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浙江省严州中学高三年级第一次模拟考试理科数学

时间:2015-09-26


浙江省严州中学高三年级第一次模拟考试 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符 合题目要求的。

1.已知集合 A ? x y ? ln(1 ? 2 x) , B ? x x ≤ x ,则 CA?B ( A ? B)= ( ▲ ) A. ( ??, 0)

/>?

1 B. (? ,1] 2

?

?

2

?

C. ( ??, 0) ?[ ,1]

1 2

D. (? , 0]

1 2

2. 设 a , b ? R ,则“ a ? b ”是“ | a |?| b | ”的( ▲ ) A.充分而不 必要条件 C.充要条件 3.函数 y ? (2 x ? 1)e x 的图象是( ▲ ) B.必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

[来源:学科网 ZXXK]

A.

B.

C.

D.

4.已知 a , b 是空间中两不同直线, ? , ? 是空间中两不同平面,下列命题中正确 的是( ▲ ) .. A.若直线 a / / b , b ? ? ,则 a / /? B.若平面 ? ? ? , a ? ? ,则 a / / ? C.若平面 ? / / ? , a ? ? , b ? ? ,则 a / / b D.若 a ? ? , b ? ? , a / / b ,则 ? / / ? 5.若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 ? 的 最小正值是 ( ▲ ) A.
? 8 ? 4

B.

C.

?? 8

D.

?? 4

6.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x≥ 0 时, f ( x) ? ? x2 ? 2 x ,则函数 F ( x ) ? f ( x ) ? x 零点个 数为( ▲ ) A.4
2015

B.3
n

C.1

D. 0
2015

7.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2 A. 2

? n ? N ? ,则 S
*

=( ▲ )

8.已知向量 a , b 满足: | a |? 13, | b | ,则 b 在 a 上的投影长度的取值范围是 ? 1, |a ? 5 b≤ | 12 ( ▲ )

-1 ??

B. 21009 -3

?

?

?

C. 3 ? 21007 -3

?

?

?

D. 21008 -3

-1-

A. [0.

1 13

]

B. [0.

5 13

]

C. [

1 13

,1]

D. [

5 13

,1]

二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分。把答案填在答 题卷的相应位置。
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

(-3, 0) 9.若经过点 P 的直线与圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则圆心 坐标是
2 2



;半

径为 ▲ ;切线在 y 轴上的截距是 ▲ .

??2 x ?1( x ≥1) 10.设函数 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (4)) ? log (1 ? x )( x ? 1) ? 2
2

▲ ;若 f ( a ) ? ?1 ,则 a ?

▲ .

11.某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则其体积是 ▲ cm3, 其侧视图的面积是 ▲ cm 2.

? x ≥1 , ? 12.设实数 x , y 满足 ? y ≥ x ? 1, 则动点 P ( x , y ) 所形成区域 ? ? x ? y ≤ 3,
的面积为 ▲ , z ? x 2 ? y 2 的取值范围是 ▲ . 13.点 P 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 上一点,F 是右焦点,

且 ?OPF 是 ?OFP ? 120? 的等腰三角形( O 为坐标原点) ,则双曲线的离心率是 ▲ . π 14.函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 2 cos( x ? ) 的最大值是 ▲ . 4 15.已知 x>0,y>0,2x+y=1,若 4 x ? y ? xy ? m ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 ▲ .
2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分。解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 15 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 a,b,c 成等比数列, 且 sin A sin C ?

3 . 4

(I)求角 B 的大小; (II)若 b ? 3 ,求 ?ABC 的面积最大值.

-2-

17. (本题满分 15 分)如图,已知 AB ? 平面 BEC , AB / /CD, AB ? BC ? 4 , ?BEC 为等边 三角形, (1)若平面 ABE ? 平面 ADE ,求 CD 长度; (2) 求直线 AB 与平面 ADE 所成角的取值范围.

A

D

B

C

E

18. (本题满分 15 分) 已知椭圆

x2 y 2 1 2 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) , 离心率 e ? , 且过点 (2 2 , ) , 2 a b 3 3

(1)求椭圆方程; (2) Rt ?ABC 以 A(0, b) 为直角顶点,边 AB, BC 与椭圆交于 B, C 两点,求 ?ABC 面积的
最大值.

-3-

[来源:学科网 ZXXK]

19.(本题满分 15 分)函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2bx ? a ? b(a, b ? R, a ? 0) , g ( x) ? 2ax ? 2b (1)若 ? ? ?0, ? 时,求 f (sin ? ) 的最大值; 2 (2)设 a ? 0 时,若对任意 ? ? R ,都有 | f (sin ? ) |≤1 恒成立,且 g (sin ? ) 的最大值为 2, 求 f ( x) 的表 达式.

? ?? ? ?

20.(本题满分 14 分)各项为正的数列 ?an ? 满足 a1 ?

a2 1 ? , an ?1 ? n ? an ,(n ? N ) , 2 ?

(1)取 ? ? an?1 ,求证:数列 ?

? an ?1 ? ? 是等比数列,并求其公比; a n ? ?

(2) 取 ? ? 2 时令 bn ?

1 , 记 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 数列 ?bn ? 的前 n 项之积为 Tn , an ? 2

求证:对任意正整数 n , 2n?1Tn ? Sn 为定值 .

-4-

浙江省严州中学高三年级第一次模拟试题理科数学试题 1-8 CDAD 9. CBBD 10. 或 11.4, 12. 1, .由正弦定理得 . ………………4′ 13. .
[来源:Z。xx。k.Com]

16. 解: (Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 又 ,所以 或

.因为 sinB>0,则 .

因为 B∈(0,π),所以 B= 又 ,则 或

, 即 b 不是△ABC 的最大边,故 得 ,得 ∴.
[来源:Zxxk.Com]

. ………………3′

(II) 由余 弦定理



时,△ABC 的面积最大值为 取 BE、AE 中点 O、F,连结 OC、OF,以 O 为原点,OE、OC、OF 轴建立坐标 系,则 易知平面 ABE 的法向量为

17. 解: (1)设 为

设面 ADE 的一个法向量为

则 所有

可得 ,所以 CD 长度为 2. ,设直线 AB 与面 所成角为 ,

(2)由(1)可知:面 ADE 的一个法向量

则 18. 解 : (1)由

,所以

.



,把点

带入椭圆方程可得:

,所以椭圆方程为: (2)不妨设 的方程 ,则 的方程为 。



得:
-5-



代入,可得

从而有

于是



令 当且仅当 19. 解: (1) 令
[来源:Z*xx*k.Com]

,有 , . , 原命题等价于求证 ,结合函数图象可知: 在 的最大值为



,对称轴

(2)令 因为 而 结合 所以 ,所以

,则 ,而 而 时, ,



可知二次函数的顶点坐标为 ,所以 .

20. 证明: (1)

两边同除

可得:

因为

,所以

为常数,故数列

是等比数列,公比为

(2)由

所以

所以

,故

=2 为定值.

-6-

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-7-


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