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1.1正弦定理和余弦定理练习试题

时间:2013-07-18


第 1 题. 直角 △ABC 的斜边 AB ? 2, 内切圆半径为 r ,则 r 的最大值是( A. 2 答案:D 第 2 题. 在 △ABC 中,若 sin B sin C ? cos 2 A.等边三角形 C.直角三角形 答案:B B.等腰三角形 D. 等腰直角三角形 B.1 C.



2 2

D. 2 ? 1<

br />
A 则 , △ABC 是( 2



, 第 3 题. 在 △ABC 中,若 ?A ? 120 ,AB ? 5 BC ? 7 ,
?

则 △ABC 的面积 S ? 答案:



15 3 4

第 4 题. 在已知 △ABC 的两边 a,b 及角 A 解三角形时,解的情况有下面六种: A. a ? b sin A ,无解 B. a ? b sin A ,一解 C. b sin A ? a ? b ,两解 D. a ≥ b ,一解 E. a ≤ b ,无解 F. a ? b ,一解 每种情况相对应的图形分别为(在图形下面填上相应字母) :

答案:C D A B E F 第 5 题. 正弦定理适用的范围是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 答案:D

C.钝角三角形

D.任意三角形

第 6 题. 在 △ABC 中,若此三角形有一解,则 a,b A 满足的条件为_________. , 答案: a ? b sin A 或 b ? a . 第 7 题. 在 △ABC 中,已知 b ? 3 , c ? 3 3 , ?B ? 30? ,则 a ? ________. 答案: 3 或 6 第 8 题. 如图,已知 △ABC 中, AD 为 ?BAC 的平分线,利用正弦定理证明 A

AB BD . ? AC DC

? ?

B

?
D

π ??
C

AB BD ? ? ? sin ? sin ? AB BD ? ? 答案:证明:由正弦定理得 . ?? AC DC AC DC ? ? sin ? π ? ? ? sin ? ? ?

第 9 题. 在 △ABC 中,已知 sin A ? sin B ? sin C ,求证: △ABC 为直角三角形.
2 2 2

答案:证明:设

a b c ? ? ? k ? k ? 0? , sin A sin B sin C a b c 则 sin A ? , sin B ? , sin C ? . k k k
代入 sin A ? sin B ? sin C ,
2 2 2

得到

a 2 b2 c 2 ? ? , k2 k2 k2

? a 2 ? b2 ? c 2 .

? ABC 为直角三角形. △

第 10 题. 已知 △ABC 中, ?A ? 60 , ?B ? 45 ,且三角形一边的长为 m ,解此三角形.
? ?

答案:解:依题设得 C ? 75 .
?

若 a ? m ,由正弦定理,得

b?

a sin C m? 45? sin 6 ? ? m, ? sin A sin 60 3 a sin C m? 75? 3 2 ? 6 sin ? ? m. sin A sin 60? 6 6m 3 ?1 m, ,c ? 2 2 3 2? 6 m ,b ? 2

c?

若 b ? m ,同理可得 a ?

若 c ? m ,同理可得 a ?

?

3 ?1 m .

?

第 11 题. 利用余弦定理说明 △ABC 的内角 C 为锐角、直角、钝角的充要条件分别为

a 2 ? b2 ? c 2 、 a 2 ? b2 ? c 2 、 a 2 ? b2 ? c 2 .

a 2 ? b2 ? c 2 答案: △ABC 中, C 为锐角 ? cos C ? 0 ? 在 故 ? 0 ? a 2 ? b2 ? c 2 , ?C ? 2ab
为锐角的充要条件为 a ? b ? c .
2 2 2

同理可说明 ?C 为直角、钝角的充要条件分别为 a ? b ? c , a ? b ? c .
2 2 2 2 2 2

第 12 题. 证明:设三角形的外接圆的半径是 R ,则 a ? 2R sin A , b ? 2R sin B , c ? 2R sin C . 答案: 证明: 如图1, △ABC 的外接圆的半径是R, △ABC 是直角三角形,?C ? 90 设 当 时, ABC 的外接圆的圆心 O 在 Rt△ABC 的斜边 AB 上. Rt△ABC 中, 在 △
?

BC ? sin A , AB

AC ? sin B , AB a b 即 ? sin A , ? sin B . 2R 2R 所以 a ? 2R sin A , b ? 2R sin B .
sin 又 c ? 2R ? 2R? 90 ? 2R sin C .
?

B



a
b

当 △ABC 是锐角三角形时,它的外接圆的 圆心 O 在三角形内(图2) ,作过 O , B 的直径

A

C
图1

A , B ,联结 AC ,则 △ A1 BC 是直角三角形, ?A1CB ? 90? , ?BAC ? ?BAC . 1 1
在 Rt△ A1 BC 中,

BC a ? s i ?BA1C ,即 n ? sin ?BA1C ? sin A . A1 B 2R

所以, a ? 2R sin A . 同理, b ? 2R sin B , c ? 2R sin C . 当 △ABC 是钝角三角形时,不妨设 ?A 为钝角,它的外接圆的圆心 O 在 △ABC 外(图 3) .作过 O , B 的直径 A1 B ,联结 AC .则 △ A1CB 是直角三角形, ?A1CB ? 90 , 1
?

