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山东省青岛市2014届高三第二次模拟考试 理科数学

时间:2014-05-15


数学(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. 1. 若集合 A ? { y | 0 ? y ? 2}, B ? {x || x |? 1} ,则 A A. {x | 0 ? x ? 1} 2. 已知 A. ? 4 B. {x |1 ? x ? 2}

(?R B) ?
D. {x |1 ? x ? 2}

C. {x | ?1 ? x ? 0}

1 ? bi ? a ? i ( a, b ? R ) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? 1 ? 2i
B. 4 C. ?10 D. 10

3. 数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a5 ? 1 ,则 a10 ? A. 5 B. ?1 C. 0 D. 1
2

y

0 ? ? ? ? )的图象如图 4. 函数 f ( x)=A sin(? x+? )( A ? 0,? ? 0,
所示,则 f ( ) 的值为

?

4

O

? 6

11? 12

x

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

?2

第 4 题图

5. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,直线 l : x ? ky ? 1 ? 0 与圆

C : x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点, OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k ?
A. ? 2 B. ?1 C. 0 D. 1
开 始 输 入

6. 如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2 ,则输出 y 的值是 A. 0 7. 设 n ? 数为 A. 4 B. ?1 C. ?2 D. ?3

?

?
2 0

1 (4sin x ? cos x) dx, 则二项式 ( x ? ) n 的展开式中 x 的系 x
B. 10 C. 5 D. 6

x
y ? 1 x ?1 2
| y ? x |? 1
是 输 出 否

x ? 2y

8. 已 知 点 P ( a, b) 与 点 Q(1, 0 ) 在 直 线 2 x ? 3y ? 1? 0的 两 侧 , 且

a ?1 a ? 0, b ? 0 , 则 的取值范围是 b 1 A. (??, ?3) B. (? , 0) C. (3, ??) 3
1

y

1 D. (0, ) 3

结 束

9. 已知三棱锥 D ? ABC 中,AB ? BC ? 1 ,AD ? 2 , BD ? 5 ,AC ? 2 ,BC ? AD , 则三棱锥的外接球的表面积为 A. 6? B. 6? C. 5? D. 8?

10. 已知偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x2 , 则关于 x 的 方程 f ( x) ? 10?| x| 在 [ ? A. 4 个

10 10 , ] 上根的个数是 3 3 B. 6 个 C. 8 个 1 2 x 的焦点坐标为 4

D. 10

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 抛物线 y ? ;

12. 已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系, 现观测得到 ( x, y ) 的四组观测值并制作了右边的 对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方

x

18
24

13

10

?1

y

34

38

64


程为 y ? bx ? 60 , 其中 b 的值没有写上. 当 x 不小于 ?5 时, 预测 y 最大为

13. 已知 | a |? 2, | b |? 4 ,以 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 4 3 ,则 a 和 b 的夹角 为 ;

14. 在某班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生, 2 位男生.如果 2 位男 生不能连着出场, 且女生甲不能排在第一个, 那么出场顺序的排法种数为 ;

15. 对于下列命题:①函数 f ( x) ? ax ? 1 ? 2a 在区间 (0,1) 内有零点的充分不必要条件是

1 2 ? a ? ;②已知 E , F , G, H 是空间四点,命题甲: E , F , G, H 四点不共面,命题乙: 2 3
直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的充分不必要条件;③“ a ? 2 ”是“对任意的实

| x ? 1| ? | x ? 1|? a 恒成立”的充要条件; 数x, ④ “ 0 ? m ? 1” 是 “方程 mx ? (m ?1) y ? 1
2 2

表示双曲线”的充分必要条件.其中所有真命题的序号是

.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 , x ? R . (Ⅰ)求函数 y ? f (?3x) ? 1 的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)已知 ?ABC 中的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若锐角 A 满足

f(

A ? 13 3 ? ) ? 3 ,且 a ? 7 , sin B ? sin C ? ,求 ?ABC 的面积. 2 6 14

17. (本小题满分 12 分) 某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了 18 名学生作为志愿者,参加相关的活 动事宜.学生来源人数如下表: 学院 人数 外语学院 生命科学学院 化工学院 艺术学院

