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高中数学《直线的方程》教案8 新人教A版必修2

时间:2011-10-03


直线的一般式方程
教学目标 (1)掌握直线方程的一般式 Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为 0 )理解直线方程的一般式包 含的两方面的含义:①直线的方程是都是关于 x, y 的二元一次方程; ②关于 x, y 的二元一次方程的图形是直线. (2)掌握直线方程的各种形式之间的互相转化. 教学重点 各种形式之间的互相转化. 教学难点 理解直线方程的一般式的含义. 教学过程 一、问题情境 1.复习:直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程. 2.问题: (1)点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于 x, y 的什么方程(二元一次方程)? (2)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用关于 x, y 的二元一次方程表示吗? (3)关于 x, y 的二元一次方程是否一定表示一条直线? 二、建构数学 1.一般式 (1)直线的方程是都是关于 x, y 的二元一次方程: 在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在 ? ? 90? 和 ? ? 90? 两种情况下,直线 方程可分别写成 y ? kx ? b 及 x ? x1 这两种形式,它们又都可变形为 Ax ? By ? C ? 0 的形式, 且 A, B 不同时为 0 ,即直线的方程都是关于 x, y 的二元一次方程. (2)关于 x, y 的二元一次方程的图形是直线: 因为关于 x, y 的二元一次方程的一般形式为 Ax ? By ? C ? 0 , 其中 A, B 不同时为 0 . 在

B ? 0 和 B ? 0 两种情况下,一次方程可分别化成 y ? ?

A C C x ? 和 x ? ? ,它们分别是直 B B A

线的斜截式方程和与 y 轴平行或重合的直线方程,即每一个二元一次方程的图形都是直线. 这 样 我 们 就 建 立 了 直 线 与 关 于 x, y 二 元 一 次 方 程 之 间 的 对 应 关 系 . 我 们 把

Ax ? By ? C ? 0 (其中 A, B 不同时为 0 )叫做直线方程的一般式.
一般地,需将所求的直线方程化为一般式. 三、数学运用 1.例题: 例 1.已知直线过点 A(6, ?4) ,斜率为 ? 解:经过点 A(6, ?4) 且斜率 ?

4 ,求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程. 3

4 4 的直线方程的点斜式 y ? 4 ? ? ( x ? 6) , 3 3
用心 爱心 专心 1

化成一般式,得: 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ,化成截距式,得:

x y ? ? 1. 3 4

例 2.求直线 l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 的斜率及 x 轴, y 轴上的截距,并作图. 解:直线 l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 的方程可写成 y ? ? ∴直线 l 的斜率 k ? ?

3 x?3, 5

3

3 ; y 轴上的截距为 3 ; 5

5

当 y ? 0 时, x ? 5 ,∴ x 轴上的截距为 5 . 例 3.设直线 l : (m ? 2m ? 3) x ? (2m ? m ? 1) y ? 2m ? 6 ? 0(m ? ?1) ,根据下列条件
2 2

分别确定 m 的值: (1)直线 l 在 x 轴上的截距为 ?3 ; (2)直线 l 的斜率为 1 . 解: (1)令 y ? 0 得

x?

2m ? 6 2m ? 6 5 ,由题知, 2 ? ?3 ,解得 m ? ? . m ? 2m ? 3 m ? 2m ? 3 3
2

(2)∵直线 l 的斜率为 k ? ? 例 4.求斜率为

m 2 ? 2m ? 3 m 2 ? 2m ? 3 4 ? 1 ,解得 m ? . ,∴ ? 2 2 2m ? m ? 1 2m ? m ? 1 3

3 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线方程. 4 3 4 解:设直线方程为 y ? x ? b ,令 y ? 0 ,得 x ? ? b , 4 3 1 4b ∴ | b ? (? ) |? 6 ,∴ b ? ?3 , 2 3
所以,所求直线方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 或 3x ? 4 y ? 12 ? 0 . 例 5.直线 l 过点 P(?6,3) ,且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 分析:由题意可知,本题宜用截距式来解,但当截距等于零时,也符合题意,此时不能用截距 式,应用点斜式来解. 解: (1)当截距不为零时,由题意,设直线 l 的方程为 ∵直线 l 过点 P(?6,3) ,∴

?6 3 ? ? 1 ,∴ b ? ?3 , b b ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . (2)当截距为零时,则直线 l 过原点,设其方程为 y ? kx , 1 将 x ? ?6, y ? 3 代入上式,得 3 ? ?6k ,所以 k ? ? , 2 1 ∴直线 l 的方程为 y ? ? x ,即 x ? 2 y ? 0 , 2
用心 爱心 专心

x y ? ? 1, b b

2

综合(1) (2)得,所求直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 0 . 2.练习:课本第 79 页练习第 1、2、4 题. 四、回顾小结: 1.什么是直线的一般式?直线方程的各种形式之间的如何互相转化? 五、课外作业: 课本第 79 练习页第 3 题、第 80 页第 10 题、第 117 页第 3、4、5、6 题.

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3


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