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湖北省武汉市吴家山中学2014届高三数学(文)复习资料:常用逻辑用语误区辩析

时间:2013-10-05


例析《常用逻辑用语》中的思维误区
武汉市吴家山中学 刘忠君

《常用逻辑用语》一章,概念较多,抽象性强,对于初学者,困难较大.在教学过程中, 笔者发现,有些学生由于受到某些因素的影响,往往望文生义,想当然地去解决问题,导致 频繁出错.为了澄清误解,纠正错误,本文就一些常见的思维误区进行归类剖析,并以示错 .. 的方式呈现出来,希望对大家的学习有所启发. 误区之一、对命题概念理解不透、把握不准 例 1 判断语句“对于(x-1)2≤0,有 2x-1<0”是不是命题. 错解 不是命题. 思维误区 上述解法错误的原因是没能准确理解命题的概念,误认为只有判断语句(陈 .. 述句)才能表示命题.事实上,只要是能够判断真假的语句都是命题. 正解 是命题.因为(x-1)2≤0,即 x=1 时,2x-1<0 不成立,所以该命题为假命题. 点拨 判断一个语句是不是命题,关键在于是否能判断真假.何为“可以判断真假”? 即可以下肯定的判断或否定的判断.另外,从形式上看,命题不只有两种规范形式: “若 p, 则 q”和“如果 p,那么 q” ,命题也可写成“只要 p,就有 q”的形式(教材 P3 注释).因 此,将题中的语句改写成“若(x-1)2≤0,则 2x-1<0”或“只要(x-1)2≤0,就有 2x-1<0” , 是否为命题就一目了然了. 1 例 2 已知命题 p: 2 >0,则? 对应的 x 的集合为( p ) x -x-2 A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|-2<x<1} D.{x|-2≤x≤1} 1 2 错解 ∵p 的否定? 为 2 p ≤0,即 x -x-2<0,解得-1<x<2,故选 A. x -x-2 思维误区 对命题的否定的概念及真值表理解失误.由真值表知 p 与? 一真一假, p 此时 1 p 与? 的并集应是全集.此例中,? 并非是 2 p p ≤0,而是 p 对应 x 的取值集合的补集. x -x-2 1 正解 由 p:2 >0 得 p: 或 x<-1, x>2 所以? 对应的 x 值的取值范围是{x|-1≤x≤2}, p x -x-2 故选 B. 点拨 由真值表知,求否定等价于求补集,即 p 与? 的并集应是全集. 解决此类问题 p 时,不宜直接通过式子的变形或运算得出命题? p,而是先由原命题为真得出参数的取值范 围,再由 p 与? 的并集是全集得出? 为真时参数的取值范围. p p 误区之二 对关键词的否定形式理解失误 例 3 命题“a、b 都是零”的否定是 . 错解 其否定是:a、b 都不是零 思维误区 对关键词“都是”的否定失误,认为“都是”的否定为“都不是” . 正解 其否定是: “a、b 不都是零”或“a、b 中至少有一个不是零” . 点拨 要把握好命题的否定和正确写出命题的否命题,必须掌握一些关键词语的否 定.如“一定”的否定是“不一定” “任意的”的否定是“某个” “所有的”的否定是 , , “某些” “至多有 n 个”的否定是“至少有 n+1 个” , ,等等. 误区之三、一般命题与全称、特称命题区分不清 例 4 已知命题“ ? a , b ?R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 ” ,则它的逆否命题是( ) A. ? a , b ?R ,若 a ≤ 0 ,则 ab≤ 0 C. ? a , b ?R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 错解 选 D. B. ? a , b ?R ,若 ab≤ 0 ,则 a ≤ 0 D. ? a , b ?R ,若 a ≤ 0 ,则 ab≤ 0

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思维误区 上述解答误解了命题的构成形式, 以为原命题是全称命题, ? a ,b ?R ” “ 是全称量词,从而造成失误. 正解 选 A. 点拨 构造其它形式的命题时,先要弄清命题的大前提、条件和结论,最好将命题改写 成规范格式“如果?,那么?”或“若?,则?”的形式,然后依据定义进行构造即可.此 例中, ? a , b ?R ”是大前提,而不是全称量词. “ 误区之四、混淆逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”的含义 例5 命题 p:方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的根是 1.命题 q:方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的根是-3.
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则命题“方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的根是 1 或-3”是