4

6

3

5

(Ⅰ)若从这 18 名学生中随机选出两名,求两名学生来自同一学院的概率; (Ⅱ)现要从这 18 名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题.设其中来 自外语学院的人数为 ? ,令? ? 2? ? 1 ,求随机变量? 的分布列及数学期望 E (? ) . 18. (本小题满分 12 分) B 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, AE ? 平面 CDE ,已知 AE ? DE ? 2 , F 为线段 DE 的中点. (Ⅰ)求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)求二面角 C ? BF ? E 的平面角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)
n 已知数列 {an } 中,a1 ? 1 ,an ? an ?1 ? ( ) ,记 T2 n 为 {an } 的前 C

A

1 2

E
F

2 n 项的和, bn ? a2n ? a2n?1 , n ? N? .
(Ⅰ)判断数列 {bn } 是否为等比数列,并求出 bn ; (Ⅱ)求 T2 n . 20. (本小题满分 13 分)

D

已知动圆 P 与圆 F 且与圆 F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1相内切, 记圆心 P 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,
2 2

3

的轨迹为曲线 C ;设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点, O 为坐标原点,过点 F2 作

OQ 的平行线交曲线 C 于 M , N 两个不同的点.
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)试探究 | MN | 和 | OQ |2 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请 说明理由; (Ⅲ)记 ?QF2 M 的面积为 S1 , ?OF2 N 的面积为 S2 ,令 S ? S1 ? S2 ,求 S 的最大值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ( x ? R) , g ( x) 满足 g ?( x) ? 自然对数的底数. (Ⅰ)已知 h( x) ? e
1? x

a (a ? R,x >0) ,且 g (e) ? a , e 为 x

f ( x) ,求 h( x) 在 (1, h(1)) 处的切线方程;
2

(Ⅱ)若存在 x ? [1, e] ,使得 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 , O 为坐标原点,若对于 y ? F ( x) 在 x ? ?1 时的图象 ? g ( x), x ? 1

上的任一点 P ,在曲线 y ? F ( x) ( x ? R) 上总存在一点 Q ,使得 OP ? OQ ? 0 ,且 PQ 的 中点在 y 轴上,求 a 的取值范围.

4

高三自评试题

数学(理科)参考答案及评分标准
AADDC 11. (0,1) 12. 70 CBABB 13.

? 2? 或 3 3

14. 60

15.①②④

16. 解: (Ⅰ)

f ( x) ? 2sin x cos x ? 3(2cos2 x ?1)

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ………………………………………………………2 分 3 ? y ? f (?3x) ? 1 ? 2sin(?6 x ? ) ? 1 ? ?2sin(6 x ? ) ? 1 3 3 2? ? ? ? y ? f (?3x) ? 1 的最小正周期为 T ? ………………………………………3 分 6 3 ? ? ? 1 ? 1 5? ? x ? k? ? 由 2k? ? ? 6 x ? ? 2k? ? 得: k? ? ,k ?Z , 2 3 2 3 36 3 36 1 ? 1 5? ? y ? f (?3x) ? 1 的单调递减区间是 [ k? ? , k? ? ] , k ? Z ………………6 分 3 36 3 36
(Ⅱ)∵ f ( ∵0 ? A ?

?

?

?

A ? ? ? 3 ? ) ? 3 ,∴ 2sin( A ? ? ) ? 3 ,∴ sin A ? ………………7 分 2 6 3 3 2
,∴ A ?

