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天津市十二区县重点学校2015届高三毕业班联考(一)数学(理)试题

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2015 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一) 数 学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 参考公式: ·如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 柱体的体积公式 V ? Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. (2 ? i) ? 5 ,则 z = 1.设复数 z 满足 ( z ? 2i)

A. 3 ? 2i

B. 3 ? 2i

C. 2 ? 3i

D.

2 ? 3i

?x ? y ?1 ? 0 ? 2.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 0 ? A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 2
5 , 则输入的 N 的值 6
D. 7

3.若按右侧算法流程图运行后, 输出的结果是 可以等于 A. 4 B. 5 C.

6

4.一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形. 则该四棱锥的体积等于 A. 8 3 B. 16 3 C. 24 3 D. 48 3

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离 a 2 b2 为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (?1, ?2) ,则双曲线的焦距为
5.已知双曲线 A. 6 5 B. 3 5 C. 6 3
*

D. 3 3

6.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且对于任意的 n ? N 都有 an?1 ? a1 ? an ? n, 则 A.

1 1 1 等于 ? ?? ? a1 a2 a2015

4028 2015

B.

2014 2015

C.

4030 2016

D.

2015 2016

7.已知以下 4 个命题: ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 ②若 p:?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0
2 2

③设 a, b ? R ,则 a ? b 是 (a ?1 ) a ? (b ?1) b 成立的充分不必要条件

④若关于实数 x 的不等式 1 ? 2x ? 1 ? 3x ? a x 无解,则实数 a 的取值范围是 ?? ?,5? . 其中,正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C.

3

D. 4

8.定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? ?2 ,当 x ? (0.2] 时,

? x 2 ? x x ? (0,1) 7t ? 2 ? f ( x) ? 3 ? t 恒成立,则实数 t 的取值范围是 ,若 x ? (0, 4] 时, t ? f ( x) ? ? 1 2 x ? ?1, 2? ? ?x ? 5? ? 5? A. ?1,2? B. ?2, ? C. ?1, ? D. ?2,??? ? 2? ? 2?

2015 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一) 数 学(理)
第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 某 中 学 有 高 中 生 3500 人 ,初 中 生 1500 人 ,为 了 解 学 生 的 学 习 情 况 ,用 分 层 抽 样 的 方 法 从 该 校 学 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 n 的 样 本 , 若 从 初 中 生 中 抽 取 了 30 人 , 则 n 的 值 等 于 . 10. 已知 a ?

? (2 ? 2 x)dx ,在二项式 ( x
0

1

2

a ? ) 5 的展开式中,含 x 的项的系数为 x

.

11. 已知 ?ABC 中, AB ? 1 , sin A ? sin B ? 2 sin C ,

S ?ABC ?

3 sin C ,则 cos C ? _____ . 16

12. 如图, ?ABC 是圆 O 的内接三角形, PA 是圆 O 的切线, A 为切点,

PB 交 AC 于点 E ,交圆 O 于点 D ,若 PE ? PA , ?ABC ? 60? , 且 PD ? 2 , BD ? 6 ,则 AC =______.
13.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲 线 M 的极坐标方程为

2 ? cos(? ?

?
4

) ? 1 , 曲线 N 的参数方程为

{

x ?4t 2 y ?4t
.

( t 为参数). 若曲线 M 与 N 相交于 A, B 两点,则线段 AB 的长等于

? 14. 已知 O 为 ?ABC 的外心, AB ? 2a, AC ? , ?BAC ? 120 , 若 AO ? xAB ? yAC ,

则 3x ? 6 y 的最小值为

2 a

??? ?

??? ?

??? ?



三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x( 3sin x ? cos x) ? 2 ( Ⅰ ) 求函数 f ( x ) 的最小正周期与单调递减区间; ( Ⅱ ) 求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

16. (本小题满分 13 分) 某银行招聘,设置了 A 、 B 、 C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘,经抽签决定甲、乙两人 各自独立参加 A 组测试, 丙独自参加 B 组测试, 丁、 戊两人各自独立参加 C 组测试. 若甲、乙两人各自通过 A 组 测试的概率均为

2 1 ;丙通过 B 组测试的概率为 ;而 C 组共设 6 道测试题,每个人必须且只能从中任选 4 题作 3 2

答,至少答对 3 题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这 6 道测试题中 4 道题. (Ⅰ)求丁、戊都竞聘成功的概率. (Ⅱ)记 A 、 B 两组通过测试的总人数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.