命题(填“真”或“假” . )
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错解 因为命题 p 与命题 q 都是假命题,而命题“方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的根是 1 或-3” 为 p ? q 形式的命题,故由真值表知其为假命题,填“假” . 思维误区 上述解答混淆了逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”的涵义,命题“方 程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的根是 1 或-3”中的“或”不是逻辑联结词,而是“和”的意思. 正解 填“真”. 点拨 要正确理解逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”的涵义:一方面,作为逻辑 联结词的 “或” 用在数学命题上有三层涵义, , 例如:x ? 1 或 y ? 2 就包含了 x ? 1 但 y ? 2 , “ ,具有二者 y ? 2 但 x ? 1 , x ? 1 且 y ? 2 ”三种情形;而日常生活中的“或”相当于“和” 选其一的涵义.另一方面,作为逻辑联结词“且”与“或”用来联结两个命题或语句,而作 为连词的“且”与“或”用来联结两个对象. 误区之五、忽视对逻辑联结词“或”与“且” 的否定 例6 写出命题: “若 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 0 ,则 x ? 1 ,且 x ? ?3 ”的否命题.
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错解 否命题为: “若 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 0 ,则 x ? 1 ,且 x ? ?3 ” . 思维误区 上解法对结论进行否定时,忽视了对关键词“且”的否定,从而导致失误. 正解 否命题为: “若 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 0 ,则 x ? 1 ,或 x ? ?3 ” . 点拨 在对含有逻辑联结词“或”与“且”的命题进行否定时,一定要注意: “或”的 否定为“且”“且”的否定为“或” , ,也即它们是互为否定的. 误区之六 充分、必要条件关系颠倒,分不清条件、结论的“顺序关系” 例 7 已知 p 是 r 的充要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成 立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 错解 选 C. 思维误区 上解答误解了“必要条件”的概念,未理清条件、结论的“顺序关系”.事 实上,“必要条件”是由“结论 ? 条件”,但条件却不一定能推出结论. ...
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正解

由题意知 p ? r ? s ? q,但 s 成立不一定能推出 r 成立,所以有 p ? q ,但 q

成立不一定能推出 p 成立,所以选 A. 点拨 (1)要正确理解充要条件的概念,特别是“充要条件”“必要条件”的概念. 、 (2)判断充要条件的方法主要有定义法,集合法,命题法三种.在进行推理时,要注意 以下二点:一要弄清先后顺序, 是 B 的充分不必要条件”指的是“ A ? B 但 “A ” ,而 “A 的充分不必要条件是 B”则是指“ B ? A 但 ” ;二要注重反例的应用,当正面 判断命题的正确与否较为困难时,则可通过“举反例说明该命题是错误的”来判断. 例 8 使不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个充分不必要条件是( ) 1 A.x≥0 B.x<0 或 x>2 C.x∈{-1,3,5} D.x≤- 或 x≥3 2 错解 B 或 D. 思维误区 分不清条件和结论,即分不清是选项推出不等式还是不等式成立推出选项. 正解 依题意所选选项能使不等式 2x2-5x-3≥0 成立,但当不等式 2x2-5x-3≥0 成立
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1 时,却不一定能推出所选选项.由 2x2-5x-3≥0 的得 x≥3 或 x≤- ,所以应选 C. 2 点拨 充分、 必要条件颠倒也是常见的导致错误的原因之一. 当判断 p 与 q 之间的关系 时,要注意方向性,理清推理顺序,然后根据要求作答.另外,解决此类问题时,也要注意 转化.根据命题之间的关系,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ?p 是 ?q 的必要不充分条件; 同理, p 是 q 的必要不充分条件, ?p 是 ?q 的充分不必要条件; p 是 q 的充要条件, 若 则 若 则 ?p 是 ?q 的充要条件. 误区之七、 例8 忽视原命题中的隐含条件
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命题:若 x ? 0 ,则 x ? 0 ,则其逆否命题是
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错解 逆否命题为:若 x ? 0 ,则 x ? 0 . 思维 误区 上解答看似没有问题,但仔细推敲,就会发现漏洞:令 x ? i ,则有 2 x ? i 2 ? ?1 ? 0 ,但 x ? i ? 0 却不成立,因为复数 i 与实数 0 不能比较大小.这就出现了“原 命题为真,其逆否命题为假”的怪现象.究其原因,问题出现在原命题的“隐含条件” (大前 提)上.事实上, x ? 0 ”本身隐含了“ x ? R ”这个“大前提” “ ,但在上解法中却没有体现 这个大前提,因此,上述逆否命题不是原命题的逆否命题. 正解 原命题即为:当 x ? R 时,若 x ? 0 ,则 x ? 0 .其逆否命题为:当 x ? R 时,若
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x2 ? 0 ,则 x ? 0 .
点拨 对于某些命题, 要改写为其它形式的命题, 最好利用其逆否命题来判别一下是否 等价,若是,则可继续改写;若否,则要进一步明确题中的隐含条件(或大前提) ,将原命 题补充完整后再继续改写. 误区之八 忽视对“量词”的否定 例9 错解 已知命题 p :对任意实数 a ,方程 x ? ax ? a ? 0 必有实数根,则 ?p 为
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?p 为:对任意实数 a ,方程 x ? ax ? a ? 0 没有实数根. 2 思维误区 令 a ? 1 ,则方程 x ? x ? 1 ? 0 没有实数根,故命题 p 为假命题;令 a ? 0 , 2 则方程 x ? 0 有实根 x ? 0 ,故命题 ?p 也为假命题.这与“命题 p 与 ?p 必有一真一假” 的结论相矛盾.失误原因是忽视了对全称量词“对任意实数 a ”的否定. 2 正解 ?p 为:存在实数 a ,方程 x ? ax ? a ? 0 没有实数根.
点拨 在对全称命题与特称命题进行否定时,首先要对全称量词与特称量词进行否定: 全称量词的否定为特称量词,特称量词的否定为全称量词,然后再对结论进行否定. 以上从八个方面,对平时出现的各种思维误区进行了归纳与澄清,可能不太全面,只作 抛砖引玉之用.

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