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2015年北京市西城区高三一模数学(文)试题Word版带解析


北京市西城区 2015 年高三一模试卷数学(文科)2015.4
一、选择题: 1.设集合 A ? {0,1} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的范围是( (A) a≤1 【难度】1 【考点】集合的运算 【答案】B 【解析】 (B) a≥1 (C) a≥0 (D) a≤0 )

故选 B 2.复数 z 满

足 z ? i ? 3 ? i ,则在复平面内,复数 z 对应的点位于( (A)第一象限 【难度】1 【考点】复数综合运算 【答案】C 【解析】 令 z ? a ? bi ,则 (a ? bi) ? i ? ai ? bi 2 ? ?b ? ai ? 3 ? i 所以 a ? ?1, b ? ?3 ,即 z ? ?1 ? (?3)i 故选 C 3.关于函数 f ( x) ? log3 (? x) 和 g ( x) ? 3? x ,下列说法中正确的是( (A)都是奇函数 (C)函数 f ( x) 的值域为 R 【难度】1 【考点】函数综合 【答案】C 【解析】
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(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限



(B)都是偶函数 (D)函数 g ( x) 的值域为 R

f ( x) ? log3 (? x) 的值域为 R ,是非奇非偶函数;

g ( x) ? 3? x 的值域为 (0, ??) ,是非奇非偶函数;
故选 C 4. 执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出的 n 的值为______.

(A) 4 【难度】2

(B) 5

(C) 6

(D) 7

【考点】算法和程序框图 【答案】B 【解析】 该程序执行过程如下:

x ? 3 , n ? 1 ,不满足条件 x ? 100 ,进入循环体; x ? 9 , n ? 2 ,不满足条件 x ? 100 ,进入循环体; x ? 27 , n ? 3 ,不满足条件 x ? 100 ,进入循环体; x ? 81 , n ? 4 ,不满足条件 x ? 100 ,进入循环体; x ? 324 , n ? 5 ,满足条件 x ? 100 ,跳出循环体;
输出 n ? 5 ,结束。 故选 B 5. 设 P, Q 分别为直线 x ? y ? 0 和圆 x2 ? ( y ? 6)2 ? 2 上的点,则 | PQ | 的最小值为( (A) 2 2 【难度】2
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(B) 3 2

(C) 4 2

(D) 4

【考点】直线与圆的位置关系 【答案】A 【解析】

圆心 (0,6) 到直线 x ? y ? 0 的距离为 3 2 圆的半径为: 2 所以, | PQ | 的最小值为 2 2 故选 A 6.设函数 f ( x) 的定义域为 R ,则“ ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ”是“函数 f ( x) 为增函数”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【难度】2 【考点】充分条件与必要条件 【答案】B 【解析】 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

故选 B 7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是( )

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(A) 7 【难度】2

(B) 15 2

(C) 23 3

(D) 47 6

【考点】空间几何体的三视图与直观图 【答案】D 【解析】 由三视图可知:该几何体是一个棱长为 2 的正方体去掉一个三棱锥

1 1 1 ? ? 1 ? 1? 1 ? 3 2 6 1 47 所以,该几何体的体积为: V ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 6 6
去掉部分的体积为: V ? 故选 D 8. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之和小于 20 元,那 么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是( (A)2 枝玫瑰的价格高 (C)价格相同 【难度】3 【考点】二元一次不等式【组】表示的平面区域 【答案】A
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(B)3 枝康乃馨的价格高 (D)不确定

【解析】 设玫瑰的价格为 x 元,康乃馨的价格为 y 元, 由题意得: ?

?6 x ? 3 y ? 24 ,作出该平面区域为: ?4 x ? 4 y ? 20

由图可知不等式组表示的区域位于直线 2 x ? 3 y ? 0 的右侧, 即满足 2 x ? 3 y ? 0 ,所以 2 x ? 3 y ,即 2 只玫瑰的价格高 故选 A 二、填空题: 9. 已知平面向量 a , b 满足 a ? (1, ?1) , (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |= ____. 【难度】1 【考点】数量积的应用 【答案】 2 【解析】 设 b ? ( x, y) ,由题意得:

?

