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广西南宁市2015届高考数学二模试卷(理科)


广西南宁市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知全集为 R,集合 A={x|x +5x﹣6≥0},B={x|x () A.[6,8)
2

或 x>8},则 A∩(?RB)等于

B.[3,8]

C.[3,8)<

br />
D.[1,8]

2. (5 分)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若(1﹣i) =2,则 z 为() A.1+i B.1﹣i C.2+i D.2﹣i 3. (5 分) (x﹣ ) 的展开式中,x 的系数为() A.40 B.﹣40 C.80 D.﹣80
5

4. (5 分)如图所示的程序框图,其输出结果是()

A.341

B.1364

C.1365

D.1366

5. (5 分)已知双曲线 进线方程为() A.y=± B.y=±

的一条渐近线与直线 4x﹣3y+1=0 垂直,则双曲线的两条渐

C.y=±

D.y=±

6. (5 分)已知实数 x,y 满足

,若 x﹣y 的最小值为﹣2,则实数 m 的值为()

A.0

B. 2

C. 4

D.8

7. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 则△ ABC 的面积是() A. B.
2

2

2



C.

D.3

8. (5 分)设抛物线 C:y=x 与直线 l:y=1 围成的封闭图形记为 P,则图形 P 的面积 S 等于 () A.1 B. C. D.

9. (5 分)函数 f(x)= (1+cos2x)sin x,x∈R 是() A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的偶函数 B. 最小正周期为 D.最小正周期为 的奇函数 的偶函数

2

10. (5 分)某校要从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加全省大学生运动会 4×100m 接力赛,其 中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则甲跑第二棒的概率为() A. B. C. D.

11. (5 分)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为()

A.24π

B.6π

C . 4π

D.2π

12. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 sin2A+sin2B+sin2C= , 面积 S∈[1,2],则下列不等式一定成立的是() A.(a+b)>16 B.bc(b+c)>8 C.6≤abc≤12

D.12≤abc≤24

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知| |=| |=2, ( +2 )?( ﹣ )=﹣2,则 与 的夹角为.

14. (5 分)已知函数 f(x)= g(x)=f(x)+x 的零点个数为.

,若 f(0)=﹣2,f(﹣1)=1,则函数

15. (5 分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积 相等且 = ,则 的值是.

16. (5 分)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) ,B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k >0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E,F 两点,若 =6 ,则所有 k 的值为.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且 2a1,a3,3a2 成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=(n+2)log2an,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)为了了解 2014-2015 学年高一学生的体能情况,某校随机抽取部分学生进行一分 钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出了频率直方图如图所示,已知次数在[100,110) 间的频数为 7,次数在 110 以下(不含 110)视为不达标,次数在[110,130)视为达标,次数 在 130 以上视为有优秀. (1)求此次抽样的样本总数为多少人? (2)在样本中,随机抽取一人调查,则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是 多少? (3)将抽样的样本频率视为总体概率,若优秀成绩记为 15,达标成绩记为 10 分,不达标记 为 5 分,现在从该校 2014-2015 学年高一学生中随机抽取 2 人,他们分值和记为 X,求 X 的 分布列和期望.

19. (12 分)如图所示多面体中,AD⊥平面 PDC,ABCD 为平行四边形,E 为 AD 的中点,F 为线段 BP 上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,PC= . (Ⅰ)若 F 为 BP 的中点,求证:EF∥平面 PDC;

(Ⅱ)若 BF= BP,求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

20. (12 分)已知抛物线 C:y=2x ,直线 l:y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中 点,过 M 作 x 轴的垂线 C 于点 N. (1)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (2)是否存在实数 k 使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N,若存在,求 k 的值,若不存在,说明 理由. 21. (12 分)设函数 f(x)=(1+x) ﹣2ln(1+x) (1)若关于 x 的不等式 f(x)﹣m≥0 在[0,e﹣1]有实数解,求实数 m 的取值范围. 2 (2)设 g(x)=f(x)﹣x ﹣1,若关于 x 的方程 g(x)=p 至少有一个解,求 p 的最小值. (3)证明不等式: (n∈N ) .
* 2

2

四、请考生在 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (10 分)已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD, 过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1. (Ⅰ)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长.

