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幂函数图像与性质(有的有,有的没有)

时间:2015-03-17


幂函数的性质与图像
1、幂函数的定义 一般地,形如 y ? x? ( x ? R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数. 如 y ? x , y ? x , y ? x 4 等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是
2 1 3 ? 1

基本初等函数. 2、函数的图像 (1) y ? x (3) y ? x2 (2) y ? x 2 (4) y ? x ?1 (5) y ? x3
1

用描点法在同一坐标系内画出以上五个函 数图像,通过观察图像,可以看出幂函数的性 质。 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并 且图象都过点(1,1) ; (2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0, 上,是增函数 (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. (4)在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指 数 . y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? .: +∞]

4. 规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂 化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数 y= x ? ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性, 由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即 ? <0,0< ? <1 和 ? >1 三种情况下曲线的基本形状,还要注意 ? =0,±1 三个曲线的形状;对 于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆: “正抛负双,大竖小

横” ,即 ? >0( ? ≠1)时图象是抛物线型; ? <0 时图象是双曲线型; ? >1 时 图象是竖直抛物线型;0< ? <1 时图象是横卧抛物线型. 在[0,+∞]上, y ? x 、 y ? x 、 y ? x 、 y ? x 是增函数,
2

3

1 2

在(0,+∞)上, y ? x ?1 是减函数。 例 1.已知函数 f ? x ? ? ? m 2 ? m ? 1? x ?5 m?3 ,当 m 为何值时, f ? x ? : (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ?? ? 上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5)是二次函数; 简解: (1) m ? 2 或 m ? ?1 (2) m ? ?1 (3) m ? ? 变式训练: 已知函数 f ? x ? ? ? m 2 ? m ? x m 是上升曲线。
2 ? ?m ? m ? 0 简解: ? 2 ? ? m ? 2m ? 3 ? 0
2

4 2 (4) m ? ? (5) m ? ?1 5 5

? 2 m ?3

, 当 m 为何值时, f ? x ? 在第一象限内它的图像

解得: m ? ? ??, ?1?

?3, ???

小结与拓展:要牢记幂函数的定义,列出等式或不等式求解。 例 2.比较大小: (1) (4)0.53 ,30.5 ,log3 0.5 1.52 ,1.7 2 (2)(?1.2)3 ,(?1.25)3(3) 5.25?1,5.26?1,5.26?2 解: (1)∵ y ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数, 1.5 ? 1.7 ,∴ 1.5 2 ? 1.7 2 (2)∵ y ? x3 在 R 上是增函数, ?1.2 ? ?1.25 ,∴ (?1.2)3 ? (?1.25)3 (3)∵ y ? x ?1 在 (0, ??) 上是减函数, 5.25 ? 5.26 ,∴ 5.25?1 ? 5.26?1 ; ∵ y ? 5.26x 是增函数, ?1 ? ?2 ,∴ 5.26?1 ? 5.26?2 ; 综上, 5.25?1 ? 5.26?1 ? 5.26?2 (4)∵ 0 ? 0.53 ? 1 , 30.5 ? 1 , log3 0.5 ? 0 , ∴ log3 0.5 ? 0.53 ? 30.5
1
1 1

1

1

例 3.已知幂函数 y ? xm ?2m?3 ( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于 原点对称,求 m 的值. 解:∵幂函数 y ? xm ?2m?3 ( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点, ∴ m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,∴ ?1 ? m ? 3 ; ∵ m ? Z ,∴ (m2 ? 2m ? 3) ? Z ,又函数图象关于原点对称, ∴ m2 ? 2m ? 3 是奇数,∴ m ? 0 或 m ? 2 . 例 4、求函数 y= x +2x +4(x≥-32)值域.
1
2

2

2 5

1 5

解析:设 t=x 5 ,∵x≥-32,∴t≥-2,则 y=t2+2t+4=(t+1)2+3. 当 t=-1 时,ymin=3.
2
1

∴函数 y= x 5 +2x 5 +4(x≥-32)的值域为[3,+ ? ) . 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.

幂函数练习试题(含答案)
1. 下列函数中不是幂函数的是( A. y ? x 答案:C 2. 下列函数在 ? ??,0 ? 上为减函数的是( A. y ? x 答案:B 3. 下列幂函数中定义域为 ? x x ? 0? 的是( A. y ? x 3 答案:D 4.函数 y=(x2-2x) A.{x|x≠0 或 x≠2} +∞] D. (0,2) 解析:函数可化为根式形式,即可得定义域
1
- 1 2

) C. y ? 2 x D. y ? x ?1

B. y ? x3

) D. y ? x ?2 )
? 2 3

1 3

B. y ? x2

C. y ? x3

2

B. y ? x 2

3

C. y ? x

D. y ? x

?