17. (本小题满分 13 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC ,

BC ? AC, BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB1 / /平面BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得

CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.
18. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A , B ,右焦点为 a 2 b2 F (c, 0) ,直线 l 是椭圆 C 在点 B 处的切线. 设点 P 是椭圆 C 上异于 A , B 的动点,
已知椭圆 C : 直线 AP 与直线 l 的交点为 D ,且当 | BD |? 2 2c 时, ?AFD 是等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设椭圆 C 的长轴长等于 4 ,当点 P 运动时,试判 断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明.
O

y P

D E

A

F

B

x

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {bn } , {cn } ,已知 b1 ? 3 , c1 ? 5 , bn ?1 ? (Ⅰ)设 an ? cn ? bn ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证:对任意 n ? N , bn ? cn 为定值;
*
* (Ⅲ)设 Sn 为数列 {cn } 的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] ,求实数 p 的取值范围.

cn ? 4 b ?4 * , c n ?1 ? n (n?N ) . 2 2

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点为 M , f ( x ) 在 M 处的
2

切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行. (Ⅰ)求函数 T ( x) ? xf ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值;

(Ⅲ)令 F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? , ? , 存在实数 m 满足: ? ? mx 1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不等式

| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2015 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一) 数学理科参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分 题号 1 2 3 4 答案 C D B A 二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分. 9.100 ; 10. ?10 ; 11. 5 A 6 C 7 B 8 A

1 ; 3

12. 6 ;

13.8;

14. 6 ? 2 2

三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分)已知函数 f ( x) ? 2cos x( 3sin x ? cos x) ? 2 ( Ⅰ ) 求函数 f ( x ) 的最小正周期与单调递减区间; ( Ⅱ ) 求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.
……1 分

15. (本小题满分 13 分)解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2

…………2 分 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? ? 2 sin(2 x ? ) ? 3 …………4 分 6 2? ?? ∴ f ( x ) 的最小正周期 T ? ……………5 分 2 ? ? 3? ? 2? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k ? ? ,k ?Z 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 6 2 6 3 ? 2? ], k ? Z ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 [ k? ? , k? ? ……………7 分 6 3 ? ? ? 7? (Ⅱ)由 x ? [0, ] 得 ? 2 x ? ? ………9 分 2 6 6 6 1 ?? ? 故 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ………11 分 2 6? ? 所以 2 ? f ( x) ? 5 ………12 分 因此, f ( x ) 的最大为 5 , 最小值是 2 ……13 分 ? ? ? 解法二: f ( x) 在区间 [0, ] 上单调递增; 在区间 [ , ] 上单调递减………11 分 6 6 2 ? ? 又 f (0) ? 4, f ( ) ? 5, f ( ) ? 2 6 2 所以 f ( x ) 的最大为 5 , 最小值是 2 ………13 分

16. (本小题满分 13 分) 某银行招聘,设置了 A 、 B 、 C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘,经抽签决定甲、乙两人各自 独立参加 A 组测试,丙独自参加 B 组测试,丁、戊两人各自独立参加 C 组测试.若甲、乙两人各自通过 A 组测 试的概率均为

2 1 ;丙通过 B 组测试的概率为 ;而 C 组共设 6 道测试题,每个人必须且只能从中任选 4 题作答, 3 2

至少 答对 3 题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这 6 道测试题中 4 道题. (Ⅰ)求丁、戊都竞聘成功的概率. (Ⅱ)记 A 、 B 两组通过测试的总人数为 ? ,求 ? 的分布列和期望. 16.解: (Ⅰ)设参加 C 组测试的每个人竞聘成功为 A 事件,则

P ? A? =

4 3 1 C4 +C4 C2 1+8 3 = = 4 15 5 C6

…………3 分

故丁、戊都竞聘成功的概率等于 ? (Ⅱ) ? 可取 0,1,2,3,

3 3 9 ? 5 5 25

…………5 分 …………6 分

1 2 1 P ?? ? 0 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) 2 ? , 2 3 18 2 1 1 2 1 5 P ?? ? 1? ? (2 ? ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) 2 ? ? , 3 3 2 3 2 18 2 1 1 2 2 1 8 P ?? ? 2 ? ? (2 ? ? ) ? ? ( ) ? (1 ? ) ? , 3 3 2 3 2 18 2 1 4 (每个结果各 1 分) …………10 分 P ?? ? 3? ? ( ) 2 ? ? , 3 2 18 故 ? 的分布列为: 1 2 3 ? 0 1 5 8 4 P 18 18 18 18
…………11 分

1 5 8 4 33 所以 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 18 18 18 18 18
B1

…………13 分

z

17. (本小题满分 13 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC , BC ? AC, BC ? AC ? 2 ,

B

AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证: AB1 // 面BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得 CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.