23.已知直线 l:

(t 为参数,α≠kπ,k∈Z)经过椭圆 C:

(φ 为

参数)的左焦点 F. (1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|×|FB|的最小值.

24.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a,m 的值. (2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2) .

广西南宁市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知全集为 R,集合 A={x|x +5x﹣6≥0},B={x|x () A.[6,8) 考点: 专题: 分析: 解答: ∵B={x|x
2

或 x>8},则 A∩(?RB)等于

B.[3,8]

C.[3,8)

D.[1,8]

交、并、补集的混合运算. 集合. 求出集合的等价条件,利用集合的基本运算进行求解即可. 2 解:A={x|x +5x﹣6≥0}={x|x≥1 或 x≤﹣6}, 或 x>8},

∴?RB={x| <x≤8}, 则 A∩(?RB)={x|1≤x≤8}, 故选:D 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础. 2. (5 分)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若(1﹣i) =2,则 z 为() A.1+i B.1﹣i C.2+i D.2﹣i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵(1﹣i) =2,∴(1+i) (1﹣i) =2(1+i) ,∴ =1+i, ∴z=1﹣i, 故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题.
5

3. (5 分) (x﹣ ) 的展开式中,x 的系数为() A.40 B.﹣40 C.80 D.﹣80

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求出 r 的值,即可求得开式中 x 的系数. 解答: 解:二项式(x﹣ ) 的展开式的通项公式为 Tr+1= 令 5﹣2r=1,求得 r=2, ∴二项式(x﹣ ) 的展开式中 x 的系数为
5 5

?(﹣2) ?x

r

5﹣2r



?(﹣2) =40,

2

故选:A. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 属于中档题. 4. (5 分)如图所示的程序框图,其输出结果是()

A.341

B.1364

C.1365

D.1366

考点: 循环结构. 专题: 常规题型. 分析: 写出前几次循环,直到不满足判断框中的条件,执行输出. 解答: 解:由框图知,经过第一次循环得到 a=5 经过第二次循环得到 a=21 经过第三次循环得到 a=85 经过第四次循环得到 a=341 经过第五次循环得到 a=1365 不满足判断框的条件,执行输出 1365 故选 C 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律.

5. (5 分)已知双曲线 进线方程为() A.y=± B.y=±

的一条渐近线与直线 4x﹣3y+1=0 垂直,则双曲线的两条渐

C.y=±

D.y=±

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过双曲线的渐近线与直线垂直,得到 a、b 的关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 解答: 解:双曲线 的一条渐近线与直线 4x﹣3y+1=0 垂直,

可知双曲线的渐近线为 y=

,可得 = ,∴双曲线的渐近线方程为:y=±



故选:A. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用.渐近线方程的求法,考查计算能力.

6. (5 分)已知实数 x,y 满足

,若 x﹣y 的最小值为﹣2,则实数 m 的值为()

A.0

B. 2

C. 4

D.8

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义即可得到结论.

解答: 解:作出不等式组

对应的平面区域如图:

由图象可知 z=x﹣y 在

解得

,即点 B(



)处取得最小值

﹣2, 此时 解得 m=8, 故选:D. ,

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 7. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 则△ ABC 的面积是() A. B. C. D.3
2 2



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 将“c = (a﹣b) +6”展开, 另一方面, 由余弦定理得到 c =a +b ﹣2abcosC, 比较两式, 得到 ab 的值,计算其面积. 解答: 解:由题意得,c =a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 2 2 又由余弦定理可知,c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴﹣2ab+6=﹣ab,即 ab=6. ∴S△ ABC= = .
2 2 2 2 2 2 2 2

故选:C. 点评: 本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也 是最方便的定理之一,2015 届高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函 数,向量,不等式等放在一起综合考查. 8. (5 分)设抛物线 C:y=x 与直线 l:y=1 围成的封闭图形记为 P,则图形 P 的面积 S 等于 () A.1 B. C. D.
2

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由题意画出图形, 把阴影部分的面积转化为长方形的面积与 2 解答: 解:如图, 的差得答案.

