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第4讲 基本不等式

时间:2014-11-27


第4讲

基本不等式

1.考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题. 2.考查应用基本不等式解决实际问题. 【复习指导】 1.突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练. 2.训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养.

基础梳理 a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:

a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R); b a (2)a+b≥2(a,b 同号); ?a+b?2 ? (a,b∈R); (3)ab≤? ? 2 ? (4) a2+b2 ?a+b?2 ? ? 2 ≥? 2 ? (a,b∈R).

3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 2 ,几何平均数为 ab,基本不等式 可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积 定和最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4 .(简记:和定

积最大)

一个技巧 运用公式解题时, 既要掌握公式的正用, 也要注意公式的逆用, 例如 a2+b2≥2ab a2+b2 a+b ?a+b?2 ? (a,b>0)等.还 逆用就是 ab≤ 2 ; 2 ≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? ? 2 ? 要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1) (2) a2+b2 ?a+b?2 ? ? 2 ≥? 2 ? ≥ab(a,b∈R,当且仅当 a=b 时取等号); a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ 2 2 1 1(a>0,b>0,当且仅当 a=b 时取等号). a+b

这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提 “一正、二定、三 相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基 本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存 在且一致. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=x+ x(x>0)的值域为( A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞) 1 解析 ∵x>0,∴y=x+x ≥2, 当且仅当 x=1 时取等号. 答案 C a+b 1 2.下列不等式:①a2+1>2a;② ≤2;③x2+ 2 ≥1,其中正确的个数是 x + 1 ab B.(0,+∞) D.(2,+∞) ).

( A.0 B.1 C.2
2

).

D.3 1 1 =(x2+1)+ 2 -1≥2-1=1. x +1 x +1

解析 ①②不正确,③正确,x2+ 答案 B

3.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值为( 1 A.2 B.1 C.2 D.4

).

解析 ∵a>0,b>0,a+2b=2, 1 ∴a+2b=2≥2 2ab,即 ab≤2. 答案 A 4.(2011· 重庆)若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 B.1+ 3 1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2 C.3 D.4 1 +2≥2 x-2 ?x-2?× 1 +2=4, x-2 ).

解析 当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+ 当且仅当 x-2= 即 a=3. 答案 C 5.已知 t>0,则函数 y=

1 (x>2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x=3, x-2

t2-4t+1 的最小值为________. t

t2-4t+1 1 解析 ∵t>0,∴y= =t+ t -4≥2-4=-2,当且仅当 t=1 时取等号. t 答案 -2

考向一

利用基本不等式求最值

1 1 【例 1】?(1)已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则x +y 的最小值为________; (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2x 的最大值为________. x +1
2

1 1 [审题视点] 第(1)问把x +y 中的“1”代换为“2x+y”,展开后利用基本不等式; 第(2)问把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式. 解析 (1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1, 1 1 2x+y 2x+y ∴x+y= x + y y 2x =3+x+ y ≥3+2 2. y 2x 当且仅当x= y 时,取等号. (2)∵x>0, ∴f(x)= 2x 2 2 = 1≤2=1, x +1 x+x
2

1 当且仅当 x=x ,即 x=1 时取等号. 答案 (1)3+2 2 (2)1

利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积 最大,积定和最小”.常用的方法为:拆、凑、代换、平方. 【训练 1】 (1)已知 x>1,则 f(x)=x+ 1 的最小值为________. x-1

2 (2)已知 0<x<5,则 y=2x-5x2 的最大值为________. (3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为________. 解析 (1)∵x>1, ∴f(x)=(x-1)+ 1 +1≥2+1=3 x-1 当且仅当 x=2 时取等号.

1 (2)y=2x-5x2=x(2-5x)=5· 5x· (2-5x), 2 ∵0<x<5,∴5x<2,2-5x>0, ?5x+2-5x?2 ? =1, ∴5x(2-5x)≤? 2 ? ? 1 ∴y≤5,当且仅当 5x=2-5x, 1 1 即 x=5时,ymax=5.

(3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy, 2 8 ∴y+x=1, 8y 2x ?8 2? ∴x+y=(x+y)?x+y ?=10+ x + y ? ? ?4y x? =10+2? x +y?≥10+2×2× ? ? 4y x x· y=18,

4y x 当且仅当 x =y,即 x=2y 时取等号, 又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6, ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. 答案 (1)3 1 (2)5 (3)18

考向二

利用基本不等式证明不等式

bc ca ab 【例 2】?已知 a>0,b>0,c>0,求证: a + b + c ≥a+b+c. [审题视点] 先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到. 证明 ∵a>0,b>0,c>0, bc ca ∴ a + b ≥2 bc ab a + c ≥2 ca ab b + c ≥2 bc ca a· b =2c; bc ab a· c =2b; ca ab b· c =2a.

?bc ca ab? 以上三式相加得:2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ? bc ca ab 即 a + b + c ≥a+b+c. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思 路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过 逐步的逻辑推理最后转化为需证问题. 【训练 2】 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1.

