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导数概念几何意义


? 高中数学

导数的概念及其几何意义

宣化一中 石慧

1.导数的概念
一般地,

函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
?x ?0

lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? lim ?x ?0 ?x

?x

上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数

记作: f ?? x0 ? 或 y ? x ? x0 即
f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? ?y f ??x0 ? ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

注意:
1. 函数应在点的附近有定义,否则导数不存在。
2. 在定义导数的极限式中,△x趋近于0,

可正、可负,但不为0,而△y可能为0。
3. 导数是一个局部概念,它只与函数在x0 及其附近的函数值有关,与△x无关。
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 4. 若极限 ?lim 不存在,则称 x ?0 ?x

函数在点x0处不可导。

y

y=f(x)

Pn

割 线
T 切线

P

o

当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.

k PQ

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? = ?x ?x
y=f(x)

y Q(x1,y1)
△y

即:当△x→0时,割线 PQ的斜率的极限,就是曲线 在点P处的切线的斜率,

P(x0,y0)
△x

M

o

x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 所以:k=lim ? lim ? f ??x0 ? ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

2.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .

故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

例题讲解: 例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等 各种不同产品,需要对原油进行冷却和加 热。如果第xh时,原油的温度(单位:℃) 为f(x)=x2-7x+15 (0?x ?8).计算第2h和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们 的意义。 解:第2h和第6h时,原油温度的

瞬时变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义:

?f f ( 2 ? ? x ) ? f ( 2) ? ?x ?x

f(x)=x2-7x+15

(2 ? ?x) 2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x

4?x ? ?x 2 ? 7?x ? ?x

? ?x ? 3
?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 所以,f ?(2) ? ?lim x ?0 ?x ?x ?0

同理可得

f '(6)=5

f ?(2) ? ?3

说明在第2h附近,原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降;

f '(6)=5

说明在第6h附近,原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升;

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在

点x0处的导数的方法是:
(1)求函数的增量 ?y ? f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? ?y f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? (2)求平均变化率 ?x ? ?x

(3)取极限,得导数

?y f ?? x 0 ? ? lim ?x ? 0 ?x

例2:

求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 解:y? |x ?1 ? lim ? lim ?2 ?x ?0 ? x ? 0 ?x ?x

?切线方程:y ? 2 ? 2( x ? 1)

即: 2x ? y ? 0

知识小结:
1.导数的概念:函数y=f(x)在x=x0处的导数
f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? ?y f ??x0 ? ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

2.导数的几何意义: 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率, 即 k ? f ' ( x0 ) 。


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