S=1×2﹣2

=2﹣2×

=2﹣ = .

故选:D. 点评: 本题考查了定积分,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题. 9. (5 分)函数 f(x)= (1+cos2x)sin x,x∈R 是() A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的偶函数 B. 最小正周期为 D.最小正周期为 的奇函数 的偶函数
2

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的 奇偶性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数恒等变换化简函数解析式可得:f(x)=2﹣2cos4x,由周期公式可求得 T, 由余弦函数的图象和性质可知函数为偶函数. 解答: 解:∵f(x)= (1+cos2x)sin x=cos xsin x=4sin 2x=4× ∴由周期公式可得:T= =
2 2 2 2

=2﹣2cos4x.

,由余弦函数的图象和性质可知函数为偶函数.

故选:D. 点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了三角函数的周期性及其求法,正 弦函数的奇偶性,属于基本知识的考查. 10. (5 分)某校要从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加全省大学生运动会 4×100m 接力赛,其 中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则甲跑第二棒的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒的种数,再求出甲跑第二棒的种数,然后 求其概率即可. 4 解答: 解:根据题意,从 6 人中取 4 人参加比赛的种数为 A6 , 3 3 其中甲跑第一棒的情况有 A5 种,乙跑第四棒的情况有 A5 种,

“甲跑第一棒”与“乙跑第四棒”都包含了“甲跑第一棒,乙跑第四棒”,此时有 A4 种情况, 4 3 2 故共有 A6 ﹣2A5 +A4 =252 种跑法, 甲跑第二棒的种数为: =48 种, ,

2

故甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则甲跑第二棒的概率为:

故选 C. 点评: 本题考查了古典概型的概率的计算问题,解题的关键是求出对应的不同选法种数是 多少. 11. (5 分)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为()

A.24π

B.6π

C . 4π

D.2π

考点: 球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意判断几何体的形状,几何体扩展为正方体,求出外接球的半径,即可求出外 接球的表面积

解答: 解:几何体为三棱锥,可以将其补形为一个棱长为 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个, 故 2R= ,R=
2

的正方体,

所以外接球的表面积为:4πR =6π. 故选:B 点评: 本题考查球的表面积的求法,几何体的三视图与直观图的应用,考查空间想象能力, 计算能力

12. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 sin2A+sin2B+sin2C= , 面积 S∈[1,2],则下列不等式一定成立的是() A.(a+b)>16 B.bc(b+c)>8 C.6≤abc≤12 考点: 基本不等式;三角形中的几何计算. 专题: 解三角形;不等式的解法及应用. 分析: 利用和差化积可得:sin2A+sin2B+sin2C=4sinCsinAsinB,可得 sinCsinAsinB= ,设外 接圆的半径为 R,利用正弦定理可得及 S= ,可得 sinAsinBsinC= = ,即 R =4S,
2

D.12≤abc≤24

由于面积 S 满足 1≤S≤2,可得 2≤R≤ ,即可判断出. 解答: 解:∵sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A﹣B)+2sinCcosC=2sinC[cos(A﹣B) ﹣cos(A+B)]=4sinCsinAsinB, ∴4sinCsinAsinB= ,即 sinCsinAsinB= , 设外接圆的半径为 R, 由正弦定理可得: 由 S= , = , =2R,

可得 sinAsinBsinC= 即 R =4S, ∵面积 S 满足 1≤S≤2, ∴4≤R ≤8,即 2≤R≤
2 2

, ,显然选项 C,D 不一定正确,

由 sinAsinBsinC= 可得 8≤abc

A.ab(a+b)>abc≥8,即 ab(a+b)>8,但 ab(a+b)>16 ,不一定正确, B.bc(b+c)>abc≥8,即 bc(b+c)>8,正确, 故选:B. 点评: 本题考查了三角函数和差化积、三角形的面积计算公式、正弦定理、三角形三边大 小关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知| |=| |=2, ( +2 )?( ﹣ )=﹣2,则 与 的夹角为 .

