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2013届高考数学(理)一轮复习课件: 直线、平面垂直的判定及其性质


直线、平面垂直的判定 及其性质

1.直线与平面垂直
任意一条 (1)定义:如果直线l与平面α内的__________直线都垂直,则直线l与平 面α垂直. 相交 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直,则 该直线与此平面垂直.

平行. (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线________ 2

.直线和平面所成的角 平面上的射影 (1)平面的一条斜线和它在_______________所成的锐角叫做这条直
线和这个平面所成的角.

(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面
90°和0°. 所成的角分别为____________

3.二面角的有关概念
两个半平面 (1)二面角:从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面 角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面 垂直于棱 内分别作______________的两条射线,这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角. 4.平面与平面垂直

(1)定义:如果两个平面所成的二面角是___________,就说这两个 直二面角
平面互相垂直. 垂线 (2)判定定理:一个平面过另一个平面的____,则这两个平面垂直. 垂直于交线 (3)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内_____________的直线 与另一个平面垂直.

1.一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,可以说这条直线 和这个平面垂直吗?

【提示】

不可以.如果这无数条直线是平行的,则这条直线和

这个平面的位置关系不确定

2.两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线有什么位置关 系?垂直于同一平面的两个平面呢?

【提示】 这两条直线平行或相交或异面;垂直于同一个平面的 两个平面可能平行,也可能相交

直线与平面垂直的判定与性质

(2011· 辽宁高考)如图 7-5-2, 四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA= 1 AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值.

【思路点拨】 PQ⊥DQ.

(1) 证 明 PQ⊥ 平 面 DCQ , 只 需 证 PQ⊥DC 且

(2)设AB=a,分别计算两棱锥体积,求出体积比.

【尝试解答】 (1)由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD,所以 QA⊥DC, 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,又 QA∩AD=A, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= PD, PQ⊥QD. 则 2 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ.

(2)设 AB=a. 由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高, 1 所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1= a3. 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高, 2 又 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 a2, 2 1 3 所以棱锥 P—DCQ 的体积 V2= a . 3 故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1.,

如图7-5-3,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M、 N分别是AB、PC的中点,若∠PDA=45°, (1)求证:MN⊥平面PCD; (2)试问矩形ABCD满足什么条件时,PC⊥BD.

【解】 (1)证明 如图,取 PD 的中 点 E,连结 AE,NE. ∵E、N 分别为 PD、PC 的中点, 1 ∴EN 綊 CD. 2 又∵M 为 AB 的中点, 1 ∴AM 綊 CD. 2

∴EN 綊 AM. ∴四边形 AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,∠PDA=45° , ∴△PAD 为等腰直角三角形,∴AE⊥PD. 又∵CD⊥AD,CD⊥PA, ∴CD⊥平面 PAD, 又 AE?平面 PAD,∴CD⊥AE. 又 CD∩PD=D,∴AE⊥平面 PCD. ∴MN⊥平面 PCD. (2)当矩形 ABCD 为正方形时,PC⊥BD,证明如下: 若四边形 ABCD 为正方形,则 AC⊥BD, 又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD, 又 PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 PAC, 则有 PC⊥BD.,

面面垂直的判定与性质

(2011·江苏高考)如图7-5-4,在四棱锥P—

ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,
∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点. 求证:(1)直线EF∥平面PCD;

(2)平面BEF⊥平面PAD.
【思路点拨】 (1)E、F分别是AP、AD的中点

→EF∥PD→EF∥平面PCD.

(2)平面PAD⊥平面ABCD→BF⊥平面PAD→平
面BEF⊥平面PAD

【尝试解答】 (1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的 中点,所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD,PD?平面PCD, 所以直线EF∥平面PCD. (2)连结BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形. 因为F是AD的中点,所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD. 又因为BF?平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PAD.,

如图7-5-5所示,在斜三棱柱A1B1C1—ABC中, AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.D是BC的中 点. (1)求证:AD⊥CC1; (2) 若 AM = MA1 , 求 证 : 平 面 MBC1⊥ 侧 面 BB1C1C. 【证明】 (1)∵AB = AC , D 是 BC 的 中 点 ,

∴AD⊥BC,
又∵侧面BB1C1C⊥底面ABC,AD?平面ABC, ∴AD⊥平面BB1C1C,∴AD⊥CC1.