? ? ? ? a ? b ? (1 ? x, ?1 ? y) , a ? b ? (1 ? x, ?1 ? y)
因为 (a ? b) ? (a ? b) ,所以 (a ? b) ? (a ? b) ? 0
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? ?

? ?

即 (1 ? x)(1 ? x) ? (?1 ? y)(?1 ? y) ? 2 ? x2 ? y 2 ? 0 即 x2 ? y 2 ? 2 ,所以, b ? 故答案为 2 10.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期是____. 【难度】1 【考点】三角函数综合 【答案】 ? 【解析】

?

x2 ? y 2 ? 2

f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x ? ?(cos2 x ? sin 2 x) ? ? cos 2x
T? 2? ? ? ,故答案为 ? 2

1 成立的概率为____. 11.在区间 [?2,1] 上随机取一个实数 x,则 x 使不等式 | x ? 1| ≤
【难度】2 【考点】几何概型 【答案】 【解析】

1 3

| x ? 1| ≤1 ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 2
在区间 [?2,1] 上随机取一个实数 x,

1 的部分是 [0,1] 满足不等式 | x ? 1| ≤
故所求概率为 故答案为

1 3

1 3

x2 y 2 12. 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是抛物线 y2 ? 8x 的焦点, 且双曲线 C 的离心率为 2 , a b
那么双曲线 C 的方程为____;渐近线方程是____. 【难度】2 【考点】圆锥曲线综合 【答案】 x 2 ? 【解析】
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y2 ? 1; y ? ? 3x 3

抛物线 y2 ? 8x 的焦点为: ? 2,0 ? , 所以, a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 (1) 由e ?

c c 2 a 2 ? b2 ? 2 得: 2 ? , ? 4 (2) a a a2

由(1) (2)解得: a 2 ? 1 , b2 ? 3 故双曲线方程为: x 2 ? 故答案为 x 2 ?

y2 ? 1,渐近线方程为: y ? ? 3x 3

y2 ? 1; y ? ? 3x 3

? 1 x ? 0, ?x ? , x 13. 设函数 f ( x) ? ? 则 f [ f (?1)] ? ____;函数 f ( x) 的极小值是____. ?? x 2 ? 4 x, x ? 0. ?
【难度】2 【考点】分段函数,抽象函数与复合函数 【答案】 【解析】

10 ;2 3

f [ f (?1)] ? f (3) ?
函数图像如图:

10 , 3

故函数 f ( x) 的极小值是 f (1) ? 2 故答案为

10 ;2 3

14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品 3 件,二等奖奖品 6 件. 制作一等 奖和二等奖奖品所用原料完全相同, 但工艺不同, 故价格有所差异. 现有甲、 乙两家工厂可以制作奖品 (一 等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作 4 件奖品,乙厂原料充足,但
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收费较贵,其具体收费情况如下表:

则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 【难度】3 【考点】线性规划 【答案】 4900 【解析】

元.

设甲厂生产一等奖奖品 x 个,则乙厂生产一等奖奖品 3 ? x 个, 设甲厂生产一等奖奖品 y 个,则乙厂生产一等奖奖品 6 ? y 个,

?0 ? x ? 3 ?0 ? y ? 6 ? 且满足条件: ? ?0 ? x ? y ? 4 ? ? ? ?x ? N , y ? N
则费用总和

z ? 500 x ? 800(3 ? x) ? 400 y ? 600(6 ? y) ? ?300 x ? 200 y ? 6000
即 300 x ? 200 y ? 6000 ? z ? 0 即 3 x ? 2 y ? 60 ?

z ?0 100

作出可行域如图:

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由图可知,最优解为 A(3,1) , 此时 zmin ? ?300 ? 3 ? 200 ?1 ? 6000 ? 4900 (元) 故答案为 4900 三、解答题:
? 15.如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 , AB ? 4 , BC ? 3 ,点 D 在线段 AC 上,且 AD ? 4 DC .

(Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求 sin ?CBD 的值.

【难度】3 【考点】解斜三角形 【答案】见解析 【解析】
? (Ⅰ)解:因为 ?ABC ? 90 , AB ? 4 , BC ? 3 ,

所以 cos C ?