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知中| |=| |=2, ( +2 )?( ﹣ )=﹣2,可求出 cosθ= ,进而根据向量夹角 的范围为 0≤θ≤π,得到答案. 解答: 解:∵| |=| |=2,

∴| | =| | =4 ∵( +2 )?( ﹣ )=﹣2 展开得:| | + ? ﹣2| | =4cosθ﹣4=﹣2, 即 cosθ= 又∵0≤θ≤π 故 θ= 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,其中根据已知计算出 cosθ= ,是 解答的关键.
2 2

2

2

14. (5 分)已知函数 f(x)= g(x)=f(x)+x 的零点个数为 3.

,若 f(0)=﹣2,f(﹣1)=1,则函数

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(0)=﹣2,f(﹣1)=1 联立可解出 b=﹣4,c=﹣2;再讨论求方程 g(x)=0 的 解,从而确定函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(0)=c=﹣2,f(﹣1)=﹣1﹣b+c=1; 解得,b=﹣4,c=﹣2; ∴当 x>0 时, 令 g(x)=f(x)+x=﹣2+x=0 解得, x=2; 当 x≤0 时, 令 g(x)=f(x)+x=﹣x ﹣4x﹣2+x=0 解得, x=﹣1 或 x=﹣2; 故方程 g(x)=0 有 3 个解, 故函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为 3; 故答案为:3. 点评: 本题考查了分段函数的应用及函数的零点与方程的根的关系应用,属于中档题.
2



15. (5 分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积 相等且 = ,则 的值是 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等和体积比推出底面半径的比,然后 求解底面积的比. 解答: 解:设两个圆柱的底面半径分别为 R,r;高分别为 H,h; ∵ = ,①

由侧面积相等得 ∴①÷②得 ,

,②



=



故答案为: . 点评: 本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用,是基础题目. 16. (5 分)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) ,B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k >0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E,F 两点,若 =6 ,则所有 k 的值为 或 .

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 依题可得椭圆的方程,设直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx,D(x0,kx0) , 2 2 E(x1,kx1) ,F(x2,kx2) ,且 x1,x2 满足方程(1+4k )x =4,进而求得 x2 的表达式,进而 根据 =6 求得 x0 的表达式,由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2,进而求得 x0 的另一个表达式,

两个表达式相等即可求得 k. 解答: 解:依题设得椭圆的方程为 +y =1,
2

直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx(k>0) . 设 D(x0,kx0) ,E(x1,kx1) ,F(x2,kx2) ,其中 x1<x2, 且 x1,x2 满足方程(1+4k )x =4,故 x2=﹣x1=
2 2





=6

知 x0﹣x1=6(x2﹣x0) ,得 x0= (6x2+x1)= x2=



由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2,得 x0=
2

.所以

=



化简得 24k ﹣25k+6=0,解得 k= 或 k= . 故答案为: 或 . 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,同时考查直线和椭圆联立,求交点,以及向量共线的 坐标表示,考查运算能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且 2a1,a3,3a2 成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=(n+2)log2an,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设数列列{an}的公比为 q,由于 2a1,a3,3a2 成等差数列,可得 2a1+3a2=2a3.再 利用等比数列的通项公式即可得出; (2)由 bn=(n+2)log2an=(n+2)n,可得 即可得出. 解答: 解: (1)设数列列{an}的公比为 q, ∵2a1,a3,3a2 成等差数列, ∴2a1+3a2=2a3. ∴ 化为 2q ﹣3q﹣2=0, 解得 q=2 或 q=﹣ . ∵q>0,∴q=2. n ∴an=2 . (2)∵bn=(n+2)log2an=(n+2)n, ∴ ∴数列{ Tn= }的前 n 项和 +…+ .
2