(2)如图,连结 B1C,交 BC1 于 O,连结 MO, DO,则 O 为 BC1 的中点. 1 又 D 为 BC 的中点,则 DO 綊 CC1, 2 又 M 为 AA1 的中点,且 CC1∥AA1,则 DO 綊 AM, 所以四边形 AMOD 是平行四边形, 故 AD∥MO. 由(1)知 AD⊥平面 BB1C1C, 所以 MO⊥平面 BB1C1C, 又 MO?平面 MBC1, 所以平面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.,

直线、平面垂直的综合应用

如图 7- 5-6所示,平行四边形 ABCD中,
∠DAB=60°,AB=2,AD=4,将△CBD 沿BD折起到△EBD的位置,使平面EDB⊥平

面ABD.
(1)求证:AB⊥DE; (2)求三棱锥E—ABD的侧面积.

【思路点拨】 (1) 在△ABD中,AB⊥BD → AB⊥平面BDE → AB⊥DE . (2)分别计算各侧面面积求和.
【尝试解答】 (1)在△ABD 中,∵AB=2,AD= 4,∠DAB=60° , ∴BD= AB2+AD2-2AB· ADcos∠DAB=2 3, ∴AB⊥BD. 又∵平面 EBD⊥平面 ABD, 平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB?平面 ABD, ∴AB⊥平面 EBD, ∵DE?平面 EBD,∴AB⊥DE.

(2)由(1)知 AB⊥BD,CD∥AB, ∴CD⊥BD,从而 DE⊥BD. 在 Rt△DBE 中,∵DB=2 3,DE=DC=AB=2, 1 ∴S△ DBE= DB· DE=2 3. 2 又∵AB⊥平面 EBD,BE?平面 EBD,∴AB⊥BE. ∵BE=BC=AD=4, 1 ∴S△ ABE= AB· BE=4. 2 ∵DE⊥BD,平面 EBD⊥平面 ABD, ∴ED⊥平面 ABD, 又 AD?平面 ABD,∴ED⊥AD, 1 ∴S△ ADE= AD· DE=4. 2 综上,三棱锥 E—ABD 的侧面积 S=8+2 3.,

如图 7-5-7,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE.

【证明】 (1)设 AC 与 BD 交于点 G. 1 因为 EF∥AG,且 EF=1,AG= AC 2 =1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形, 所以 AF∥EG. 因为 EG?平面 BDE,AF?平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE.

(2)连结FG. 因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1, 所以四边形CEFG为菱形. 所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC. 又因为平面ACEF⊥平面ABCD, 且平面ACEF∩平面ABCD=AC, 所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD. 又BD∩EG=G. 所以CF⊥平面BDE.,

线面角、二面角

(2011· 广东高考)如图 7-5-8, 在锥体 P—ABCD 中,ABCD 是 边长为 1 的菱形,且∠DAB=60° ,PA=PD= 2,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点.

图 7-5-8 (1)证明:AD⊥平面 DEF; (2)求二面角 P—AD—B 的余弦值.

【思路点拨】 (1)取AD的中点G,则平面PGB∥平面DEF, 只需证AD⊥平面PGB即可.(2)作出二面角的平面角∠PGB, 在△PGB中求解.

【尝试解答】 (1)取 AD 中点 G,连结 PG, BG. ∵四边形 ABCD 为菱形,且 E,G 分别为 BC, AD 中点, 则 BG 綊 DE. 又 F 为 PC 中点,则 EF∥PB, 则平面 DEF∥平面 GBP. ∵G 是 AD 中点且 PA=PD, ∴PG⊥AD.

1 在△ABG 中,AG= ,AB=1,且∠DAB=60° , 2 3 由余弦定理得 BG= ,AB2=AG2+BG2,则 AG⊥BG. 2 ∵PG∩BG=G,∴AD⊥平面 PGB,即 AD⊥平面 DEF. (2)由(1)知二面角 P—AD—B 的平面角为∠PGB. 7 在 Rt△PGA 中,PG= PA2-AG2= . 2 3 在△PGB 中,BG= ,PB=2,由余弦定理知,cos∠PGB= 2 7 3 + -4 2 2 2 PG +BG -PB 4 4 21 = =- ., 2PG· BG 7 7 3 2× × 2 2

(2011· 湖南高考)如图 7-5-9,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2, ⊙O 的直径 AB=2,点 C 在 AB 上,且∠CAB=30° ,D 为 AC 的 中点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 POD; (2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值.
【解】 (1)证明 因为OA=OC,D是AC的中 点,所以AC⊥OD. 又 PO⊥ 底 面 ⊙ O , AC? 底 面 ⊙ O , 所 以 AC⊥PO. 又OD,PO是平面POD内的两条相交直线, 所以AC⊥平面POD,