1 1 1 求证:a+b+ c≥9. 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+ c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c ?b a? ? c a? ? c b? =3+?a+b?+?a+ c?+?b+ c? ? ? ? ? ? ? ≥3+2+2+2=9, 1 当且仅当 a=b=c=3时,取等号. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 x2+3x+1

【例 3】?(2010· 山东)若对任意 x>0, ________. [审题视点] 先求

x x (x>0)的最大值,要使得 2 ≤a(x>0)恒成立, x +3x+1 x +3x+1
2

x 只要 2 (x>0)的最大值小于等于 a 即可. x +3x+1 x x 解析 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立, 只需求得 y= 2 的最大值即 x +3x+1 x +3x+1 可,因为 x>0,所以 y= x = x2+3x+1 1 ≤ 1 x+x +3 2 1 1 =5,当且仅当 x=1 时取 1 x· x

?1 ? 等号,所以 a 的取值范围是?5,+∞? ? ? ?1 ? 答案 ?5,+∞? ? ? 当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时, 可直接求出这个最 值(最值可能含有参数),然后建立关于参数的不等式求解. 【训练 3】 (2011· 宿州模拟)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立, 则实数 m 的最大值是________. 解析 由 x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得 xy≥8,于是由 m-2≤xy 恒成立,

得 m-2≤8,m≤10,故 m 的最大值为 10.

答案 10 考向三 利用基本不等式解实际问题

【例 3】 ?某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房, 由于地理位 置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 5 m.房屋正面的造价为 400 元/m2,房 屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元,如果墙高 为 3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? [审题视点] 用长度 x 表示出造价,利用基本不等式求最值即可.还应注意定义 域 0<x≤5;函数取最小值时的 x 是否在定义域内,若不在定义域内,不能用基 本不等式求最值,可以考虑单调性. 12 ? 16? 解 由题意可得, 造价 y=3(2x×150+ x ×400)+5 800=900?x+ x ?+5 800(0< ? ? x≤5), ? 16? 则 y=900?x+ x ?+5 800≥900×2 ? ? 16 x× x +5 800=13 000(元),

16 当且仅当 x= x ,即 x=4 时取等号. 故当侧面的长度为 4 米时,总造价最低. 解实际应用题要注意以下几点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值; (3)在求函数的最值时, 一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解. 【训练 3】(2011· 广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件, 每件水晶产品的销售价格为 100 元, 固定成本为 80 元. 从今年起, 工厂投入 100 万元科技成本. 并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本.预计产量每 年递增 1 万件, 每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n 的关系是 g(n)= 80 .若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元. n+1

(1)求出 f(n)的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 解 (1)第 n 次投入后, 产量为(10+n)万件, 销售价格为 100 元, 固定成本为 80 n+1

元,科技成本投入为 100n 万元. 80 ? ? ?-100n(n∈N*). 所以,年利润为 f(n)=(10+n)?100- n + 1 ? ? 80 ? ? ?-100n (2)由(1)知 f(n)=(10+n)?100- n+1? ? 9 ? ? ?≤520(万元). =1 000-80? n+1+ n+1? ? 当且仅当 n+1= 9 , n+1

即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元. 所 以 , 从 今 年 算 起 第 8 年 利 润 最 高 , 最 高 利 润 为 520 万 元 .

阅卷报告 8——忽视基本不等式成立的条件致误 【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点,其中使用的条件是“一正、 二定、三相等”,在使用时一定要注意这个条件,而有的考生对基本不等式的使 用条件理解不透彻,使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防 范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式,若使用两次时应保证两次等 号成立的条件同时相等. 1 2 【示例】?已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求a+b的最小值. 错因 两次基本不等式成立的条件不一致. 实录 ∵a>0,b>0,且 a+b=1, ?a+b?2 1 ?= . ∴ab≤? ? 2 ? 4 1 2 又a+b≥2 2 1 1 ab,而 ab≤4,∴ab≥4,

1 2 1 2 ∴a+b≥2 8=4 2,故a+b的最小值为 4 2. 正解 ∵a>0,b>0,且 a+b=1, 1 2 ?1 2? b 2a ∴a+b=?a+b?(a+b)=1+2+a+ b ≥3+2 ? ? b 2a a· b =3+2 2.

a+b=1, ? ? 当且仅当?b 2a = , ? ?a b

?a= 2-1, 即? 时, ?b=2- 2

1 2 a+b的最小值为 3+2 2. 1 【试一试】 (2010· 四川)设 a>b>0,则 a2+ab+ A.1 [尝试解答] B.2 1 a2+ab+ C.3 1 a?a-b? D.4 1 的最小值是( a?a-b? ).

1 =a2-ab+ab+ab+ =a(a-b)+ ≥2

1 a?a-b?

1 1 +ab+ ab a?a-b? 1 ab· ab

1 a?a-b?· +2 a?a-b?

=2+2=4. 当且仅当 a(a-b)= 1 1 且 ab=ab, a?a-b?

即 a=2b 时,等号成立. 答案 D


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