.利用“裂项求和”



=

= ﹣



点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、对数的运算性质,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分)为了了解 2014-2015 学年高一学生的体能情况,某校随机抽取部分学生进行一分 钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出了频率直方图如图所示,已知次数在[100,110) 间的频数为 7,次数在 110 以下(不含 110)视为不达标,次数在[110,130)视为达标,次数 在 130 以上视为有优秀. (1)求此次抽样的样本总数为多少人? (2)在样本中,随机抽取一人调查,则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是 多少? (3)将抽样的样本频率视为总体概率,若优秀成绩记为 15,达标成绩记为 10 分,不达标记 为 5 分,现在从该校 2014-2015 学年高一学生中随机抽取 2 人,他们分值和记为 X,求 X 的 分布列和期望.

考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)求出次数在[100,110)间的频率,即可求出样本总数; (2)利用互斥事件、对立事件的概率公式,即可得出结论; (3)确定在 2014-2015 学年高一年级中随机抽取 2 名学生的成绩和的取值,求出相应的概率, 即可求 X 的分布列和期望. 解答: 解: (1)设样本总数为 n, ∵由频率分布直方图可知:次数在[100,110)间的频率为 0.014×10=0.14,…1 分(1 分) ∴0.14n=7,解得 n=50 人.…1 分(2 分) (2)记抽中不达标学生的事件为 C,抽中达标学生的事件为 B,抽中优秀学生的事件为 A. P(C)=0.006×10+0.014×10=0.2;…1 分(3 分) P(B)=0.028×10+0.022×10=0.50;…1 分(4 分) P(A)=1﹣P(B)﹣P(C)=0.30.…1 分(5 分) (3)∵在 2014-2015 学年高一年级中随机抽取 2 名学生的成绩和 X=10,15,20,25,30…1 分(6 分) 2 ∴P(X=10)=0.2×0.2=0.04; P(X=15)=2×0.2×0.5=0.2;P(X=20)=0.5 +2×0.2×0.3=0.37; 2 P(X=25)=2×0.3×0.5=0.3;P(X=30)=0.3 =0.09.[对一个给 1 分,但不超过 4 分]…4 分(10 分) X 10 15 20 25 30

P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 ∵E(X)=0.04×10+0.2×15+0.37×20+0.3×25+0.09×30…1 分(11 分) ∴E(X)=21.…1 分(12 分) 点评: 本题考查频率直方图,考查概率知识,考查分布列和期望,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题. 19. (12 分)如图所示多面体中,AD⊥平面 PDC,ABCD 为平行四边形,E 为 AD 的中点,F 为线段 BP 上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,PC= . (Ⅰ)若 F 为 BP 的中点,求证:EF∥平面 PDC; (Ⅱ)若 BF= BP,求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)先证明四边形 EFOD 是平行四边形,再利用线面平行的判定定理证明 EF∥平 面 PDC; (Ⅱ)z 轴建立空间直角坐标系,求得 ,面 PBC 的法向量

,利用向量的夹角公式,可求 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值. 解答: (Ⅰ)证明:取 PC 的中点为 O,连 FO,DO, ∵F,O 分别为 BP,PC 的中点, ∴FO∥BC,且 FO= BC, 又 ABCD 为平行四边形,∴ED∥BC,且 ED= BC, ∴FO∥ED,且 FO=ED ∴四边形 EFOD 是平行四边形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∴EF∥DO ∵EF?平面 PDC ∴EF∥平面 PDC.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (Ⅱ)解:以 DC 为 x 轴,过 D 点做 DC 的垂线为 y 轴,DA 为 z 轴建立空间直角坐标系,