3 2

的定义域是(



B. (-∞,0) ? (2,+∞) C. (-∞,0) ] ? [2,

答案:B

5.函数 y=(1-x2) 2 的值域是( A. [0,+∞]

) C. (0,1) D. [0,1]

B. (0,1)

解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令 t=1-x2,则 y= t . ∵-1≤x≤1,∴0≤t≤1,∴0≤y≤1. 6.函数 y= x 的单调递减区间为( A. (-∞,1)
2 2 5

答案:D

) C. [0,+∞] D. (-∞,+∞)

B. (-∞,0)

解析:函数 y= x 5 是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,由对称性选 B.
1

7.若 a 2 <a A.a≥1



1 2

,则 a 的取值范围是( B.a>0

) C.1>a>0 D.1≥a≥0

解析:运用指数函数的性质,选 C. 8.函数 y= (15+2 x-x 2 ) 3 的定义域是 。

解析:由(15+2x-x2)3≥0.∴15+2x-x<20.∴-3≤x≤5. 答案:A 9.函数 y=
1 x
2-m-m 2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是________.

解析:m 的取值应该使函数为偶函数.故 m=-1.
2

10、讨论函数 y= x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图. 思路:函数 y= x 是幂函数. (1)要使 y= x = 5 x 2 有意义,x 可以取任意实数,故函数定义域为 R. (2)∵x ? R,∴x2≥0.∴y≥0. (3)f(-x)= 5 (-x ) 2 = 5 x 2 =f(x) ,
2 2 5 2 5

∴函数 y= x 5 是偶函数; 2 (4)∵n= >0, 5 ∴幂函数 y= x 在[0,+ ? ]上单调递增. 由于幂函数 y= x 是偶函数,
2 2 5 2 5

∴幂函数 y= x 5 在(- ? ,0)上单调递减. (5)其图象如下图所示. 11、比较下列各组中两个数的大小: (1) 1.5 , 1.7 ;
3 5 3 5

(2)0.7 ,0.6 ;
3 5

1.5

1.5

(3) (- 1.2)

2 - 3

, (- 1.25)



2 3



解析: (1)考查幂函数 y= x 的单调性,在第一象限内函数单调递增,
3 3

∵1.5<1.7,∴ 1.5 5 < 1.7 5 ,
3

(2)考查幂函数 y= x 2 的单调性,同理 0.71.5>0.61.5. (3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数 ∵ (- 1.2) ∴ (- 1.2)
2 - 3 2 - 3

= 1 .2



2 3

, (- 1.25)
2 3



2 3

= 1.25



2 3

,又 1.2



2 3

> 1.25



2 3



> 1.25





点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:

(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小. 12.已知函数 y= 4 15 -2x-x2 . (1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间. 解析:这是复合函数问题,利用换元法令 t=15-2x-x2,则 y= 4 t , (1)由 15-2x-x2≥0 得函数的定义域为[-5,3] , ∴t=16-(x-1)2 ? [0,16] .∴函数的值域为[0,2] . (2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函 数也不是偶函数. (3)∵函数的定义域为[-5,3] ,对称轴为 x=1, ∴x ? [-5,1]时,t 随 x 的增大增大;x ? (1,3)时,t 随 x 增大减小. 又∵函数 y= 4 t 在 t ? [0,16]时,y 随 t 的增大而增大, ∴函数 y= 4 15 ,单调减区间为(1,3] . -2x-x 2 的单调增区间为[-5,1] 答案: (1)定义域为[-5,3] ,值域为[0,2] ; (2)函数即不是奇函数,也不是偶函数; (3) (1,3] .

幂函数练习试题二(不含答案)
例 1 比较下列各组数的大小:
1 1

(1)1.5 3 ,1.7 3 ,1;
? 2 3 2 3

(2) (-

2 2



?

2 3

, (-

10 7

2

) 3 ,1.1

?

4 3



(3)3.8

,3.9 5 , (-1.8) 5 ;

(4)31.4,51.5.

例 2 已知幂函数 y ? xm?6 (m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共 点,且 y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值. 例 3 幂函数 f ( x) ? (t ? t ? 1) x 式.
3 7 ? 3t ? 2t 2 5

是偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数,求函数解析

练习 1、
1 如果幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2, 2.函数 y=(x -2x)
2 5
2

2 ) ,则 f (4) 的值等于 2



1 2

的定义域是

3.函数 y= x 的单调递减区间为 4.函数 y=
x 1
2-m-m
2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是_______

_.

练习 2、
1.幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (4, ) ,则 f (8) 的值为 2.比较下列各组数的大小: (a ? 2) 2 0.50.4 .
1 4
3

1 2

.
? 2 3

a 2 ; (5 ? a 2 )

3

5 3 ; 0.40.5

?

