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浙江省杭州市重点高中2013年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-12


2013 年高考模拟试卷

数学(文科)卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。请考生按规 定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式: 球的表面积公式 S=4 ?R
2

球的体积公式 V= ?R

4 3

3

/>
其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式
1 V= Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积, 表 h 示锥体的高 柱体的体积公式 V= Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱 体的高 台体的体积公式
1 V= h(S 1 + S 1S 2 + S 2 ) 3 其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上、下底

面积, h 表示台体的高 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

1

选择题部分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.如图,全集 I ? {1,2,4,6,7,9}, 其中 M ? {2,4,7,9} , P ? {1,4,7,9} ,
S ? {2,4,7} 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合等于

[原创]

(A) {4,7,9}

(B) {7,9}
2

(C) {4,9}

(D) {9}

2.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”成立的 [原创] (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要 3.已知 ? , ? 是不同的两个平面, m, n 是不同的两条直线,则下列命题中不正确的 ... 是 [原创] (A)若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? (C)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? (A) y ? ln | x | (C) y ? e
x

(B)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? (D)若 m ∥? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n (B) y ? ? x
2

4.下列函数中,既是偶函数又在 (0 , ? ?) 上单调递增的是 [原创]
甲 5 8 x 6 9 0 2 7 8 9 乙 6 1 1 1 1 y 6

(D) y ? cos x

5. 某中学高三理科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如右图,其中甲班学生成 绩的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x ? y 的值为 [根据山东省临沂市 2013 届高三一模文科数学第 4 题改编] (A) 8 (B) 7 (C) 9 (D) 168

(第 5 题)

6. 函数 y ? f (x) 的图象向右平移 解析式是 [原创] (A) f (C) f

?
3

单位后与函数 y ? sin 2 x 的图象重合,则 y ? f (x) 的

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

? ?
3 6

) )

(B) f (D) f

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

? ?
6 3

) )

7.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? mx 2 ? 2n ( m, n 为常数) x ? 2 时,函数 f (x) 有极值,若函数 ,当 3 f (x) 只有三个零点,则实数 n 的取值范围是 [原创]

(A) ( 0,

5 ] 3

(B) (0,

8.已知向量 OA , OB 的夹角为 60°,| OA |=| OB |=2,若 OC =2 OA + OB ,则△ ABC 为 [根据温 州 中 学 2 01 2 学 年 第 一 学 期 期 中 考 试 高 三 数 学 试 卷 第 7 题改编] (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

??? ??? ? ?

2 ) 3

(C) [1,

??? ?

??? ?

5 ) 3

(D) [ 0,

????

??? ??? ? ?

2 ] 3

x2 y 2 ? ? 1 右支上一点, F1 , F2 分别是双曲线的左焦点和右焦点,过 P 点作 9. P 为双曲线 9 16 PH ? F1F2 ,若 PF1 ? PF2 ,则 PH ? [原创] 8 64 32 16 (A) (B) (C) (D) 5 5 5 5

?| 2 x ? 1 |, x ? 2 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 3 ,若方程 f ( x) ? a ? 0 有两个不同的实数根,则实数 a ,x ? 2 ? ? x ?1
的取值范围为 [根据全 品 高 考 复 习 方 案 二 轮 专 题 检 测 卷 ( 一 ) 第 10 题改编] (A) (1,3) (B) [1,3) (C) (0,1) (D) (0,3)
3 3 3 2 2
正视图 侧视图

非选择题部分 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。

(1 ? i) 2 11.若 i 是虚数单位,则复数 ? 3 ?i

。[原创]
4
俯视图

12.已知某个几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则这个几 3 何体的体积是 cm 。[原创] 13.一只布袋中装有大小相同,编号分别为 1,2,3,4,5 的五 个小球,从中有放回地每次取一个小球,共取 2 次,则取得 ... 两个球的编号和不小于 6 的概率为 ... 。[原创] 14.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出 S 的值是 。[原创]

(第 12 题) 开始 S=1 i =0 是 i > 100 否 输出 S S=S+3

15.若圆 C : ( x ? m) 2 ? ( y ? n) 2 ? 9 与 y 轴交于 A, B 两点, C 为圆心,

| CA ? CB |? 13 ,则 AB ?

