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2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”22.数学方法:分类与整合思想

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【精选三年经典试题(数学) 】2014 届高三全程必备《高频题型全掌 握系列》22.数学方法:分类与整合 1.(上海模拟)对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: 2 (1)当 n=1 时, 1 +1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N 且 k≥1)时,不等式成立,即 k +k<k+1,则当 n=k+1 时, ? k+1? 1, 所以当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,故推理错误. 答案 D 2.(大同调研)定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(4-x)=f(x),(x-2)·f′(x)<0,若 x1<x2 且 x1+x2>4,则 A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不确定 解析 ∵f(4-x)=f(x),∴函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,由(x-2)f′(x)<0 可得函 数 f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,∴当 x2>x1>2 时,f(x1)>f(x2);当 ( ). ( ). 2 * 2 +? k+1? = k2+3k+2< ? k2+3k+2? +? k+2? = ? k+2? 2 =(k+1)+ x2>2>x1 时,∵x1+x2>4,∴x2>4-x1>2,∴f(4-x1)=f(x1)>f(x2),综上,f(x1)>f(x2),故选 B. 答案 B 3.(济南模拟)已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.f(x)的导函数 y=f′ (x)的图象如图所示. 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)是周期函数; -1- ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的个数有 A.4 B.3 C.2 D.1 ( ). 解析 依题意得,函数 f(x)不可能是周期函数,因此①不正确;当 x∈(0,2)时,f′(x)<0, 因此函数 f(x)在[0,2]上是减函数,②正确;当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,依题意, 结合函数 f(x)的可能图象形状分析可知,此时 t 的最大值是 5,因此③不正确;注意到 f(2) 的值不明确,结合图形分析可知,将函数 f(x)的图象向下平移 a(1<a<2)个单位后相应曲线与 x 轴的交点个数不确定,因此④不正确.综上所述,选 D. 答案 D 4.(2013·泰州模拟)设 f(x)=ex+x-4,则函数 f(x)的零点位于区间 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) x ( ). D.(2,3) x 解析 ∵f(x)=e +x-4, f′(x)=e +1>0,∴函数 f(x)在 R 上单调递增. ∴ 对于 A 项,f(- 1)=e +(-1)-4=-5+e <0,f(0)=-3<0,f(-1)f(0)>0,A 不正确,同理可验证 B、D 不正确.对于 C 项,∵f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e +2-4=e -2>0,f(1)f(2)<0,故 选 C. 答案 C 2 x 5.(2013·石家庄期末)函数 f(x)=2 - -a

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