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高一数学《必修五》数列测试题 (含答案)

时间:2014-04-02


高一数学《必修五》数列测试题
一、选择题 1、等差数列—3,1,5,…的第 15 项的值是( B A.40 B.53 C.63 ) D.76

2、设 S n 为等比数列 ? an ? 的前项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( B ) A.3 3、已知 a ? B.4 C .5 D.6
<

br />1 3? 2

,b ?

1 3? 2

, 则 a, b 的等差中项为( A )

A. 3

B. 2

C.

1 3
C.54

D.

1 2


4、已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn,若 a 4 ? 18 ? a5 , 则S 8 等于( D A.18 B.36 D.72

5、设 a1 , a 2 , a3 , a 4 成等比数列,其公比为 2,则

2a1 ? a 2 的值为( A 2a 3 ? a 4



A.

1 4

B.

1 2

C.

1 8

D.1 ( A ) D. 1 ? n ? ln n )

6、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n

1 n

C. 2 ? n ln n

7、等差数列{an}中, a1 ? 0 , S n 为第 n 项,且 S3 A.9 B. 10

? S16 ,则 S

n

取最大值时,n 的值( C D.10 或 11

C.9 或 10

8、设 S n 为等差数列 {an } 的前项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ? ( A ) A. 15 B. 45 C.192 D. 27

9、某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过 3 小时,这种细菌由 1 个 可繁殖成 A.511 个 ( B ) B.512 个 C.1023 个 D.1024 个

10、等比数列 ?a n ?中, a 2 ? a3 ? 6, a 2 a3 ? 8, 则q ? ( C ) A.2 B.

1 2

C.2 或

1 2

D.-2 或 ?

1 2

11、已知 ?a n ?是等比数列,an>0,且 a4a6+2a5a7+a6a8=36,则 a5+a7 等于 ( A ) A.6 B.12 C.18
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D.24

12、 已知 a n ? A. a1 , a50

n ? 79 n ? 80

, ( n ? N? ) , 则在数列 { an } 的前 50 项中最小项和最大项分别是 ( C ) B. a1 , a8 C. a8 , a 9 D. a9 , a50

二、填空题
13、两个等差数列 ?a n ?, ?bn ?,

a1 ? a 2 ? ... ? a n 7 n ? 2 a ? , 则 5 =___________. b1 ? b2 ? ... ? bn n?3 b5
n

14、数列 ?a n ?的前n项的和 S n ? 3 ? n ? 1 ,则此数列的通项公式 a n=_ 15、数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a n ?



1 a n ?1

? 1 ,则 a 4 ?

. .

16、 设 S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和, 且 S 5 ? S 6 ? S 7 ? S8 , 则下列结论一定正确的有 ① d ? 0; ② a7 ? 0 ; ③ S9 ? S5 ; ④ a1 ? 0 ;

⑤ S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值.

三、解答题
17、已知等比数列 ?bn ? 与数列 ?a n ?满足 bn ? 3 n , n ? N
a *

(1)求证: ?a n ?是等差数列;

(2) 若 a8 ? a13 ?

1 , 求b1b2 ?b20 10

解析: (1)? ?bn ?是等比数列,依题意可设 ?bn ? 的公比为 q(q ? 0)
bn 3 an ? ? q(n ? 2 ) ? a ? q(n ? 2) bn ?1 3 n ?1
? 3 an ?an ?1 ? q(n ? 2)

? a n ? a n ?1 ? log 3 q(n ? 2) 为一常数。所以 ?a n ?是以 log 3 q 为公差的等差数列
(2)? a8 ? a13 ?

1 10

所以由等差数列性质得 a1 ? a 20 ? a8 ? a13 ?

1 10

? a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ?