。[根据浙江省温州市十校联合

体 2013 届高三上学期期末联考第 14 题改编] 16.已知 O 是坐标原点,点 A(1,?1) ,若点 P( x, y) 为平面区域

?x ? 2 ? 0 i =2i+1 结束 ? 上的一个动点,则 OA? OP 的最小值是 _______。[原创] ? y ?1 ? 0 (第 14 题) ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
17.若对函数 y ? f (x) 定义域内的每一个值 x1 , 都存在唯一的值 x2 , 使得 f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 成
?2 立, 则称此函数为 “黄金函数” 给出下列三个命题: y ? x 是 , ① “黄金函数” ② y ? ln x ;

是“黄金函数” ;③ y ? 2 是“黄金函数” ,其中正确命题的序号是 。 [根据山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)第 16 题改编]
x

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题 14 分)已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边,且满足

2a sin B ? 3b ? 0 。 (Ⅰ)求角 A 的大小;
π (Ⅱ)当 A 为锐角时,求函数 y ? 3 sin B ? sin(C ? ) 的最大值。 6 [根据浙江省温州市 2013 届高三第一次适应性测试数学(文)试题第 18 题改编]

19.(本题 14 分)已知各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a 2 ? a 4 ? a 6 , (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an 和前 n 项和 Sn ;

2 1 1 ? ? 。 a3 a 4 a5

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,求所有的正整数 k ,使得对任

Tn ? 1 恒成立。 4 [根据 2013 年 2 月海宁市高三期初测试试题卷(文科数学)第 19 题改编]
意的 n∈N*,不等式 S n? k ?

20.(本题 14 分) 如图所示, ABCD 是边长为 a 的正方形, ?PBA 是以角 B 为直角的等 腰三角形, H 为 BD 上一点,且 AH ? 平面 PDB 。 C (Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 APB ; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 PDB 所成角的余弦值。 [根据 2013 届浙江温州 22 中文科一模预测试题一第 20 题改编] D

H
B

P

A
第 20 题

21.(本题 15 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? ln x (Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性;
2

(Ⅱ)若对任意 a ? (?4,?2) 及 x ? [1,3] ,恒有 ma ? f ?x ? ? a 2 成立,求实数 m 的取值集合。 [根据山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试数学(文科)第 21 题改编]

22.(本题 15 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点(2,1) , (Ⅰ)求抛物线的标准方程;
2 2 (Ⅱ)与圆 x ? ( y ? 1) ? 1相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N ,

若抛物线上一点 C 满足 OC ? ?(OM ? ON) (? ? 0) ,求 ? 的取值范围。 [浙江省丽水市 2013 届高三高考第一次模拟测试第 22 题]

2013 年高考模拟试卷

数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 题号 选项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D

A

D

A

A

C

B

A

D

B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. ? 14. 17.

1 3 ? i 2 2
22 ③

12.

72

13.

3 5

15. 23

16.-1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题 14 分)本题主要考查正、余弦定理及三角函数的性质等基础知识,同时考查运算 求解能力。 解: (Ⅰ) 2a sin B ? 3b ? 0 由正弦定理, 得: 2sin A ? sin B ? 3 sin B , sin B ? 0 ???????3 分 所以 sin A ?

3 , 2

???????5 分

所以, A ?

?
3

或A?

(Ⅱ)? A ?

?
3

2? 3

???????7 分 得: 0 ? B ?

2 ?B ?C ? ? 3

? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) 6 2 ? ??????12 分 ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) 6 2? ? ? 5? ? 1 ? B ? (0, ), B ? ? ( , ),? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 6 6 6 2
所以,所求函数的最大值为 2 ??????14 分

?

?

2? 3

???????9 分

19. (本题 14 分)本题主要考查等比数列的通项公式及等差、等比数列的求和公式、不等式 等基础知识,同时考查运算求解能力。 解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的首项为 a1 (a1 ? 0) ,公比为 q ( q ? 0) ,

? a1 q ? a1 q 3 ? a1 q 5 ? 1 1 , 则由条件得 ? 2 ? ? ?a q 2 a q3 a q 4 1 1 ? 1
解得 a1 ? q ?