C C1 D

y
A

x

A1

17.(本小题满分 13 分) 解法一: (Ⅰ)证明:依题可建立如图的空间直角坐标系 C1 ? xyz ,………1 分 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) ,B1(0,0,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0) , ? 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是面 BDC1 的一个法向量,则 ………2 分

? ???? ?n ? C1 B ? 0, ?3 y1 ? 2 z1 ? 0, ? 1 1 ? ? ? ? ???? 即? ,取 n ? (1, ? , ) . …………4 分 n ? C D ? 0 x ? 3 y ? 0 ? ? 1 ? 1 1 3 2 ???? ???? ? ???? ? 又 AB1 ? (?2, ?3,2) ,所以 AB1 ? m ? ?2 ? 1? 1 ? 0 ,即 AB1 ? m ∵AB1 ? 面 BDC1,∴AB1//面 BDC1. …………6 分 ???? ? (Ⅱ)易知 C1C ? (0,3,0) 是面 ABC 的一个法向量. …………7 分 ???? ? ? ? n? C1C 2 ? ???? cos n, C1C ? ? ???? ? ?? . …………8 分 7 n ? C1C
∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为

2 . 7

…………9 分

(Ⅲ)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1. 设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP ? (2, y ? 3,0) , …………10 分

??? ?

??? ? ???? ?CP? C1 B ? 0, ? ? 3( y ? 3) ? 0, ? ???? ? 则 ? ??? ,即 ? . C1 D ? 0 ? ? CP? ?2 ? 3( y ? 3) ? 0 ? y ? 3, ? 7 ? 解之 ? y ? ∴方程组无解. 3 ?

…………11 分

…………12 分

∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1. …………13 分 解法二: (Ⅰ)证明:连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD. ∵BCC1B1 是矩形,∴O 是 B1C 的中点. …………1 分 又 D 是 AC 的中点,∴OD//AB1. …………2 分 ∵AB1 ? 面 BDC1,OD ? 面 BDC1,∴AB1//面 BDC1. …………4 分 (Ⅱ)解 C1B ? (0,3, 2) , C1D ? (1,3,0) ,

????

???? ?

? 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是面 BDC1 的一个法向量,则 ? ???? ? C1 B ? 0, ?3 y1 ? 2 z1 ? 0, ?n ? 1 1 ? ? ? ? ???? 即? ,取 n ? (1, ? , ) . …………6 分 n ? C D ? 0 x ? 3 y ? 0 ? ? 1 ? 1 1 3 2 ???? ? 易知 C1C ? (0,3,0) 是面 ABC 的一个法向量. …………7 分 ???? ? ? ? n? C1C 2 ? ???? cos n, C1C ? ? ???? ? ?? . …………8 分 7 n ? C1C
∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为

………5 分

2 . 7

…………9 分

(Ⅲ)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1.

??? ? ???? ?CP? C1 B ? 0, ? ? 3( y ? 3) ? 0, ? ???? ? 则 ? ??? ,即 ? . C1 D ? 0 ? ? CP? ?2 ? 3( y ? 3) ? 0 ? y ? 3, ? 7 ? 解之 ? y ? ∴方程组无解. 3 ?
∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1.

设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP ? (2, y ? 3,0) , …………10 分 …………11 分

??? ?

…………12 分 …………13 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A , B ,右焦点为 F (c, 0) , a 2 b2 直线 l 是椭圆 C 在点 B 处的切线. 设点 P 是椭圆 C 上异于 A , B 的动点,直线 AP 与直线 l 的交点为 D ,且 当 | BD |? 2 2c 时, ?AFD 是等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) 设椭圆 C 的长轴长等于 4 , 当点 P 运动时, 试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系, 并加以证明.
18. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题可知 A(?a, 0) 、 D a, 2 2c , 由 | AF |?| FD | ,得, a ? c ? 化简得 a ? 2c ? e ?

?

?

………1 分

y P

D E

?a ? c?