3 4 , sin C ? , AC ? 5 , 5 5

又因为 AD ? 4 DC ,所以 AD ? 4 , DC ? 1 .
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在 ?BCD 中,由余弦定理, 得 BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD cos C
2 2 2

3 32 ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? ? , 5 5
所以 BD ?

4 10 . 5
CD BD ? , sin ?CBD sin C

(Ⅱ)在 ?BCD 中,由正弦定理,得

4 10 1 所以 ? 5 , 4 sin ?CBD 5
所以 sin ?CDB ?

10 . 10

16.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a3 ? 2 , S5 ? a7 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 a n 及 Sn ; (Ⅱ)若 a4 , a4 ? m , a4 ? n ( m, n ? N* )成等比数列,求 n 的最小值. 【难度】3 【考点】数列综合应用 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:设公差为 d ,

?a1 ? 2d ? 2, ? 由题意,得 ? 1 5a1 ? ? 5 ? 4d ? a1 ? 6d , ? ? 2
解得 a1 ? ?2 , d ? 2 , 所以 an ? ?2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 4 ,

1 Sn ? ?2n ? n(n ? 1) ? 2 ? n2 ? 3n . 2
(Ⅱ)解:因为 a4 , a4 ? m , a4 ? n 成等比数列,
2 所以 a4 ? m ? a4 a4? n ,

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即 (2m ? 4)2 ? 4(2n ? 4) ,

1 化简,得 n ? (m ? 2)2 ? 2 , 2 1 考察函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 ? 2 ,知 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2
又因为 f (1) ?

5 , f (2) ? 6 , n ? N* , 2

所以当 m ? 2 时, n 有最小值 6. 17.如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为正方形, EF //AD ,平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且

BC ? 2 EF , AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点.
(Ⅰ)证明: AG ? CD ; (Ⅱ)若点 M 在线段 AC 上,且

AM MC

?

1 3

,求证: GM //平面 ABF ;

(Ⅲ)已知空间中有一点 O 到 A, B, C , D, G 五点的距离相等,请指出点 O 的位置. (只需写出结论)

【难度】3 【考点】立体几何综合 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)证明:因为 AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点, 所以 AG ? EF . 又因为 EF //AD ,所以 AG ? AD . 因为平面 ADEF ? 平面 ABCD , 且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , AG ? 平面 ADEF , 所以 AG ? 平面 ABCD . 因为 CD ? 平面 ABCD , 所以 AG ? CD . (Ⅱ)证明:如图,过点 M 作 MN // BC ,且交 AB 于点 N ,连结 NF , 因为

AM MC

=

1 3

,所以

MN BC

?

AM AC

=

1 4



因为 BC ? 2 EF ,点 G 是 EF 的中点,所以 BC ? 4GF , 又因为 EF //AD ,四边形 ABCD 为正方形,
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所以 GF // MN , GF ? MN . 所以四边形 GFNM 是平行四边形. 所以 GM //FN . 又因为 GM ? 平面 ABF , FN ? 平面 ABF , 所以 GM //平面 ABF .

(Ⅲ)解:点 O 为线段 GC 的中点. 18.2014 年 12 月 28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.(不考虑公交卡折 扣情况)

已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶 然亭站出站的乘客中随机选出 120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.

(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人,试估计此人乘坐地铁的票价 小于 5 元的概率;
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(Ⅱ)已知选出的 120 人中有 6 名学生,且这 6 人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这 .....120 人中分层抽 ..... 样 所选的结果相同,现从这 6 人中随机选出 2 人,求这 2 人的票价和恰好为 8 元的概率; . (Ⅲ)小李乘坐地铁从 A 地到陶然亭的票价是 5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为 s 公里,试写出 s 的取值范围.(只需写出结论) 【难度】3 【考点】概率综合 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:记事件 A 为“此人乘坐地铁的票价小于 5 元”, 由统计图可知,得 120 人中票价为 3 元、4 元、5 元的人数分别为 60 , 40 , 20 (人). 所以票价小于 5 元的有 60 ? 40 ? 100 (人). 故 120 人中票价小于 5 元的频率是