?????? 3 分

1 1 ,则 an ? n ………… 5 分 2 2 a (1 - qn ) 1 由等比数列前 n 项和公式得 S n = 1 = 1 - n ??????7 分 1- q 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n =
a1(1 - qn ) 1 = 1- n 1- q 2

1 又 Tn ? ( ) 2

n ( n ?1) 2

??????10 分

若存在正整数 k ,使得不等式 S n? k ? 则1?
1 2n ? k 1 ?( ) 2
n ( n ?1) ?2 2

Tn ? 1 对任意的 n∈N*都成立, 4

? 1 ,即 k ?

n(n ? 1) ? 2 ,正整数 k 只有取 k ? 1 ??????14 分 2

20. (本题 14 分)本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考 查空间想象能力和推理论证能力。 解:(Ⅰ) ? AH ? 平面 PBD, PB ? 平面 PBD , ? AH ? PB , 又 PB ? AB, AH ? AB ? A , ????3 分

C
D H
B P

? PB ? 平面 ABCD , ???????6 分 而 PB ? 平面 ABCD , 平面 ABCD ? 平面 APB .?????7 分 ? (Ⅱ)连结 CH ? ABCD 是正方形且 AH ? BD ,

?C, H , A 三点共线,且 H 为 AC , BD 的中点,
由 AH ? 平面 PBD 知 CH ? 平面 PBD ,??????9 分 ? PH 就是 PC 在平面 PBD 内的射影, ??CPH 就是直线 PC 与平面 PBD 所成的角. ?????10 分

A
第 20 题

2 6 a, PH ? a ,?????12 分 2 2 CH 3 ??CPH ? 300 ???????13 分 ? tan ?CPH ? ? PH 3 3 3 即直线 PC 与平面 PDB 所成角的余弦值为 ???14 分 ? cos ?CPH ? 2 2
在 Rt ?CHP 中, CH ? 21. (本题 15 分)本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质及导数应用等基础知识, 同时考查计算能力。

1 2ax2 ? 1 ? ( x ? 0) …………………2 分 x x ①当 a ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0,??) 上是增函数;………………4 分
解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2ax ?

1 1 ) 上是增函数; 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0, ? 2a 2a 1 1 ,??) 上是减函数 ………………6 分 当x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 ( ? 2a 2a 1 ) 上是增函 综上,当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上是增函数;当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ? 2a 1 ,??) 上是减函数. ………………7 分 数, f (x) 在 ( ? 2a 1 (Ⅱ)由题意知对任意 a ? ?? 4,?2? 及 x ? ? ,3? 时, 2 恒有 ma ? f ?x ? ? a 成立,等价于 ma ? a 2 ? f ?x?max
②当 a ? 0 时,当 0 ? x ?

?

因为 a ? ?? 4,?2? ,所以

2 1 1 ? ? ? ?1 4 2a 2 由(Ⅰ)知:当 a ? ?? 4,?2? 时, f (x) 在 ?1,3?上是减函数 所以 f ( x) max ? f (1) ? 2a …………………11 分 2 所以 m a ? a ? 2a ,即 m ? a ? 2 因为 a ? ?? 4,?2? ,所以 ? 2 ? a ? 2 ? 0 …………………13 分 所以实数 m 的取值集合为{m | m ? 2} ……………………15 分
22. (本题 15 分)本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系,同时考查解析 几何的基本思想方法和运算求解能力。 解:(Ⅰ) 设抛物线方程为 x ? 2 py ,由已知得: 2 ? 2 p 所以 p ? 2
2 2

所以抛物线的标准方程为 x ? 4 y (Ⅱ) 因为直线与圆相切,
2

……………5 分

所以

t ?1 1? k
2

2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t

……………7 分

2 把直线方程代入抛物线方程并整理得: x ? 4kx ? 4t ? 0

由 ? ? 16k ? 16t ? 16(t ? 2t ) ? 16t ? 0
2

得 t ? 0 或 t ? ?3 ……………8 分 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

则 x1 ? x2 ? 4k

y1 ? y2 ? (kx1 ? t ) ? (kx2 ? t ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ? 4k 2 ? 2t
由 OC ? ? ( OM ? ON) ? ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? (4k? , (4k 2 ? 2t )? ) ……………10 分 得 C(4k? , (4k 2 ? 2t ) ? ) 所以 因为点 C 在抛物线 x 2 ? 4 y 上,

16k 2 ?2 ? 4(4k 2 ? 2t ) ? t t 1 ?? ? 1? 2 ? 1? 2 ? 1? ……………13 分 2t ? 4 2k 2t ? 4t 因为 t ? 0 或 t ? ?3 ,所以 2t ? 4 ? 4 或 2t ? 4 ? ?2 1 5 所以 ? 的取值范围为 ( , 1) ? (1, ) …………… 15 分 2 4


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