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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【备课资源】2.2.1椭圆的标准方程(一)

时间:2013-11-11


§ 2.2
2.2.1
一、基础过关





椭圆的标准方程(一)

1.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 C.圆
2 2

)

B.直线

D.线段 )

x y 2.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的周长为( 25 9 A.16 C.20
2

B.18 D.不确定 ( )

x y2 3.“1<m<3”是“方程 + =1 表示椭圆”的 m-1 3-m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 4.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则 24 49 三角形 PF1F2 的面积等于 A.24 D.22 2 B.26 D.24 2 ( ) ( )

5.焦点在坐标轴上,且 a2=13,c2=12 的椭圆的标准方程为 x2 y2 A. + =1 13 12 x2 y2 x2 y2 B. + =1 或 + =1 13 25 25 13 x2 C. +y2=1 13 x2 y2 D. +y2=1 或 x2+ =1 13 13 6.已知两椭圆 ax2+y2=8 与 9x2+25y2=100 的焦距相等,则 a 的值为 9 A.9 或 17 3 3 B. 或 4 2

(

)

3 C.9 或 4

9 3 D. 或 17 2

1 1 1 7.求经过两点 P1?3,3?,P2?0,-2?的椭圆的标准方程. ? ? ? ? 二、能力提升 x2 y2 8.方程 - =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是________. 2m m-1 3 9.已知椭圆两焦点为 F1、F2,a= ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长 2 为______. x2 y2 10.已知椭圆 + =1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2,N 是 MF 的中点,O 为 25 9 坐标原点,那么线段 ON 的长是________. y2 x2 11.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的焦点分别是 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a2=4b2. a b (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦值. x2 y2 12.如图,已知椭圆的方程为 + =1,P 点是椭圆上的一点,且∠F1PF2= 4 3 60° ,求△PF1F2 的面积. 三、探究与拓展 13.在 Rt△ABC 中,∠CAB=90° ,AB=2,AC= 且保持|PA|+|PB|的值不变,求曲线 E 的方程. 2 ,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动, 2

答案
1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A x2 y2 7.解 方法一 ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b

? a + b =1, ? 依题意,知? ?-1? ?? b2? =1, ?
2 2 2 2

?1?2 ?1?2 ?3? ?3?

?a =5, ?? 1 ?b =4.
2

1

2

1 1 ∵a2= < =b2,∴方程无解. 5 4 ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 y2 x2 + =1 (a>b>0), a2 b2

? a + b =1, ? 依题意,知? ?-1? ?? a2? =1, ?
2 2 2 2

?1?2 ?1?2 ?3? ?3?

?a =4, ?? 1 ?b =5.
2

1

2

y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 1 1 4 5 方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B).

?A?3? +B?3? =1, ? ? ? ? 依题意,得? 1 ?B?-2? =1, ? ?
1
2

1

2

2

?A=5, ? ?? ? ?B=4.

x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 1 1 5 4 1 8.0<m< 3

?m-1<0 ? 1 解析 据题意?2m>0 ,解之得 0<m< . 3 ?-?m-1?>2m ?

9.6 解析 如图所示,设椭圆方程为 x2 y2 + =1 (a>b>0), a2 b2 3 又∵a= . 2 ∴△ABF2 的周长为 |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=6. 10.4 解析 设椭圆的另一个焦点为 E,则|MF|+|ME|=10, ∴|ME|=8,又 ON 为△MEF 的中位线, 1 ∴|ON|= |ME|=4. 2 11.解 (1)依题意知 c=1,又 c2=a2-b2,且 3a2=4b2,

3 1 所以 a2- a2=1,即 a2=1.所以 a2=4. 4 4 y2 x2 因此 b2=3.从而椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)由于点 P 在椭圆上, 所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4, 5 3 又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|= ,|PF2|= , 2 2 又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2· 1|· 2| |PF |PF



?5?2+?3?2-22 ?2? ?2? 3
5 3 2× × 2 2

= . 5

3 即∠F1PF2 的余弦值等于 . 5 12.解 由已知得 a=2,b= 3, 所以 c= a2-b2= 4-3=1, ∴|F1F2|=2c=2,在△PF1F2 中, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° , ∴4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1|· |PF2|cos 60° , ∴4=16-3|PF1||PF2|,∴|PF1||PF2|=4,

1 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2|· 60° sin 2 1 3 = ×4× = 3. 2 2 13.解 如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,在 Rt△ABC 中, BC= AC2+AB2= 3 2 , 2 2 3 2 + =2 2, 2 2

∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|= 且|PA|+|PB|>|AB|,

∴由椭圆定义知,动点 P 的轨迹 E 为椭圆,且 a= 2,c=1,b=1.∴所求曲线 E 的方程 x2 为 +y2=1. 2


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