则有 D(0,0,0) ,C(2,0,0) ,B(2,0,3) ,P(﹣2,2 ﹣﹣(6 分) 设 F(x,y,z) ,则 ∴F( ) ,∴ = =(﹣

,0) ,A(0,0,3)﹣﹣﹣



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 设平面 PBC 的法向量为



,即

,∴取 y=1 得

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(10 分)

∴cos

=

=

=

∴AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ﹣﹣﹣﹣(12 分)

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评: 本题考查线面平行,考查线面角,考查利用向量知识解决线面角问题,求得平面的 法向量是关键. 20. (12 分)已知抛物线 C:y=2x ,直线 l:y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中 点,过 M 作 x 轴的垂线 C 于点 N. (1)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (2)是否存在实数 k 使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N,若存在,求 k 的值,若不存在,说明 理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;直线与圆的位置关系. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆.
2

分析: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线方程和抛物线方程,运用韦达定理和中 2 点坐标公式,可得 M,N 的坐标,再由 y=2x 的导数,可得在点 N 处的切线斜率,由两直线 平行的条件即可得证; (2) 假设存在实数 k, 使 AB 为直径的圆 M 经过点 N. 由于 M 是 AB 的中点, 则|MN|= |AB|, 运用弦长公式计算化简整理,即可求得 k=±2,故存在实数 k,使 AB 为直径的圆 M 经过点 N. 解答: (1)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 把 y=kx+2 代入 y=2x 得 2x ﹣kx﹣2=0, 得 x1+x2= . ∵xN=xM= ∵y′=4x,∴y′| = ,∴N 点的坐标为( , =k, ) .

即抛物线在点 N 处的切线的斜率为 k. ∵直线 l:y=kx+2 的斜率为 k, ∴l∥AB; (2)解:假设存在实数 k,使 AB 为直径的圆 M 经过点 N. 由于 M 是 AB 的中点,∴|MN|= |AB|. 由(Ⅰ)知 yM= (y1+y2)= (kx1+2+kx2+2) = [k(x1+x2)+4]= (4+ )=2+ , ﹣ = ,

由 MN⊥x 轴,则|MN|=|yM﹣yN|=2+ ∵|AB|= ?

=

?

=

?



=

?

∴k=±2, 则存在实数 k=±2,使 AB 为直径的圆 M 经过点 N. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件, 同时考查直线和圆的位置关系,考查运算能力,属于中档题. 21. (12 分)设函数 f(x)=(1+x) ﹣2ln(1+x) (1)若关于 x 的不等式 f(x)﹣m≥0 在[0,e﹣1]有实数解,求实数 m 的取值范围. 2 (2)设 g(x)=f(x)﹣x ﹣1,若关于 x 的方程 g(x)=p 至少有一个解,求 p 的最小值. (3)证明不等式: (n∈N ) .
* 2

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题: 综合题;压轴题;导数的概念及应用. 分析: (1)依题意得 f(x)max≥m,x∈[0,e﹣1],求导数,求得函数的单调性,从而可得 函数的最大值; (2)求导函数,求得函数的单调性与最值,从而可得 p 的最小值; (3) 先证明 ln (1+x) ≤x, 令 从而可得 .利用叠加法可得结论. 解答: (1)解:依题意得 f(x)max≥m,x∈[0,e﹣1] ∵ ,而函数 f(x)的定义域为(﹣1,+∞) , 则 x∈ (0, 1) 代入上面不等式得: ,

∴f(x)在(﹣1,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在[0,e﹣1]上为增函数,∴ ∴实数 m 的取值范围为 m≤e ﹣2 (2) 解: g (x) =f (x) ﹣x ﹣1=2x﹣2ln (1+x) =2[x﹣ln (1+x) ], ∴ 显然,函数 g(x)在(﹣1,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数 ∴函数 g(x)的最小值为 g(0)=0 ∴要使方程 g(x)=p 至少有一个解,则 p≥0,即 p 的最小值为 0 (3)证明:由(2)可知:g(x)=2[x﹣ln(1+x)]≥0 在(﹣1,+∞)上恒成立 所以 ln(1+x)≤x,当且仅当 x=0 时等号成立 令 即 ,即 , ,…, ,则 x∈(0,1)代入上面不等式得:
2 2

