,求出直 线的直角坐标方程. (2)化简圆的参数方程与直角坐标方程,求出圆心与半径,利用圆心到直线的距离与半径 比较即可得到直线与圆的位置关系. 【解答】解:(1)点 A 的极坐标为( =a,且点 A 在直线 l 上. 可得: cos( ﹣ )=a,解得 a= )= . ,即:ρ cosθ +ρ sinθ =2, , ),直线 l 的极坐标方程为 ρ cos(θ ﹣ ) (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. , ),直线 l 的极坐标方程为 ρ cos(θ ﹣ )=a,且点 A 在直

直线 l 的极坐标方程为 ρ cos(θ ﹣

直线 l 的直角坐标方程为:x+y﹣2=0. (2)圆 C 的参数方程为
2

(α 为参数),可得圆的直角坐标方程为:(x﹣1)

+y =1.

2

圆心(1,0),半径为:1. 因为圆心到直线的距离 d= 所以直线与圆相交. 【点评】 本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化, 直线与圆的位置关系的应 用,考查计算能力. = <1,

25

[选修 4-5 不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)<4 的解集; (Ⅱ)设函数 f(x)的最小值为 g(a),求 g(a)的最小值. 【考点】绝对值不等式的解法;分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)化简函数 f(x)的解析式,画出函数的 f(x)的图象,数形结合求得不等式 f(x)<4 的解集. (2)由条件利用绝对值的意义求得 g(a)的最小值.

【解答】解:(1)当 a=1 时,f(x)=2|x﹣1|+|x﹣3|=



由图可得,不等式 f(x)<4 的解集为( ,3). (2)函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的 x 对应点到 a、1、3 对应点的距离 之和,

可得 f(x)的最小值为 g(a)=

,故 g(a)的最小值为 2.

【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学 思想,属于中档题.

26


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