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12-11-16高二数学(文)《函数的极值与导数》(课件)


高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用

函数的极值与导数

一、温故知新
1. 函数的单调性与其导函数的正负 的关系:

在某个区间 a , b)内, 如果f ' ( x ) ? 0, ( 那么函数y ? f ( x )在这个区间内单调递 增; 如果f ' ( x ) ? 0, 那么函数y

? f ( x )在 这个区间内单调递减 .

2. 用导数法讨论函数单调区间的基本步骤:

(1)求函数f ( x )的定义域D; (2)求导数f ' ( x );

? f '( x) ? 0 (3)解不等式组? , 得f ( x )的单调 ?x ? D 递增区间. ? f '( x) ? 0 解不等式组? , 得f ( x )的单调 ?x ? D 递减区间 .

二:新知探究 [ 观察 ] 观察下图, 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员 距水面高度最大, 那么函数h(t)在此点的导数 是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? h

O

a

t

二:新知探究 [ 观察 ] 观察下图, 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员 距水面高度最大, 那么函数h(t)在此点的导数 是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? h h'(a)=0

O

a

t

二:新知探究 [ 观察 ] 观察下图, 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员 距水面高度最大, 那么函数h(t)在此点的导数 是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么 h 变化规律? h'(a)=0

O

a

t

二:新知探究 [ 观察 ] 观察下图, 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员 距水面高度最大, 那么函数h(t)在此点的导数 是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么 h 变化规律? h'(a)=0
单调 递增 h'(t)>0
单调 递减 h'(t)<0

O

a

t

【 探究 】 如图, 函数y=f(x)在a, b, c, d, e, f, g, h等 点的函数值与这些点附近的函数值有什么 关系?

y
y=f(x)

y
x
Ob c d

a

e
O

x
f g
h

1、极值点与极值的概念 我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值 点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; 点b叫做

函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)
的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点,
极大值和极小值统称为极值。

【注】 (1)极值反映了函数在某一点附近的大 小情况, 刻画的是函数的局部性质.

(2)函数的极大值一定大于函数的极小
值吗?

【注】 (1)极值反映了函数在某一点附近的大 小情况, 刻画的是函数的局部性质;

(2)函数的极值不是唯一的;
(3)函数的极大值不一定大于函数的极 小值。

【 探究 】 y=f(x)在这些点的导数值是多少? 在这
些点附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律?

y
y=f(x)

y
x
Ob
c d

a

e
O

x
f g h

【 归纳 】

2、函数极值与导数的关系
对于可导函数 y ? f ( x ),其在极值点 0处的 x 导数为0,且 (1)如果在x0附近的左侧 f ' ( x ) ? 0, 右侧 f ' ( x ) ? 0,那么f ( x0 )是极大值; (2)如果在x0附近的左侧 f ' ( x ) ? 0, 右侧 f ' ( x ) ? 0,那么f ( x0 )是极小值;

【 归纳 】

2、函数极值与导数的关系
对于可导函数 y ? f ( x ),其在极值点 0处的 x 导数为0.反之, 若f ( x0 ) ? 0,那么x0是函数的
'

一个极值点吗?
【注】对于可导函数而言,导数值为0的点 是该点为函数极值点的必要不充分条件。

[例1]
1 3 求函数f(x)= x -4x+4的极值. 3

[变式训练1]
求函数y ? x ln x的极值.
2

[ 例2 ]

已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=1处

有极值0,求常数a,b的值.

[变式训练2]
函数f ( x ) ? a sin x ? cos x在x ? 具有极值,求 的值. a

?
3



三、课堂小结 一般地, 求函数y=f(x)的极值的方法是:
先确定函数的定义域, 并解方程f ' ( x ) ? 0: (1)如果在x0附近的左侧f ' ( x ) ? 0, 右侧 f ' ( x ) ? 0,那么f ( x0 )是极大值; (2)如果在x0附近的左侧f ' ( x ) ? 0, 右侧 f ' ( x ) ? 0,那么f ( x0 )是极小值;

四、作业布置


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