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2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛试题(高一)


2012 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高一试卷
考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟. 2 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4 本卷解答一律不准使用计算器. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题

4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的 答案)
1、 设全集 U ? R, A ? x x?x ? 3? ? 0 , B ? x x ? ?1 , 则右图中阴影部分表示的集合为 ( ) A、 x ? 3 ? x ? ?1 C、 x x ? 0

?

?

?

?

? ?

?

B、 x ? 3 ? x ? 0 D、 x x ? ?1

?

?

?

?

?
(

2.若 f ( x) ? 1 ? 2 x, g[ f ( x)] ? ) A.1 3.函数

1? x2 1 ( x ? 0),则g ( ) 的值为 2 2 x
C.15 D.30 (

B.3

y ?3

log3 x

的图象是



A. B. C. D. 2 4.若函数 f(x)=lg(x -ax-3)在(-∞,-1)上是减函数,则 a 的取值范围是 txCj ( A. a>2 B. a<2 C.a≥2 D. a≥-2 2x 5. 函数 f(x)=x+ x ( ) 4 -1 A. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 B. 是奇函数但不是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数

) C

6.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 2) ,当 x ? 1 时, f ( x) 单调递减, 如果 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值 A.恒小于 0 7.函数 f ( x) ? 9 ? 9
x ?x

( D.可正可负 ( (D) ? 2 )



B.恒大于 0

C.可能为 0

? 2(3x ? 3? x ) 的最小值是
(C) ? 3

(A)1

(B)2

8.设函数 f ( x) ? ( x2 ? 20x ? c1 )( x2 ? 20x ? c2 )?( x2 ? 20x ? c10 ) ,集合 M ? , 则 c1 ? c 1 0? ( {x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x2 ,?, x19 } ? N* , 设 c1 ? c2 ?? ? c1 0 A. 83 B. 85 C. 79 D. 81 )

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分.)
9、若 x ? 4 ? x ? 3 ? a 的解集为空集,则 a 的取值范围为 。

10、已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log c x = _____________ 。

? ? 且 M , N 都是集合 1 3? 11、 设数集 M ? ? x 0 ? x ?1 的 ? x m ? x ? m ? ? ,N ? ? x n ? ? x ? n? , 3 4? ? ? ?
子集,如果把 b ? a 叫做集合 x a ? x ? b 的“长度” ,那么集合 M ? N 的“长度”的最 小值是 12、已知函数 f(x)= ? .

?

?

?

?

?(3a ? 1) x ? 4a ( x ? 1) 在 R 不是单调函数 ,则实数 a 的取值范围是 ...... ( x ? 1) ? log a x

. 13 在平面直角坐标系中,若点 A , B 同时满足:①点 A , B 都在函数 y ? f ( x) 图象上; ②点 A , B 关于原点对称,则称点对( A , B )是函数 y ? f ( x) 的一个“兄弟点对” (规 定点对( A , B )与点对( B , A )是同一个“兄弟点对” ) .当函数 g ( x) ? a ? x ? a 有“兄
x

14 、已知二次函数 f ? x ? ? x2 ? 2mx ? 1 ,若对于 ?0,1? 上的任意三个实数 a , b, c ,函数值
f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 都能 构成一个 三角形的三边 长,则满 足条件的 m 的值 的取值范 围是

弟点对”时, a 的取值范围是______________.



三、 解答题(本大题共 3 小题,满分 32 分.要求写出必要的解答过程)
15. (本题满分 10 分)已知

x ? ax ?

3 的解集为 ?4, b ? ,求实数 a, b 的值. 2

16. (本题满分 10 分)对于在区间[m,n]上有意义的两个函数 f (x)与 g (x),如果对任意 x ∈[m,n]均有| f (x) – g (x) |≤1,则称 f (x)与 g (x)在[m,n]上是接近的,否则称 f (x)与 g (x)在 [m,n]上是非接近的,现有两个函数 f 1(x) = loga(x – 3a)与 f 2 (x) = loga

1 (a > 0,a≠1), x?a

给定区间[a + 2,a + 3]. (1)若 f 1(x)与 f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上都有意义,求 a 的取值范围; (2)讨论 f 1(x)与 f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是否是接近的?

17. (满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 ,对于n ? N ? , 定义 f1 ? x ? ? f ? x ? , fn?1 ? x ? ? f ? ? f n ? x ?? ?, 1? x

偶函数 g ? x ? 的定义域为 ?x x ? 0? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? f 2009 ? x ? 。 (1)求 g ? x ? ; (2)若存在实数 a, b ? a ? b? 使得该函数在 ? a, b? 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零 实数 m 的取值范围。

2012 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高一答题卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.________________________ 11._______________________ 13._______________________ 10._____________________________ 12._____________________________ 14._____________________________

三、解答题(本大题共 3 小题,满分 32 分.要求写出必要的解答过程) 15. (本题满分 10 分)已知

x ? ax ?

3 的解集为 ?4, b ? ,求实数 a, b 的值. 2

16. (本题满分 10 分)对于在区间[m,n]上有意义的两个函数 f (x)与 g (x),如果

对任意 x∈[m,n]均有| f (x) – g (x) |≤1,则称 f (x)与 g (x)在[m,n]上是接近的, 否则称 f (x)与 g (x)在[m,n]上是非接近的,现有两个函数 f 1(x) = loga(x – 3a)与 f 2 (x) = loga
1 (a > 0,a≠1),给定区间[a + 2,a + 3]. x?a

(1)若 f 1(x)与 f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上都有意义,求 a 的取值范围; (2)讨论 f 1(x)与 f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是否是接近的?