?
2

?
3

.由正弦定理得: sin B ? sin C ?

b?c sin A , a



13 3 b ? c 3 ,∴ b ? c ? 13 ……………………………………………………9 分 ? ? 14 7 2
2 2 2

2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得: a ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc cos A ,

即 49 ? 169 ? 3bc ,∴ bc ? 40 ∴ S?ABC ?

………………………………………………………11 分 …………………………………………12 分

1 1 3 bc sin A ? ? 40 ? ? 10 3 2 2 2

17.解: (Ⅰ)设“两名学生来自同一学院”为事件 A ,

5

则 P( A) ?

2 2 C4 ? C6 ? C32 ? C52 2 ? 2 C18 9

即 两 名 学 生 来 自 同 一 学 院 的 概 率 为

2 .……………………………………………………4 分 9
(Ⅱ) ? 的可能取值是 0,1, 2 ,对应的? 可能的取值为 1 , 3 , 5

P(? ? 1) ? P(? ? 0) ?

2 C14 91 , ? 2 C18 153 1 1 C4 C14 56 , ? 2 C18 153

P(? ? 3) ? P(? ? 1) ?

2 C4 2 P(? ? 5) ? P(? ? 2) ? 2 ? , ………………………………………………………10 分 C18 51

所以? 的分布列为

?
P

1

3

5

91 153

56 153

2 51

…………………………………………………………………11 分 所以 E (? ) ? 1?

91 56 2 17 ? 3? ? 5 ? ? . ……………………………………………12 分 153 153 51 9

18. (本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ)连结 BD 和 AC 交于 O ,连结 OF , …………………………………………1 分

ABCD 为正方形,? O 为 BD 中点,? F 为 DE 中点,

? OF // BE ,…………………………………………………………………………………3 分
BE ? 平面 ACF , OF ? 平面 ACF

? BE // 平面 ACF .…………………………………………………………………………4 分
( Ⅱ ) ? AE ? 平 面 C D E , CD ? 平 面 C D E ,
B

z
A

? AE ? CD ,
ABCD 为正方形,? CD ? AD ,
6

O

x
y
C
D E F

AE

AD ? A,

AD, AE ? 平面 DAE ,

? CD ? 平面 DAE ,
DE ? 平面 DAE ,? CD ? DE ……………………………………………………6 分 D DE 为 x 轴建立如图所示的坐标系, ? 以 为原点,以
则 E (2,0,0) , F (1,0,0) , A(2,0, 2) , D(0,0,0)

AE ? 平面 CDE , DE ? 平面 CDE ,? AE ? DE
AE ? DE ? 2 ,? AD ? 2 2

ABCD 为正方形,? CD ? 2 2 ,?C(0, 2 2,0)
由 ABCD 为正方形可得: DB ? DA ? DC ? (2, 2 2, 2) ,? B(2,2 2,2) 设平面 BEF 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )

BE ? (0, ?2 2, ?2) , FE ? (1,0,0)
由?

? ?n1 ? BE ? 0

? ? ?2 2 y1 ? 2 z1 ? 0 ?? ,令 y1 ? 1 ,则 z1 ? ? 2 x1 ? 0 ? ? ? ?n1 ? FE ? 0

?n1 ? (0,1, ? 2) …………………………………………………………………………… 8
分 设平面 BCF 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

BC ? (?2,0, ?2) , CF ? (1, ?2 2,0)
? ?n2 ? BC ? 0 ? ??2 x2 ? 2 z2 ? 0 ?? 由? ,令 y2 ? 1 ,则 x2 ? 2 2 , z2 ? ?2 2 x ? 2 2 y ? 0 n ? CF ? 0 ? ? 2 ? 2 ? 2

?n2 ? (2 2,1, ?2 2)

……………………………………………………………………10 分

设二面角 C ? BF ? E 的平面角的大小为 ? ,则

cos ? ? cos(? ? ? n1 , n2 ?) ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?

n1 ? n2 1? 4 5 51 ?? ?? 51 | n1 | ? | n2 | 3 ? 17

? 二面角 C ? BF ? E 的平面角的余弦值为 ?