2

? 8c 2 , ………2 分
………3 分 ………4 分
A O

c 1 ? , a 2 1 故椭圆 C 的离心率是 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)及椭圆 C 的长轴长等于 4 得,

F

B

x

x2 y 2 ? ? 1 ,且 A?? 2,0?, B?2,0? , 4 3 在点 B 处的切线方程为 x ? 2 . 以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .
椭圆 C 的方程为 由?

……5 分

? y ? k ( x ? 2), 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 .…………………7 分 ? x2 y2 ? ?1 ? 3 ?4

设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ? 所以 x0 ?

16k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2

12k 6 ? 8k 2 , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . …………………9 分 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 因为点 F 坐标为 (1, 0) , 1 3 (1)当 k ? ? 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,直线 PF 的方程 为 x ? 1 , 2 2 2 2 点 D 的坐标为 (2, ? 2) .此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 与直线 PF 相切…10 分 1 y0 4k (2)当 k ? ? 时,直线 PF 的斜率 k PF ? . ? 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2 4k 1 ? 4k 2 ( x ? 1) x ? y ?1 ? 0 . , 即 1 ? 4k 2 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 |2? ? 2k ? 1| 4k 2 ? ?| 2k | ………12 分 故点 E 到直线 PF 的距离 d ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 1? ( ) ( ) 4k 4k 4k 4k x? y? ?0, (算法二: 或直线 PF 的方程为 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 8k 4k 2k ? 8k 3 ? 2 k ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 故点 E 到直线 PF 的距离 d ? ? ? 2 | k | …12 分) 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 | 1 ? 4k 2 | (1 ? 4k 2 )2
所以直线 PF 的方程为 y ? 又因为 BD ? 2R ? 4 k ,故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.……13 分 解法二: 由(Ⅰ)及椭圆 C 的长轴长等于 4 得,

x2 y 2 ? ? 1 ,且 A?? 2,0?, B?2,0? , 4 3 在点 B 处的切线方程为 x ? 2 . 以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. ……5 分 x2 y 2 证明如下: 设点 P( x? , y? ) ,则 ? ? ? ? 1( y? ? 0) 4 3 3 (1)当 x? ? 1 时,点点 P 的坐标为 (1, ? ) ,直线 PF 的方程为 x ? 1 , ……6 分 2 2 2 点 D 的坐标为 (2, ? 2) .此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 与直线 PF 相切…7 分 y? (2)当 x? ? 1时直线 AP 的方程为 y ? …8 分 ( x ? 2) , x? ? 2 4 y? 2 y? 2 y? ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, ) ,故 | BE |?| | …9 分 点的坐标为 (2, x? ? 2 x? ? 2 x? ? 2
椭圆 C 的方程为

y? , x? ? 1 y? x ?1 故直线 PF 的方程为 y ? ( x ? 1) ,即 x ? ? y ? 1 ? 0 ,………10 分 y? x? ? 1 x ? 1 2 y? |2? ? ? ? 1| y? x? ? 2 2 y? 所以点 E 到直线 PF 的距离 d ? ?| |?| BE | ………12 分 x? ? 2 x? ? 1 2 1? ( ) y? 故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.………13 分
直线 PF 的斜率为 k PF ?

bn ?1 ? 19. (本小题满分 14 分) 设数列 {bn } , 已知 b1 ? 3 , c1 ? 5 , {cn} ,
设 an ? cn ? bn ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证:对任意 n ? N , bn ? cn 为定值;
*

cn ? 4 b ?4 * c n ?1 ? n , (n?N ) . (Ⅰ) 2 2

* (Ⅲ)设 Sn 为数列 {cn } 的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] ,求实数 p 的取值范围.

4 ? cn cn b ? ? 2 , c n ?1 ? n ? 2 , 2 2 2 1 1 1 cn ?1 ? bn ?1 ? (bn ? cn ) ? ? (cn ? bn ) ,即 an ?1 ? ? an , ……………………2 分 2 2 2 1 又 a1 ? c1 ? b1 ? 2 ? 0 , 故数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 ? 的等比数列, 2
19. (本小题满分 14 分)解: (Ⅰ)所以 bn ?1 ? 所以 an ? 2 ? ? ?

