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【金版学案】2015-2016高中数学 4.3.1空间直角坐标系练习 新人教A版必修2


4.3.1
基 础 梳 理

空间直角坐标系

1.空间直角坐标系. (1)空间直角坐标系及相关概念. ①空间直角坐标系: 从空间某一定点引三条两两垂直, 且有相同单位长度的数轴: x, y, z 轴,这样就建立了空间直角坐标系 Oxyz. ②相关概念:点 O 叫做坐标原点,x,y,z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫 做坐

标平面,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. (2)右手直角坐标系. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中 指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 练习1:原点 O 的坐标是(0,0,0). 2.空间一点的坐标. 空间一点 M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z).其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. ?思考应用 在空间直角坐标系中,一些特殊点的坐标特征是怎样的? (1)xOy 平面是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集; (2)xOz 平面是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集; (3)yOz 平面是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集; (4)x 轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集; (5)y 轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集; (6)z 轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集. 其中 x,y,z 均为任意实数.

自 测 自 评 1.点 P(-1,0,2)位于(C) A.y 轴上 B.z 轴上 C.xOz 平面内 D.yOz 平面内 解析:点 P 的纵坐标为 0,则点 P 在平面 xOz 上. 2.y 轴上的点的坐标的特点是(C) A.竖坐标是 0 B.横坐标是 0 C.横、竖坐标都是 0 D.横、纵坐标都是 0 解析:y 轴上的点的坐标是(0,c,0). 3.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于 x 轴的对称点的坐标是(B) A.(-2,1,-4) B.(-2,-1,-4) C.(2,-1,4) D.(2,1,-4) 解析:点 P(a,b,c)关于 x 轴的对称点为 P′(a,-b,-c). 4.点 M(-2,1,2)在 x 轴上的射影的坐标为(B)

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A.(-2,0,2) B.(-2,0,0) C.(0,1,2) D.(-2,1,0)
解析:点 M(-2,1,2)在 x 轴上的射影的坐标为(-2,0,0).

基 础 达 标 1.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z),那么下列说法正确的是(D) A.点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 P1(x,-y,z) B.点 P 关于 yOz 平面对称的点的坐标是 P2(x,-y,-z) C.点 P 关于 y 轴对称的点的坐标是 P3(x,-y,z) D.点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4(-x,-y,-z) 2.点 A(-1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为(B) A.(-1,0,1),(-1,2,0) B.(-1,0,0),(-1,2,0) C.(-1,0,0),(-1,0,0) D.(-1,2,0),(-1,2,0) 解析:点 A(-1,2,1)在 x 轴上的投影点的横坐标是-1,纵坐标、竖坐标都为 0,故 为(-1,0,0),点 A(-1,2,1)在 xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是 0,故为(-1,2, 0). 3. 点 P(1, 1, 1)关于 xOy 平面的对称点为 P1, 则点 P1 关于 z 轴的对称点 P2 的坐标是(B)

A.(1,1,-1) B.(-1,-1,-1) C.(-1,-1,1) D.(1,-1,1)
解析:P1(1,1,-1),P2(-1,-1,-1). 4.已知等腰直角△OAB 的直角顶点 A 的坐标为(0,1,0),其中 O 为坐标原点,顶点 B 在坐标平面内,则 B 的坐标为(C) A.(0,1,1) B.(1,1,0) C.(0,1,1)或(1,1,0) D.(-1,-1,0) 解析:当 B 在平面 yOz 上时,B 的坐标为(0,1,1),当 B 的坐标在平面 xOy 上时,B 的坐标为(1,1,0). 5.在 xOy 平面内有两点 A(-2,4,0),B(3,2,0),则 AB 的中点坐标是________. 解析:?

?-2+3,4+2,0+0?=?1,3,0?. ? ? ? 2 2 ? ?2 ? 2 ?

?1 ? 答案:? ,3,0? ?2 ?
6.已知 A(3,5,-7)和 B(-2,4,3),则线段 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为 ________. 答案: 101 7.已知一长方体 ABCDA1B1C1D1 的对称中心在坐标原点 O,交于同一顶点的三个平面分别 平行于三个坐标平面,顶点 A 的坐标为(-2,-3,-1),求其他 7 个顶点的坐标.
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解析:∵A(-2,-3,-1),根据长方体各顶点的对称关系,不难求得 B(-2,3,- 1),C(2,3,-1),D(2,-3,-1).将 A、B、C、D 分别关于平面 xOy 对称,可得到 A1(- 2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1). 巩 固 提 升 8.在空间直角坐标系中,作出点 A(2,2,-1),B(-3,2,-4),并判断直线 AB 与 坐标平面 xOz 的关系.

解析:作出点 A 可按以下步骤进行:先在 x 轴上作出横坐标是 2 的点 A1,再将点 A1 沿 与 y 轴平行的方向向右移动 2 个单位得到 A2,然后将 A2 沿与 z 轴平行的方向向下移动 1 个 单位得到点 A. 作出点 B 可按以下步骤进行: 先在 x 轴上作出横坐标是-3 的点 B1, 再将点 B1 沿与 y 轴平行的方向向右移动 2 个单位 得到 B2,然后将 B2 沿与 z 轴平行的方向向下移动 4 个单位得到点 B. 由于 A、B 两点的纵坐标都是 2,则 A、B 两点到坐标平面 xOz 的距离都是 2,且都在坐 标平面 xOz 的同侧,所以 AB 平行于坐标平面 xOz. 9.VABCD 为正四棱锥,O 为底面中心,若 AB=2,VO=3,试建立空间直角坐标系,并 确定各顶点坐标. 解析:以底面中心 O 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系

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∵V 在 z 轴正半轴上,且|VO|=3,它的横坐标与纵坐标都是零, ∴点 V 的坐标是(0,0,3).而 A、B、C、D 都在 xOy 平面上, ∴它们的竖坐标都是零. 又|AB|=2, ∴A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),V(0,0,3). 10.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为正方形.且边长为 2a,棱 PD⊥底面 ABCD, |PD|=2b,取各侧棱的中点 E,F,G,H,试建立适当的空间直角坐标系,写出点 E,F,G, H 的坐标.

解析:由图知:DA⊥DC,DC⊥DP,DP⊥DA.故以 D 为原点,DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. ∵E,F,G,H 分别是侧棱的中点,则可易知平面 EFGH∥平面 ABCD. 从而这四点的竖坐标都为 P 的竖坐标的一半,即为 b. 由 H 为 DP 的中点,得 H(0,0,b),E 在底面 ABCD 上的投影为 AD 的中点, ∴E(a,0,b),同理 G(0,a,b). F 在坐标平面 xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G,故 F 与 E 横坐标相同,F 与 G 纵坐 标相同. ∴F(a,a,b).

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1.对空间直角坐标系的理解. (1)三条轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础; (2)一般情况下建立的坐标系是右手直角坐标系,即让右手拇指指向 x 轴正方向,食指 指向 y 轴正方向,中指指向 z 轴正方向. 2.点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点的问题有口诀:“关于谁对称谁不变,其他的 互为相反数”

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