所以 ln2﹣ln1<1, 将以上 n 个等式相加即可得到:

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查不等式的证明,考查恒 成立问题,属于中档题. 四、请考生在 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (10 分)已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD, 过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1. (Ⅰ)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长.

考点: 圆的切线的性质定理的证明;圆內接多边形的性质与判定. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)连接 OC,因为 OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,再证明 OC∥AD,即可证得 AC 平分∠BAD. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 , 从而 BC=CE, 利用 ABCE 四点共圆, 可得∠B=∠CED, 从而有 ,

故可求 BC 的长. 解答: (Ⅰ)证明:连接 OC,因为 OA=OC,所以∠OAC=∠OCA, (2 分) 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC⊥CD, 又因为 AD⊥CD,所以 OC∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以 AC 平分∠BAD. (4 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 ,∴BC=CE, (6 分)

连接 CE,因为 ABCE 四点共圆,∠B=∠CED,所以 cosB=cos∠CED, (8 分) 所以 ,所以 BC=2. (10 分)

点评: 本题考查圆的切线,考查圆内接四边形,解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆 内接四边形的性质. (t 为参数,α≠kπ,k∈Z)经过椭圆 C:

23.已知直线 l:

(φ 为

参数)的左焦点 F. (1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|×|FB|的最小值. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)首先把参数方程转化成直角坐标方程,进一步利用点的坐标求出 m 的值. (2)利用(1)的结论,进一步建立一参数为变量的一元二次方程,进一步根据根和系数的关 系求出函数的关系式,再利用函数的值域求出结果.

解答: 解: (1)∵椭圆 C: 焦点为 F, ∴F(﹣1,0) . ∵直线 l: ∵α≠kπ,k∈Z, ∴tanα≠0 ∵直线经过点 F, 所以:0=tanα(﹣1﹣m) ,解得:m=﹣1. (2)将直线的参数方程

(φ 为参数)的普通方程为

,方程的左

(t 为参数,α≠kπ,k∈Z)的普通方程为:y=tanα(x﹣m) .

(t 为参数)代入椭圆 C 的普通方程

并整

理得: 2 2 2 (3cos α+4sin α)t ﹣6tcosα﹣9=0. 设点 A、B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 和 t2, 则|FA|×|FB|=|t1t2| = = ,

当 sinα=±1 时,|FA|×|FB|的最小值为 . 点评: 本题考查的知识要点:参数方程和直角坐标方程的互化,及参数方程的应用,根和 系数的关系的应用, 三角函数的最值问题的应用, 主要考察学生运算能力和对数形结合的理解 能力. 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a,m 的值. (2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2) . 考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式. 分析: (1)根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数 a,m 的值. (2)根据绝对值的解法,进行分段讨论即可得到不等式的解集. 解答: 解: (1)∵f(x)≤m, ∴|x﹣a|≤m, 即 a﹣m≤x≤a+m, ∵f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, ∴ ,解得 a=2,m=3.

(2)当 a=2 时,函数 f(x)=|x﹣2|, 则不等式 f(x)+t≥f(x+2)等价为|x﹣2|+t≥|x|.

当 x≥2 时,x﹣2+t≥x,即 t≥2 与条件 0≤t<2 矛盾. 当 0≤x<2 时,2﹣x+t≥x,即 0 ,成立.

当 x<0 时,2﹣x+t≥﹣x,即 t≥﹣2 恒成立. 综上不等式的解集为(﹣∞, ].

点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,要求熟练掌握绝对值的化简技巧.


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