17. (满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 ,对于n ? N ? , 定义 f1 ? x ? ? f ? x ? , fn?1 ? x ? ? f ? ? f n ? x ?? ?, 1? x

偶函数 g ? x ? 的定义域为 ?x x ? 0? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? f 2009 ? x ? 。 (1)求 g ? x ? ; (2)若存在实数 a, b ? a ? b ? 使得该函数在 ? a, b? 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零 实数 m 的取值范围。

2012 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高一参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答 案)

题号 答案

1 A

2 C

3 A

4 C

5 A

6 B

7 D

8 D

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线 上)
9. a ? ?1 10. 60 11. 1/12 12. (0, ) ? [ ,1) ? (1,??)

1 7

1 3

13. a ≥1

14.

? 2? ? 0, ? ? 2 ? ? ?

三、 解答题(本大题共 3 小题,满分 32 分.要求写出必要的解 答过程) 15.法一:如图,在同一直角坐标系中,作出 y= x (x≥0) 3 及 y=ax+ 的大致图像, 2
3 设 y=ax+ 与 Y 轴及 y= x 分别交于 A、B、C 点 2 3 由条件及图像可知 A(0, ) ,B(4,2) , 2
A B

C

则4a ?

3 1 ? 2 得a ? 2 8

令 C(b, b ) (b>0) 由 k AB ? k BC

3 2 ? b ? 2 ? a ? 1 ,b ? 36 得 a? 8 4?0 b?4 2 3 3 法二: x ? ax ? ? a x ? x ? ? 0 2 2 2?

? ?

依题意,上式等价于 a

?

x ?2

??

x? b ?0
1 ? ?a ? 8 ? ?b ? 36

?

?a 2 ? b ? 1 ? 3 ? ∴ ? 2a b ? 2 ? a ? 0 ? ?

?

?

∴?

16.解: (1)要使 f 1 (x)与 f 2 (x)有意义,则有
? x ? 3a ? 0 ? ? x ? 3a ?x ? a ? 0 ?a ? 0且a ? 1 ?

要使 f 1 (x)与 f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上有意义, 等价于真数的最小值大于 0
? 1 ?a ? 3 ? a ? 0 ? 即 ?a ? 2 ? 3a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ?a ? 0且a ? 1 ? ?

(2)f 1 (x)与 f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是接近的 ? | f 1 (x) – f 2 (x)|≤1 1 ≤1 ? loga ( x ? 3a) ? loga x?a

? |loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1 1 ? a≤(x – 2a)2 – a2≤ a 对于任意 x∈[a + 2,a + 3]恒成立 设 h(x) = (x – 2a)2 – a2,x∈[a + 2,a + 3] 且其对称轴 x = 2a < 2 在区间[a + 2,a + 3]的左边
?a≤ hmin ( x) ?a≤ h(a ? 2) ? ? ? ?1 ? ?1 ≥ h(a ? 3) ? a ≥ hmax ( x) ? ?a ? 4 ?a ≤ 4 ? 4a ? ? ?a≤ ? ?1 ?? 5 ≥ 9 ? 6a ? ? 6 a 2 ? 9a ? 1 ≥ 0 ?a ?
4 ? a≤ ? 5 ? ?? 9 ? 57 ?a 9 ? 57 或a ≥ ≤ ? 12 12 ?
? 0 ? a≤ 9 ? 57 12 9 ? 57 时 f 1 (x)与 f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是接近的 12

当 0 ? a≤ 当

9 ? 57 < a < 1 时,f 1 (x)与 f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是非接近的. 12

17.解: (1)因为
f1 ? x ? ? f ? x ? ? 1 1 x ?1 1 , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? ? , f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ?? ? ?x ? ? 1 x ?1 1? x x 1? 1? 1? x x

f 4 ?x ? ? f ? f 3 ?x ?? ?

1 , 所以迭代函数以 3为周期 ,f 1? x
?x ?1 1 ? 1? , ?x x

2009

?x ? ? f 2 ?x ? ?

x ?1 … x

设 x ? 0, 则 ? x ? 0, g ? x ? ? g ? ? x ? ?

? 1 ?1? x , x ? 0 ? 所以 g ? x ? ? ? … ?1? 1 , x ? 0 ? x ? 图象如右: (2)因为 a ? b, ma ? mb ? 0 ? m ? 0, a ? b ? 0 ;
又因为 mb ? 0 ,所以 ? 1 ? [a, b] (否则 m ? 0, m b ? m a ? 0 ,矛盾)
? 1 1 ? ? ma ? 1 ? a 当 a ? b ? ?1, 则f ? x ? ? 1 ? 在(??, ?1]上是减函数? 由题意 ? x ?1 ? 1 ? mb ? ? b 1 1 1 所以 a, b是方程1 ? ? mx的两不同实根, ? x2 ? x ? ? 0在? ??, ?1? 有两个不同实根, x m m 1 4 ? ?? ? m2 ? m ? 0 ? 1 1 1 ? ? g ? ?1? ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? m ? 0?????15分 ? m m 4 ? ? 1 ? 2m ? ?1 ?
1 ? ?1 ? ? mb ? 1 ? a 当 ? 1 ? a ? b ? 0时, 则f ? x ? ? ?1 ? 在(?1, 0)上是增函数,由题意 ? 1 x ??1 ? ? ma ? b ? ? a ? b不合.

1 综上所述 ? ? m ? 0 。---------------4


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