5 51 ……………………………………12 分 51
7

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

?

an ? 2 an bn ? a2n ? a2n?1 ,

1 1 an ? an ?1 ? ( ) n ,? an ?1 ? an ? 2 ? ( ) n ?1 , 2 2 1 1 ? ,即 an ? 2 ? an ………………………………………………………………2 分 2 2

1 1 bn ?1 a2 n ? 2 ? a2 n ?1 2 a2 n ? 2 a2 n ?1 1 ? ? ? ? bn a2 n ? a2 n ?1 a2 n ? a2 n ?1 2 1 所以 {bn } 是公比为 的等比数列. …………………………………………………………5 分 2 1 1 3 a1 ? 1 , a1 ? a2 ? ,? a2 ? ? b1 ? a1 ? a2 ? 2 2 2 3 1 n ?1 3 ? bn ? ? ( ) ? n ………………………………………………………………………6 分 2 2 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an ? 2 ? an ,所以 a1 , a3 , a5 , 是以 a1 ? 1 为首项,以 为公比的 2 2 1 1 等比数列; a2 , a4 , a6 , 是以 a2 ? 为首项,以 为公比的等比数列 …………10 分 2 2

?T2n ? (a1 ? a3 ?

? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ?

? a2n )

1 1 1 1 ? ( )n [1 ? ( ) n ] 2 ?2 2 ? 3 ? 3 ………………………………………………………12 分 ? 1 1 2n 1? 1? 2 2
20. (本小题满分 13 分) 解: (I)设圆心 P 的坐标为 ( x, y ) ,半径为 R
2 2 2 2 由于动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,且与圆 F 2 : ( x ? 3) ? y ? 1 相内切,所以动 2 2 圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 只能内切

?| PF1 |? 9 ? R ?? ?| PF1 | ? | PF2 |? 8 ?| F1F2 |? 6 ………………………………………2 分 ?| PF2 |? R ? 1

? 圆心 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,其中 2a ? 8, 2c ? 6 ,

8

?a ? 4, c ? 3, b2 ? a2 ? c2 ? 7
故圆心 P 的轨迹 C :

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………………4 分 16 7

(II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x3 , y3 ) ,直线 OQ : x ? my ,则直线 MN : x ? my ? 3

? 2 ? 2 112m 2 112m 2 ? x ? my x ? x ? ? ? ? 3 7m 2 ? 16 ? 7 m 2 ? 16 , ? ? 由 ? x2 y 2 可得: ? ? ?1 ? y 2 ? 112 ? y 2 ? 112 ? ? ?16 7 3 2 ? ? 7 m ? 16 7m 2 ? 16 ? ?
? | OQ |2 ? x32 ? y32 ? 112m2 112 112(m2 ? 1) ? ? ……………………………6 分 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16

? x ? my ? 3 ? 由 ? x2 y 2 可得: (7m2 ? 16) y 2 ? 42my ? 49 ? 0 ?1 ? ? ?16 7
? y1 ? y2 ? ? 42m 49 , y1 y2 ? ? 2 7m ? 16 7m 2 ? 16

? | MN |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? [(my2 ? 3) ? (my1 ? 3)]2 ? ( y2 ? y1 ) 2
? m 2 ? 1 | y2 ? y1 | ? m2 ? 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

42m 2 49 56(m2 ? 1) ………………………………8 分 ? m ? 1 (? 2 ) ? 4(? 2 )? 7m ? 16 7m ? 16 7m2 ? 16
2

56(m2 ? 1) | MN | 7m2 ? 16 ? 1 ? ? | OQ |2 112(m2 ? 1) 2 7m2 ? 16
1 ? | MN | 和 | OQ |2 的比值为一个常数,这个常数为 ……………………………………9 分 2
(III)

MN / /OQ ,? ?QF2 M 的面积 ? ?OF2 M 的面积,? S ? S1 ? S2 ? S?OMN

O 到直线 MN : x ? my ? 3 的距离 d ?

