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高中数学竞赛教材讲义第十六章平面几何讲义

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第十六章 平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 A ' , B ' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 A ' , B ' , C ' 三点共线,则 BA ' A'C ? CB ' B'A ? AC ' C'B ? 1. BA ' A'C ? CB ' B'A ? AC ' C'B ? 1 . 则 A ' , B ' , C ' 三点共线。 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若 塞瓦定理 设 A ' , B ' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 AA ' , BB ' , CC ' 三线平行或共点,则 塞瓦定理的逆定理 BA ' A'C ? CB ' B'A ? AC ' C'B BA ' A'C ? CB ' B'A ? AC ' C'B ? 1. 设 A ' , B ' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 或其延长线上的点,若 ? 1 . 则 AA ' , BB ' , CC ' 三线共点或互相平行。 A ' , B ' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 所在直线上的点,则 角元形式的塞瓦定理 AA ' , BB ' , CC ' 平行或共点的充要条件是 sin ? BAA ' sin ? A ' AC ? sin ? ACC ' sin ? C ' CB ? sin ? CBB ' sin ? B ' BA ? 1. 广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB?CD+BC?AD≥AC?BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有 AP =AB ? 2 2 PC BC +AC ? 2 BP BC -BP?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接 圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九 点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为一 条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 OG ? 1 2 GH . 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重 合。 0 0 0 例 1 在Δ ABC 中,∠ABC=70 ,∠ACB=30 ,P,Q 为Δ ABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=10 ,∠PBQ= 0 ∠PCB=20 ,求证:A,P,Q 三点共线。 [证明] 设直线 CP 交 AQ 于 P1, 直线 BP 交 AQ 于 P2, 因为∠ACP=∠PCQ=10 , 所以 0 AP QP 1 ? AC CQ , -1- ①在Δ ABP,Δ BPQ,Δ ABC 中由正弦定理有 AB sin ? AP 2 B ? AP 2 sin ? ABP 2 ,② QP 2 sin 20 0 ? BQ sin ? BP 2 Q ,③ AB sin 30 0 ? AC sin 70 0 .④ 由②,③,④得 AP 1 QP 1 ? AP 2 QP 2 。又因为 P1,P2 同在线

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