?BA1C ? 180? ? ?BAC .
在 Rt△ A1 BC 中, BC ? 2 R sin ?BA1C ,即 a ? 2 R sin 180 ? ?BAC ,
?

?

?

即 a ? 2R sin A .类似可证, b ? 2R sin B , c ? 2R sin C . 综上, 对任意三角形 △ABC , 如果它的外接圆半径等于 R , a ? 2 n A , ? 2R sin B , 则 Rs i b c ? 2R sin C .

A
A1

A

B
O
O

C
A1

B
图2

C
图3

第 13 题. 若 2, x 为三边组成一个锐角三角形,求 x 的范围. 3,

?cos A ? 0, ? 答案:解:?△ABC 为锐角三角形,? ?cos B ? 0, 1 ? x ? 5 , 且 ?cos C ? 0 ?

?22 ? 32 ? x 2 ? 0, ? x 2 ? 13, ? 2 2 2 ?3 ? x ? 2 ? 0, ? 2 即? ? ? x ? 5, 2 2 2 ? x ? 2 ? 3 ? 0, ?1 ? x ? 5. ? ?1 ? x ? 5. ?
? 5 ? x ? 13 .

第 14 题. 在 △ABC 中.为什么说 sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件? 答案:因为 sin A ? sin B ?

sin A a ?1? ?1? a ? b ? A ? B . sin B b

第 15 题. 在 △ABC 中, A 最大,C 最小,且 A ? 2C , a ? c ? 2b ,求此三角形三边之比. 答案:解:由正弦定理得

a sin A sin 2C a ? ? ? 2cos C ,即 cos C ? ,由余弦定理得 c sin C sin C 2c
2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? c ?? a ? c ? ? b cos C ? ? . 2ab 2ab

a?c a?c 2b ? a ? c ? ? b? 2?a ? c? ? 2 ? 2 . ? a ? c ? 2b ,? cos C ? 2ab 2a a?c 2?a ? c? ? a 2 ,整理得 2a2 ? 5ac ? 3c2 ? 0 ,解得 a ? c 或 a ? 3 c . ? ? 2 2c 2a ? A ? 2C ,?a ? c 不成立. 3 c?c a?c 2 5 ?b ? ? ? c. 2 2 4 3 5 ? a∶∶ ? c∶ c∶ ? 6 5 4 . b c c ∶∶ 2 4 故此三角形三边之比为 6 5 4 . ∶∶

第 16 题. 在 △ABC 中, b cos A ? a cos B ,则三角形为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 答案:C

D.等边三角形

第 17 题. 在 △ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B ,则 △ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 答案:C

? 第 18 题. 在 △ABC 中,已知 B ? 30 , b ? 50 3 , c ? 150 ,那么这个三角形是(



A.等边三角形 C.等腰三角形 答案:D

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

2sin 5sin 第 19 题. 在 △AOB 中,OA ? ? 2 cos ?, ? ? ,OB ? ? 5cos ?, ? ? , O ?B ? 5 , 若 AO
则 S△ AOB 等于( )

??? ?

??? ?

?? ?? ?? ? ?

A. 3 答案:D

B.

3 2

C. 5 3

D.

5 3 2

第 20 题. ⑴已知 △ABC 中, a ? 10 , b ? 8 , A ? 70? ,求 B ; ⑵已知 △ABC 中, a ? 50 , b ? 25 6 , A ? 45? ,求 B . 答案:⑴

a b b sin A 8 ? sin 70? , sin B ? ? ? ≈ 0.752 , sin A sin B a 10

查表得 B1 ≈ 48.8? 或 B2 ≈131.2? , 由于 B2 ? A ? 131.2? ? 70? ? 180? ,因此 B2 应舍去,

∴ B ≈ 48.8? .


b sin A 25 6 2 3 a b ? ? ? , sin B ? , ? a 50 2 2 sin A sin B

B1 ? 60? 或 B2 ? 120? , 由 于 A ? B1 ? 180? , A ? B2 ? 180? , 因 此 所 求 B1 ? 60? 或
B2 ? 120? .
第 21 题. 已知 △ABC 中, ?A ? 60? , ?B ? 45? ,且三角形一边的长为 m ,解这个三角 形. 答案:依题意,有 ?C ? 75? , 若 a ? m ,由

a b c ,得 ? ? sin A sin B sin C

b?

a sin 45? 6 6 ? a? m, sin 60? 3 3 a sin C m sin 75? 3 2 ? 6 ? ? m; sin A sin 60? 6 6 3 ?1 m,c ? m; 2 2

c?

若 b ? m ,同理可得 a ?

若 c ? m ,则有 a ?

3 2? 6 m , b ? ( 3 ? 1)m . 2


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