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1.5.3-定积分的概念岳

时间:2017-05-06


新宁一中高二数学

一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通过 “四步曲”:分割---近似代替---求和---取极限得 到解决. n n b?a 小矩形面积和Sn ? ? f (? i )?x ?? f (? i ) ? . n i ?1 i ?1 如果当n?∞时,Sn无限接近某个常数, 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上

的定积分, b 记作 f ( x )dx,

即?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim? ? f (? i ). n?? n i ?1
n

?

a

新宁一中高二数学

如果函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<… <xi- 1<xi<… <xn-1 <xn= b 将区间[a, b]等分成 n 个小区间 ,在每个小区间[xi- 1, xi]上任取一点 ξi(i=1,2, …,
b - a n), 作和式∑ f(ξi)Δx=_______________ f(ξi),当 n→∞时, ∑ i =1 i= 1 n y 上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区
n

n

间 [a,b]上的_______________ , 定积分

y=f ( x)

O

a

xi-1 ?i xi

?x
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?

b

x

即?

b

a

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积式, x ———叫做积分变量, O a ———叫做积分下限, b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

b?a f ( x)dx ? lim? ? f (? i ). n?? n i ?1
n

y ? f ( x)

a

b

x

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积分上限

b?a ? f (? i ). ? ?a f (x)dx ? lim n?? n i ?1
b n

被 积分下限 积 函 数

被 积 式

积 分 变 量

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说明: (1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积 分区间有关,而与积分变量的记法无关,即

?
(3)

b

a

f ( x )dx ? ? f ( t )dt ? ? f ( u)du.
a a

b

b

(2) 定义中区间的分法和?i的取法是任意的.

?

b

a

f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx.
b b a

a

特别地, 当a ? b时, ? f ( x)dx ? 0.
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二、定积分的几何意义:

当f ( x ) ? 0时,积分? f ( x )dx在几何上表
a

b

示由y ? f ( x )、x ? a、x ? b与x轴所围成的 曲边梯形的面积 . n b b?a
y

?

a

f ( x)dx ? lim?
n?? i ?1

y?f ( x)

n

? f (? i ).

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
O a b x

b

c

b

f (x)dx。

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探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中 阴影部分的面积?
y y?f ( x)

S ? S1 ? S2 ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a

b

b

S1 ? y x) )dx g(x ?? f

b

S2 ? ? g ( x)dx
a

a

b

O

a a

b x
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1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴 所围成的曲边梯形的面积,用定积分表 3 2 示为____________. ? 1 ( x ? 1)dx 2 积分下限 2. ??2sin 3tdt 中,积分上限是___, [-2,2] -2 积分区间是______ 是___, 5
2

3.定积分

8 4.定积分 4dx ? _ _ _ _ _ _ _ _._ _ ?
1
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?3
1

2

( x ? 1) dx =__________. 2

例1 利用定积分的定义 , 计算? x dx的值.
3

1

解 令f ? x ? ? x .
3

0

(1) 分割 在区间?0,1?上等间隔地插入n ? 1个分点, ?i ?1 i ? 把区间?0,1?等分成n个小区间? , ? (i ? 1,2,? ? ?, ? n n? i i ?1 1 n), 每个小区间的长度为?x ? ? ? . n n n

新宁一中高二数学

例1 利用定积分的定义 , 计算? x dx的值.
3 0

1

i (2) 近似代替、求和 取? i ? ?i ? 1,2,? ? ?, n ?, n 3 n n 1 ?i? i? 1 ? 则? f ?x ? dx ? S n ? ? f ? ? ? ?x ? ? ? ? ? 0 n ?n? i ?1 i ?1 ? n ? 2 n 1 1? 1? 1 1 2 3 2 ? 4 ? i ? 4 ? n ?n ? 1? ? ? 1 ? ? . n i ?1 n 4 4? n?

(3)取极限

?

1

0

1? 1? 1 x dx ? limSn ? lim ? 1 ? ? ? . n? ? n?? 4 n? 4 ?
3

2

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三. 定积分的基本性质
性质1.