(a1 ? a 20 ) ? 20 ? 1 ? b1b2 ?b20 ? 3a1 ? a2 ??? a20 ? 3 2

18、已知:等差数列{ a n }中, a 4 =14,前 10 项和 S10 ? 185 . (1)求 a n ; (2)将{ a n }中的第 2 项,第 4 项,…,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前 n 项和 G n .
n

解析:(1)

? a4 ? 14 由? ? S10 ? 185
由 an



? a1 ? 3d ? 1 4 , ? ? 1 1 0a1 ? ? 1 0 ? ?9 d9? ? ? 2

?a1 ? 5 ? 185 ?,d ? 3

? 5 ? (n ? 1) ? 3,? an ? 3n ? 2

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(2)设新数列为{ bn },由已知, bn ? a 2n ? 3 ? 2 ? 2
n

? Gn ? 3(21 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ) ? 2n ? 6(2 n ? 1) ? 2n. ? Gn ? 3 ? 2 n ?1 ? 2n ? 6, (n ? N *)
19、在等比数列 ?a n ?的前 n 项和中, a1 最小,且 a1 ? a n ? 66, a 2 a n ?1 ? 128 ,前 n 项和 S n ? 126 , 求 n 和公比 q .

解析:因为 ?a n ?为等比数列,所以
a1 a n ? a 2 a n?1 a ? a n ? 66 ?? , 且a1 ? a n , 解得a1 ? 2, a n ? 64 ?a1a ? ? 1 n 128
? S n ? 126 ,? a1 ? a n q ? 126 ? q ? 2 1? q

依题意知 q ? 1

? 2q n?1 ? 64,? n ? 6
20、已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an ?1 ) (n ? N*)在函数 y=x2+1 的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 n ,求证:bn · bn+2<b2n+1.
a

解析: (Ⅰ)由已知得 an+1=an+1
即 an+1-an=1 又 a1=1,所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(n-1)× 1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n 从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+· · · +(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+· · · +2+1=
2

1 ? 2n n =2 -1. 1? 2

因为 bn· bn+2-b n ?1 =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-5· 2n+4· 2n =-2n<0, 所以 bn· bn+2<b n ?1 , 21、已知数列 ?a n ?是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a 2 ? a3 ? 12. (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)令 bn ? a n x ( x ? R). 求数列 ?bn ? 前 n 项和的公式.
n 2

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解析:设数列 {a n } 公差为 d ,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12, 又 a1 ? 2,? d ? 2.
所以 a n ? 2n. (Ⅱ)解:令 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 则由 bn ? a n x ? 2nx , 得
n n

S n ? 2 x ? 4 x 2 ? ?(2n ? 2) x n ?1 ? 2nx n , ①

xS n ? 2 x 2 ? 4 x 3 ? ? ? (2n ? 2) x n ? 2nx n?1 , ②

当 x ? 1 时,①式减去②式,得 (1 ? x) S n ? 2( x ? x 2 ? ? x n ) ? 2nx n ?1 ? 所以 S ? 2 x(1 ? x ) ? 2nx n 2
n n ?1

2 x(1 ? x n ) ? 2nx n ?1 , 1? x

(1 ? x)

1? x

.

当 x ? 1时, S n ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ? n(n ? 1) ,综上可得当 x ? 1时, S n ? n(n ? 1) 当 x ? 1 时, S n ?

2 x(1 ? x n ) 2nx n ?1 ? . 1? x (1 ? x) 2

22、在数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2an ?1 ? (1 ? ) 2 ? an .

1 n

an } 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; n2 1 (Ⅱ)令 bn ? an ?1 ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; 2
(Ⅰ)证明数列 { (Ⅲ)求数列 {an } 的前 n 项和 Tn .

解析: (Ⅰ)由条件得

an ?1 a 1 a ,又 n ? 1 时, n ? ? n ?1, 2 2 (n ? 1) 2 n n2

故数列 {

an an n2 1 1 构成首项为 1 ,公式为 的等比数列.从而 ,即 . a ? } ? n 2n ?1 n2 2 n2 2n?1

(Ⅱ)由 bn ?

(n ? 1) 2 n 2 2n ? 1 3 5 2n ? 1 ? n ? n 得 Sn ? ? 2 ? ? ? n , n 2 2 2 2 2 2

1 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 , 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 2n ? 1 2n ? 5 两式相减得 : Sn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 , 所以 Sn ? 5 ? n . 2 2 2 2 2 2 2 1 (Ⅲ)由 Sn ? (a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 得 2 1 Tn ? a1 ? an ?1 ? Tn ? Sn 2
n 2 ? 4n ? 6 所以 Tn ? 2Sn ? 2a1 ? 2an ?1 ? 12 ? . 2n ?1
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