nbhkdz.com冰点文库

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

时间:2013-06-07


高中数学必修五

第一章

解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c 3、三角形中的基本关系:sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

sin

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2

4、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外 接圆的半径,则有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

5、正弦定理的变形公式: ①化角为边: a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ;④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
②化边为角: sin ? ? 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要 注意解的情况(一解、两解、三解)) 7、 余弦定理: ??? C 中, a ? b ? c ? 2bc cos ? 等, 在 有 变形: cos ? ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 等, 2bc

8、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角) 9、三角形面积公式:

abc r ( a ? b ? c ) 1 1 1 S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? .=2R2sinAsinBsinC= = = 4R 2 2 2 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)
10、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一 成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ? b ? c , C ? 90 ; 则 ②若 a ? b ? c , C ? 90 ; 则 ③若 a ? b ? c , C ? 90 . 则
2 2 2 ? 2 2 2 ? 2 2 2 ?

11、三角形的四心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为 2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 12 同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系:sin?α +cos?α =1 (2)倒数关系:tanα ·cotα =1 (3)商的关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

特殊角的三角函数值

?
三角 函数值

0?
0 1 0

30 ?
1 2

45 ?
2 2 2 2

60 ?

90 ?
1 0 不存在

sin ?

3 2
1 2

cos?

3 2 3 3

tan ?



3

k 三角函数诱导公式: ( ? ? ? )”记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” “ ,是指 2 k ( ? ?? ) ,k∈Z 的三角函数值,当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦(正切,余切;正 2
割、余割也同样); 当 k 为偶数时,函数名不变。然后符号与 ‘将α 看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。

三角函数的图像与性质:

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-5? -3? 2 -4? -7? 2 -2? -3? 2 -? -

y
? 2

1 o -1
y
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

R

2?

2?

?

奇函数
[?

偶函数
[?2k ? 1? , ? ;上为增函 2k? ]

奇函数

?
2

? 2k? ,

?
2

上为增

? 2k? ]



[2k? ,

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 上为增函数( k ? Z ) 2 2 ? ?

?2k ? 1?? ]

单调性

[ ? 2k? , 函数; 2 上 3? ? 2k? ] 2

?

上为减函数 (k?Z )

为减函数( k ? Z )

(其中A ? 0,? ? 0) 有关函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
最大值是 A ? B , 最小值是 B ? A , 周期是 T ? 初相是 ? ; 其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

2?

?

, 频率是 f ?

? , 相位是 ?x ? ? , 2?

?
2

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交点都

是该图象的对称中心。 函数 y=sin(ω x+ ? )的图象与函数 y=sinx 的图象的关系: 由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径, 只有区别开这两个 途径,才能灵活进行图象变换。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点的横 坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 (先相位变换,再周期变换)

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 右( ? <0=平移

1

|? |

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)或向

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 (先周期变换,再相位变换)

对称轴与对称中心:

y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) 2
y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k?
y=tan x 图像的对称中心是(

k ?Z ;

? ? ,0) ; 2

k? 2

,0) ,无对称轴。

★诱导公式★(以下 k∈Z)

公式一:设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα sin(π+α)=-sinα sin(-α)=-sinα sin(π-α)=sinα sin(2π-α)=-sinα sin(π/2+α)=cosα cot(π/2+α)=-tanα tan(π/2-α)=cotα cos(3π/2+α)=sinα sin(3π/2-α)=-cosα cot(3π/2-α)=tanα cos(π+α)=-cosα cos(-α)=cosα cos(π-α)=-cosα cos(2π-α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα sin(π/2-α)=cosα cot(π/2-α)=tanα tan(3π/2+α)=-cotα cos(3π/2-α)=-sinα tan(2kπ+α)=tanα tan(π+α)=tanα tan(-α)=-tanα tan(π-α)=-tanα tan(2π-α)=-tanα tan(π/2+α)=-cotα cos(π/2-α)=sinα sin(3π/2+α)=-cosα cot(3π/2+α)=-tanα tan(3π/2-α)=cotα 公式二:设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: 公式四:利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: 公式五:利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: 公式六:π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:

同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式 商的关系:sinα/cosα=tanα 平方关系:sin 2 α+cos 2 α=1

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角公式
sin2α=2sinαcosα

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sin 2 (α/2)=(1-cosα)/2 cos 2 (α/2)=(1+cosα)/2 tan 2 (α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 另也有 tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

万能公式

万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2 (α/2)] cosα=[1-tan 2 (α/2)]/[1+tan 2 (α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2 (α/2)]

三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin 3 α cos3α=4cos 3 α-3cosα tan3α=(3tanα-tan 3 α)/(1-3tan 2 α)

和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosα ·sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosα ·cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinα ·sinβ=—[cos(α+β)-cos(α-β)]/2


赞助商链接

三角函数 三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

三角函数 三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科_高一数学_数学_高中教育_教育...(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用...

三角函数及解三角形知识点

两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A...解三角形知识点归纳(附三... 5页 2下载券 喜欢此文档的还喜欢 三角...

最全解三角形知识点总结

最全解三角形知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。最全面的解三角形...常用的技巧有: ①三角函数的诱导公式、和(差)角公式、倍角公式及图像。 ②换...

解三角形知识点归纳

解三角形知识点归纳_数学_高中教育_教育专区。解三角形知识点归纳一 正弦定理 ...(3)面积公式:S= abc 1 absinC= =2R2sinAsinBsinC 4R 2 (4)三角函数的...

三角函数及解三角形知识点

三角函数及解三角形知识点_高三数学_数学_高中教育_教育专区。 ...解三角形知识点归纳(附三... 5页 1下载券 喜欢此文档的还喜欢 三角...

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1_数学_高中...(锐角三角函数定义) sinA=cosB= 2 2 2 a b a...除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形...

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题_数学_高中教育...(锐角三角函数定义) sinA=cosB= 2 2 2 a b a...除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形...

三角函数与解三角形知识点复习表

三角函数解三角形知识点复习表_数学_高中教育_教育...公式 导出 公式 基本 三 思想 角形实际应用常用...两边一角(一角为夹角时直接使用、一角为一边对角...

三角函数及解直角三角形知识点总结

三角函数及解直角三角形知识点总结 Ⅰ、本章知识结构框图: 1、正弦、余弦、正切、余切的概念 在是三角形ABC中,∠C=90°,(1) 锐角A的对边与斜边的比...

高考三角函数知识点总结

高考三角函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。三角...? 3.弧长及扇形面积公式 1 弧长公式:l ? ? .r...13.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三...