3 m2 ? 1
9

?S ?

1 1 56(m2 ? 1) 3 84 m2 ? 1 …………………………11 分 | MN | ?d ? ? ? ? 2 2 2 7m2 ? 16 m2 ? 1 7m ? 16
2 2

令 m2 ?1 ? t ,则 m ? t ? 1 (t ? 1)

S?

84t 84t 84 ? 2 ? 7(t ? 1) ? 16 7t ? 9 7t ? 9 t
2

9 3 9 9 14 ,亦即 m ? ? 时取等号) 7t ? ? 2 7t ? ? 6 7 (当且仅当 7t ? ,即 t ? t 7 t t 7

?当 m ? ?

14 时, S 取最大值 2 7 ……………………………………………………13 分 7

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)

h( x) ? (? x3 ? x2 )e1? x , h?( x) ? ( x3 ? 4x2 ? 2x)e1? x

? h(1) ? 0 , h?(1) ? ?1

? h( x) 在 (1, h(1)) 处的切线方程为: y ? ?( x ? 1) ,即 y ? ? x ? 1 ………………………4 分
(Ⅱ)

g ?( x) ?

a (a ? R,x >0) ,? g ( x) ? a ln x ? c x

? g (e) ? a ln e ? c ? a ? c ? a ? c ? 0 ,从而 g ( x) ? a ln x ……………………………5 分
由 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 得: ( x ? ln x)a ? x ? 2x .
2 2

由于 x ? [1, e] 时, ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时成立,所以 ln x ? x , x ? ln x ? 0 . 从而 a ?

x2 ? 2x x2 ? 2x ) max . ………………………………6 分 ,为满足题意,必须 a ? ( x ? ln x x ? ln x x2 ? 2 x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2ln x) , x ? [1, e] ,则 t ?( x) ? . x ? ln x ( x ? ln x)2

设 t ( x) ?

x ? [1, e] ,? x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? 2ln x ? 0 ,
从而 t ?( x) ? 0 ,? t ( x) 在 [1, e] 上为增函数,

10

所以 t ( x) max ? t (e) ?

e2 ? 2e e2 ? 2e ,从而 a ? . ………………………………………9 分 e ?1 e ?1

(Ⅲ)设 P(t , F (t )) 为 y ? F ( x) 在 x ? ?1 时的图象上的任意一点,则 t ? ?1

PQ 的中点在 y 轴上,?Q 的坐标为 (?t , F (?t )) ,
t ? ?1 ,??t ? 1 ,所以 P(t , ?t 3 ? t 2 ) , Q(?t , a ln(?t )) ,

OP ? OQ ? ?t 2 ? at 2 (t ?1)ln(?t ) .
由于 OP ? OQ ? 0 ,所以 a(1 ? t ) ln(?t ) ? 1 . ……………………………………………11 分 当 t ? ?1 时, a(1 ? t )ln( ?t) ? 1 恒成立,? a ? R ;……………………………………12 分 当 t ? ?1 时, a ? 令 ? (t ) ?

1 , (1 ? t ) ln(?t )

1 (t ? 1) ? t ln(?t ) (t ? ?1) ,则 ? ?(t ) ? t[(1 ? t ) ln(?t )]2 (1 ? t ) ln(?t ) 1 在 (??, ?1) 上 (1 ? t ) ln(?t )

t ? ?1 ,?t ? 1 ? 0, t ln(?t ) ? 0 ,?? ?(t ) ? 0 ,从而 ? (t ) ?
为增函数,由于 t ??? 时, ? (t ) ?

1 ? 0 ,?? (t ) ? 0 ,? a ? 0 (1 ? t ) ln(?t )

综上可知, a 的取值范围是 (??, 0] .……………………………………………………14 分

11


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