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x)dx
a
b

b

(k为常数)
b

性质2.

? [ f ( x ) ? g( x )] dx ? ?
a

b

a

f ( x )dx ? ? g( x )dx
a

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性质3. 定积分关于积分区间具有可加性

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

y

y?f ( x)

(a<c<b)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
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定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y
y??f (x)
S ? ? [? f ( x)]dx
a b

上述曲边梯形面积的相反数。
S ? ? [? f ( x)]dx
a b

??
b

, ?a f ( x)dx .
c b

b

O a

b x b c b ? ?S f (x)dx? ? f (x ? f (x)dx ??
a a c

? ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx ?? a c

f (x)dx。

y?f ( x)
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定积分的几何意义:

当函数 f (x)在 x?[a, b] 有正有负时,
定积分

?

b

a

f ( x)dx几何意义

就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方 面积取正号,x轴下方面积取负号)

即? f( x ) dx ? S1 ? S2 ? S3 y a
S1
O

b

S3

S2

X
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计算积分?
2

1

0

1 ? x dx
2

解:由定积分的几何意 义知,该积分值等于

曲线y ? 1 ? x , x轴,x ? 0及x ? 1所围成的图形
1 的面积 ,面积值为圆的面积的 4

y

所以?

1

0

1 ? x dx ?
2

?
4
1 x

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例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x

(1)在图①中,被积函数 f ( x) ? x 2在[0,a] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 a 2 义,可得阴影部分的面 积为 A ? 0 x dx









?

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y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x






2



(2)在图②中,被积函数 f ( x) ? x 在[?1 , 2] 解:

上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 2 2 义,可得阴影部分的面 积为 A ? ?1 x dx

?

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y

f(x)=x2

y

f(x)=x2

y
f(x)=1

y

f(x)=(x-1)2-1

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x









(3)在图③中,被积函数 f ( x) ? 1在[a,b] 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 解: 义,可得阴影部分的面 积为 A ? b dx

?

a

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y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x

(4)在图④中,被积函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1在[?1 , 2] 解: 上连续,且在 [?1 , 0]上f ( x) ? 0, 在[0, 2]上f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意义 可得阴影部分的面积为









A ? ? [( x ? 1) ? 1]dx ? ? [( x ? 1) ? 1]dx
0 ?1 2 2 0 2

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例2 利用定积分的定义 , 计算? (?t 2 ? 5) dt .
0

2

解 令f (t ) ? ?t ? 5.
2

?0,2?上等间隔地插入 (1) 分割 在区间 n ? 1分点,
? 2(i ? 1) 2i ? ?0,2?等分成n个小区间? 把区间 , ? (i ? 1,2,? ? ?, n? ? n 2i 2(i ? 1) 2 n ), 每个小区间的长度为 ?x ? ? ? . n n n

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例2 利用定积分的定义 , 计算? (?t 2 ? 5) dt .
0

2

2i ( 2) 近 似 代 替 、 作 和 取? i ? ?i ? 1,2,? ? ?, n ?, n n n 2i 2 2 2 ? 2i ? 则? f (t ) dt ? S n ? ? f ? ? ? ?x ? ? [?( n ) ? 5] ? n 0 i ?1 ?n?
i ?1

8 ? 10 ? 3 n

8 1 i ? 10 ? 3 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? i ?1 n 6
2

n

4 1 1 ? 10 ? (1 ? )(2 ? ) 3 n n
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例2 利用定积分的定义 , 计算? (?t 2 ? 5) dt .
0

2

(3)取极限

?

2

0

(?t 2 ? 5) dt ? limSn
n??

4 1 1 ? lim [10 ? (1 ? )(2 ? )] n?? 3 n n 8 22 ? 10 ? ? . 3 3 2 22 2 ? ? ( ? t ? 5) dt ? . 0 3

练习 利用定积分的定义 , 计算? x dx .
2 0
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2

参考教材 P42 练习, P45练习第2题 .

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