100 5 ? . 120 6

所以估计此人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率 P( A) =

5 . 6

(Ⅱ)解:记事件 B 为“这 2 人的票价和恰好为 8 元”, 由统计图,得 120 人中票价为 3 元、4 元、5 元的人数比为 60 : 40 : 20 ? 3 : 2 :1 , 则 6 名学生中票价为 3 元、4 元、5 元的人数分别为 3,2,1(人). 记票价为 3 元的同学为 a, b, c ,票价为 4 元的同学为 d , e ,票价为 5 元的同学为 f , 从这 6 人中随机选出 2 人,所有可能的选出结果共有 15 种, 它们是:

(a, b), (a, c) , (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ),

(b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e) (d , f ), (e, f ) .
其中事件 B 的结果有 4 种,它们是: (a, f ), (b, f ), (c, f ), (d , e) . 所以这 2 人的票价和恰好为 8 元的概率为 P( B) ? (Ⅲ)解: s ? (20, 22] .

4 . 15

19.设点 F 为椭圆 E:

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,点 P (1, ) 在椭圆 E 上,已知椭圆 E 的离心率为 . 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设过右焦点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,记 ?ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t ,求 t
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的最大值. 【难度】4 【考点】圆锥曲线综合 【答案】见解析 【解析】

(Ⅰ)解:设 c ? a 2 ? b2 ,由题意,得
所以 a ? 2c , b ? 3c .

c 1 ? , a 2

则椭圆方程为

x2 y2 ? ?1, 4c 2 3c 2

又点 P (1, ) 在椭圆上, 所以

3 2

1 3 ? 2 ? 1 ,解得 c 2 ? 1 , 2 4c 4c

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)解:由题意,直线 l 的斜率存在,右焦点 F (1, 0) , 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,与椭圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 消去 y , ? 1, ? ? 3 ?4
得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . 由题意,可知 ? ? 0 ,则有 x1 ? x2 ?

4k 2 ? 12 8k 2 , , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以直线 PA 的斜率 k PA 所以 t ? kPA ? kPB ? k

3 3 y2 ? 2 ,直线 PB 的斜率 k ? 2, ? PB x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

3 3 y2 ? 2? 2 ?k ? x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?
3 3 [k ( x1 ? 1) ? ] ? [k ( x2 ? 1) ? ] 2 2 ?k ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
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3 9 k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2 4 ?k ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

3 9 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 4 ]? k ? [k 2 ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
3 3 ? (?k ? ) ? k ? ?k 2 ? k . 4 4
即 t ? ?k ?
2

3 3 9 k ? ?( k ? ) 2 ? , 4 8 64
3 8

所以当 k ? ? 时, ?ABP 三条边所在直线的斜率的乘积 t 有最大值 20.设 n ? N ,函数 f ( x) ?
*

9 . 64

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是否为单调函数,并说明理由; (Ⅱ)若当 n ? 1 时,对任意的 x1, x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 成立,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ)当 n ? 2 时,若存在直线 l: ,使得曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于直线 l 的两 y ? t (t ? R ) 侧,写出 n 的所有可能取值. (只需写出结论) 【难度】4 【考点】导数的综合运用 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:结论:函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上不是单调函数. 求导,得 f ?( x) ?

1 ? n ln x , x n ?1
1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e n . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

第 15 页

共 16 页

所以函数 f ( x ) 在区间 (0, e n ) 上为单调递增,区间 (e n , ??) 上为单调递减. 所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上不是单调函数. (Ⅱ)解:当 n ? 1 时,函数 f ( x) ?

1

1

ex ln x , g ( x) ? ,x ? 0. x x

由题意,若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 恒成立, 只需当 x ? (0, ??) 时, f ( x)max ≤t≤g ( x)min . 因为 f ?( x) ?

1 ? ln x .令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e . x2

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

所以 f ( x) max ? f (e) ? 又因为 g ?( x) ?

1 . e

e x ( x ? 1) . x2

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 x 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化如下表所示:

所以 g ( x)min ? g (1) ? e . 综上所述,得 ≤t≤e . (Ⅲ)解:满足条件的 n 的取值集合为 {3, 4} .
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1 e


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