由于AC?平面PAC,
所以平面PAC⊥平面POD,

(2)在平面 POD 中, O 作 OH⊥PD 于 H, OH⊥平面 PAC. 过 则 连结 CH,则 CH 是 OC 在平面 PAC 上的射影. 所以∠OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角. 1 在 Rt△ODA 中,OD=OA· 30° . sin = 2 3 在 Rt△POD 中,PD= OD2+PO2= , 2 OD· PO 2 由 OH· PD=OD· PO,得 OH= = , PD 3 OH 2 在 Rt△OHC 中,sin∠OCH= = , OC 3 故直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为 2 3

高考在对立体几何中的考查中,垂直问题是考查的重点 之一,考查线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用,以及 线面角、二面角的求法,重点考查转化思想的应用,以及空间 想象能力和推理论证能力,主要以解答题的形式考查,解题规 范性至关重要.

规范解答之十三

利用数量关系证明线线垂直

图7-5-10 (12分)(2011·课标全国卷)如图7-5-10,四棱锥P—ABCD中, 底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底 面ABCD.

(1)证明:PA⊥BD;
(2)设PD=AD=1,求棱锥D—PBC的高.

【规范解答】 (1)因为∠DAB=60° ,AB= 2AD, 由余弦定理,BD= 3AD, 从而 AB2=AD2+BD2,故 AD⊥BD,3 分 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD, 所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD.6 分 (2)如图,作 DE⊥PB,垂足为 E.已知 PD⊥ 底面 ABCD,则 PD⊥BC. 由(1)知 BD⊥AD,又 BC∥AD, ∴BC⊥BD. 故 BC⊥平面 PBD,BC⊥DE. 则 DE⊥平面 PBC. ∵AD=1,AB=2,∠DAB=60° 分 ,9 ∴BD= 3.又 PD=1,∴PB=2. 3 根据 DE· PB=PD· BD,得 DE= , 2 3 即棱锥 D—PBC 的高为 .12 分 2

【解题程序】 第一步:在△ABD中,证明AD⊥BD; 第二步:利用线面垂直判定定理证 BD⊥平面PAD,从而证明

PA⊥BD;
第三步:作DE⊥PB,并证明DE⊥平面PBC; 第四步:在△PDB中计算DE的长.

易错提示:(1)受心理定势的消极影响,只会用位置关系平行或
垂直证明线线垂直,不会用数量关系证明线线垂直. (2)作不出棱锥D—PBC的高,无从下手,盲目做答.

防范措施:(1)要有意识地运用数量关系证明线线垂直,如在三
角形中运用余弦定理、逆用勾股定理均可证明线线垂直,等腰 三角形底边上的中线垂直于底边,菱形的对角线互相垂直平分

等.
(2)由于平面PDB⊥平面PBC,所以只需作DE和交线PB垂直即 可 . 利用 面面 垂 直的 性质 作 为求 作一 个 平面 垂线 的 理论 依 据.本题第(2)问也可以不直接求高DE,利用VD—PBC =VP—DBC 求解.

1.(2011·辽宁高考)如图7-5-11,四棱锥S—ABCD

的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论
中不正确的是( A.AC⊥SB )

B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所 成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【解析】

易证AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,A正确.

AB∥DC,DC?平面SCD,故AB∥平面SCD,B正确.

由于SA,SC与平面SBD的相对位置一样,因而所成的角相同.
【答案】 D

2.(2012·江门模拟)如图7-5-12所示,在长方体
ABCD—A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱CC1的中点.

(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;
(2)证明:平面ABM⊥平面A1B1M.

【解】 (1)因为 C1D1∥B1A1, 所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90° . 2 又 A1B1=1,B1M= B1C1+MC2= 2, 1 B1M 故 tan∠MA1B1= = 2. A1B1 ∴异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2.

(2)证明 ∵A1B1⊥平面 BCC1B1,BM?平面 BCC1B1, ∴A1B1⊥BM.① 由(1)知,B1M= 2,又 BM= BC2+CM2= 2,B1B=2, 所以 B1M2+BM2=B1B2, 从而 BM⊥B1M.② 又 A1B1∩B1M=B1,再由①②得,BM⊥平面 A1B1M. 因 BM?平面 ABM, ∴平面 ABM⊥平面 A1B1M.

课时知能训练


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