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§3计算导数

时间:2015-01-11


§3 计算导数
一、教学目标: 掌握初等函数的求导公式; 二、教学重难点: 用定义推导常见函数的导数公式. 一、复习 1、导数的定义;2、导数的几何意义;3、导函数的定义;4、求函数的导数的流程图。 (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x ?y / (

3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim ?x ?0 ?x
(2)求平均变化率 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 2 3 (1) 、y=x (2) 、y=x (3) 、y=x 问题: y ? x ?1 , y ? x ?2 , y ? x ?3 呢? 问题:从对上面几个幂函数求导,我们能发现有什么规律吗? 二、新授 1、基本初等函数的求导公式: ⑴ ⑶ ⑸

(kx ? b)? ? k (k,b 为常数) ( x)? ? 1

⑵ ⑷ ⑹

(C )? ? 0 (C 为常数)

( x2 )? ? 2 x
1 1 ( )? ? ? 2 x x

( x3 )? ? 3x2
( x )? ? 1 2 x



由⑶~⑹你能发现什么规律?

⑻ ⑼ ⑽ ⑾

( x? )? ? ? x? ?1

( ? 为常数)

(a x )? ? a x ln a (a ? 0,a ? 1)
1 1 log a e ? (a ? 0,且a ? 1) x xlna 1 ⒀ (sinx)? ? cosx (ex )? ? e x ⑿ (lnx )? ? x (log a x)? ?



(cosx)? ? -sinx

从上面这一组公式来看,我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以 了。 例 1、求下列函数导数。 (1) y ? x
?5

(2) y ? 4

x

(3) y ?

x x x

(4) y ? log3 x

(5)y=sin(

? +x) 2

(6) y=sin

? 3

(7)y=cos(2π -x)

(8)y= f ?(1)

例 2:已知点 P 在函数 y=cosx 上, (0≤x≤2π ) ,在 P 处的切线斜率大于 0,求点 P 的横坐 标的取值范围。 例 3.若直线 y ? ? x ? b 为函数 y ?
2

1 图象的切线,求 b 的值和切点坐标. x

变式 1.求曲线 y=x 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题:找切点 求导数 得斜率 2 变式 2:求曲线 y=x 过点(0,-1)的切线方程 3 变式 3:求曲线 y=x 过点(1,1)的切线方程 变式 4:已知直线 y ? x ? 1 ,点 P 为 y=x 上任意一点,求 P 在什么位置时到直线距离最短.
2

练习 求下列函数的导数: ⑴ y=x ; 例 2.已知曲线 y
5

⑵ y=x ;

6

1 (3) y ? 3 ; x

x2 (4) y ? x . (5) y ? x
3

,B(2,2) 。 ? x 2 上有两点 A(1,1)

求: (1)割线 AB 的斜率; (2)在[1,1+△x]内的平均变化率; (3)点 A 处的切线的斜率; (4)点 A 处的切线方程 三、小结 (1)基本初等函数公式的求导公式(2)公式的应用.


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