2

3.幂函数的图象过点(2, ), 则它的单调递增区间是



4 .设 x ∈ (0, 1) ,幂函数 y = x a 的图象在 y = x 的上方,则 a 的取值范围 是 5.函数 y= x 4 在区间上
? 3

. 是减函数.

6.一个幂函数 y=f (x)的图象过点(3,

4

27 ),另一个幂函数 y=g(x)的图象过

点(-8, -2), (1)求这两个幂函数的解析式; (2)判断这两个函数的奇偶性; 出这两个函数的图象,观察得 f (x)< g(x)的解集.

(3)作

练习 3、
1.用“<”或”>”连结下列各式: 0.32 0.6 2.函数 y ? ( x ? 1) ? (4 ? x) 3. y ? x a 4.已知
2

0.32

0.5

0.34

0.5



0.8?0.4

0.6?0.4 .

1 2

??

3 2

的定义域是 .

?4a ?9

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是 ,x 的取值范围为

2 x3

?

5 x3

5.若幂函数 y ? xa 的图象在 0<x<1 时位于直线 y=x 的下方,则实数 a 的取值范 围是 6.若幂函数 f ( x) 与函数g(x)的图像关于直线y=x对称,且函数g(x)的图象经过
(3 3, 3 ,则 f ( x) 的表达式为 ) 3

x?2 的对称中心是 x?3 函数(填“增、减” ) 8.比较下列各组中两个值的大小

7. 函数 f ( x) ?

,在区间



(1)1.55 与1.65 (2)0.61.3 与0.71.3 (3)3.5 3 与5.3 3 (4)0.18?0.3 与0.15?0.3
9.若 (a ? 2)
? 1 3

3

3

?

2

?

2

? (3 ? 2a)

?

1 3

,求 a 的取值范围。

10.已知函数 y= 4 15 -2x-x 2 . (1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调 区间.

幂函数习题精选(三)

一、选择题: 1.在函数 y ? A.0
1 , y ? 3x 2 , y ? x 2 ? x, y ? x 0 中,幂函数的个数为 3 x B.1 C.2 D.3

(

)

2、幂函数的图象都经过点( A. (1,1)



B . (0,1) C. (0,0)D . (1,0)
? 5 2

3、幂函数 y ? x A.(0,+?) C.R

的定义域为(



B.[0,+?) D.(-?,0)U (0,+?) ( ) D.不能确定 ( ) D.1< b < a ( ) D.不能确定

4.若幂函数 f ? x ? ? xa 在 ? 0, ??? 上是增函数,则 A. a >0
1 2 ? 1 2

B. a <0

C. a =0

5.若 a ? 1.1 , b ? 0.9 ,那么下列不等式成立的是 A. a <l< b B.1< a < b C. b <l< a 6.若幂函数 f ? x ? ? xm?1 在(0,+∞)上是减函数,则 A. m >1 B. m <1 C. m =l

7.若点 A? a, b? 在幂函数 y ? xn ? n ? Q? 的图象上,那么下列结论中不能成立的是

?a ? 0 A. ? ?b ? 0 ?a ? 0 C. ? ?b ? 0

?a ? 0 B. ? ?b ? 0 ?a ? 0 D. ? ?b ? 0

8、使 x2>x3 成立的 x 的取值范围是 A、x<1 且 x≠0 B、0<x<1 C、x>1 D、x<1

9、若四个幂函数 y= x a ,

y= x b ,y= x c ,y= x d 在同一

坐标系中的图象如右图,则 a、b、c、d 的大小关系是 A、d>c>b>a B、a>b>c>d C、d>c>a>b D、a>b>d>c 10、当 x∈(1,+∞)时,函数)y= x a 的图象恒在直线 y=x 的下方,则 a 的取 值范围是 A、a<1 二、填空题: 12、若 (a+1)
- 1 2 3 2

B、0<a<1
1 - 2

C、a>0

D、a<0

< (3a-2)

,则 a 的取值范围是____;

13.函数 y ? x

?

的定义域为___________.

14.设 f ?x ? ? ?m ? 2?x m?1 ,如果 f ? x ? 是正比例函数,则 m=____ ,如果 f ? x ? 是反比 例函数,则 m=______,如果 f(x)是幂函数,则 m=____. 15.若幂函数 y ? (m2 ? m ? 1) xm ?2m?1 在 (0,??) 上是增函数, m =___________.。 x?2 16、函数 f ( x) ? 的对称中心是_______,在区间上是___函数(填“增”或 x?3 “减” ). 三、解答题: 18.已知函数 f (x) ? (m2 ? 2m)xm 反比例函数 (3)二次函数
2
2

?m?1

f ( x) 是 , (1) 正比例函数 (2) m 为何值时,

(4)幂函数 (p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其

19、已知幂函数 f(x)= x

1 3 ? p2 ? p? 2 2

定义域内是偶函数,求 p 的值,并写出相应的函数 f(x)


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