? 1? ? ? 2?

n ?1



…………………………………………………4 分

1 (bn ? cn ) ? 4 , 2 b ? cn 1 ? 4 ? (bn ? cn ? 8) ,………………………………6 分 所以 bn ?1 ? cn ?1 ? 8 ? n 2 2 * 而 b1 ? c1 ? 8 ? 0 ,所以由上述递推关系可得,当 n ? N 时, bn ? cn ? 8 ? 0 恒成立,
(Ⅱ)解: bn ?1 ? cn ?1 ? 即 an ? bn 恒为定值 8. ……………………8 分

?bn ? cn ? 8 , n ?1 ? ? 1? n ?1 (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)知 ? ,所以 cn ? 4 ? ? ? ? ,…9 分 ? 1? c ? b ? 2 ? ? ? ? ? 2? ? n n ? 2? ?

? 1? 1? ?? ? n ? 2 ? ? 4n ? 2 ?1 ? ? ? 1 ? ? , 所以 S n ? 4n ? ? ? ? ? 3? ? 1? ? ? 2? ? ? 1? ?? ? ? 2? n 2p ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 所以 p ? ( S n ? 4n) ? 3 ? ? ? 2? ? ?
由 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] 得 1 ?
n 2p ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 2? ? ?

n

……………10 分

? 1? 因为 1 ? ? ? ? ? 0 ,所以 ? 2?

n

1
n

? 1? ? 1? 1? ?? ? 1? ?? ? ? 2? ? 2? 1 1 1 当 n 为奇数时, 随 n 的增大而增大,且 0 ? ? ? 1, n n n ? 1? ?1? ? 1? 1? ?? ? 1? ? ? 1? ?? ? ? 2? ?2? ? 2? 1 1 1 当 n 为偶数时, 随 n 的增大而减小,且 ? ? 1, n n n ? 1? ?1? ? 1? 1? ?? ? 1? ? ? 1? ?? ? ? 2? ?2? ? 2? 4 1 3 所以, 的最大值为 , 的最小值为 2 .……………13 分 n n 3 ? 1? ? 1? 1? ?? ? 1? ?? ? ? 2? ? 2? 4 2p 1 2p 3 ? 2 ,解得 2 ? p ? 3 . 由 ,得 ? ? ? n n 3 3 3 ? 1? ? 1? 1? ?? ? 1? ?? ? ? 2? ? 2? 所以,所求实数 p 的取值范围是 [2 , 3] .……………………………………14 分

?

2p ? 3

3
n

, ………………11 分

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处
2

的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行. (Ⅰ)求函数 T ( x) ? xf ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值; (Ⅲ)令 F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,存在实数 m 满足:

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ,? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不等式 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.
20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:点 M (a, 0) , f '( x) ? 2 x ? a ,由题意可得 f ? ? a ? ? 1 ,故 a ? 1 ,……1 分
2 3 2 ∴ f ( x) ? x ? x, T ? x ? ? x ? x , T ? ? x ? ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ……………2 分
2

2 3

令 T ? ? x ? ? 0 ,得 T ( x) 的增区间是 ( ??, 0), ( , ??) ; 令 T ? ? x ? ? 0 ,得 T ( x) 的减区间是 (0, ) ;

2 3

………………3 分

2 ……………4 分 3 (Ⅱ)解法一:令 u ? h( x) ? xg ( x) ? t , ( x ??1, e? ) , 则 h?( x) ? ( x ln x ? t )? ? ln x ? 1 ? 0 , …………………………5 分

∴ h( x) 在 ?1, e? 单调递增,故当 x ??1, e? 时, t ? u ? e ? t

……………6 分

因为 f ( x) ? x( x ? 1) 在 (??, 0.5) 上单调递减,在 (0.5, ??) 上单调递增, 故可分以下种情形讨论 (1)当 e ? t ? 0.5 即 t ? 0.5 ? e 时 f (u ) 在 [t , e ? t ] 上单减, 所以 f (u ) 的最小值是 f (e ? t ) ? (e ? t )2 ? (e ? t ) ………………7 分 (2)当 t ? 0.5 ? e ? t 即 0.5 ? e ? t ? 0.5 时 f (u ) 的最小值是 f (0.5) ? ?0.25 ,…8 分 (3)当 t ? 0.5 时 f (u ) 在 [t , e ? t ] 上单增, 所以 f (u ) 的最小值是 f (t ) ? t 2 ? t ………9 分

解法二: y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ]2 ? ( x ln x+t ) = ( x ln x)2 ? (2t ?1)( x ln x) ? t 2 ? t …5 分 令 u ? x ln x ,在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴ u ? x ln x 在 ?1, e? 单调递增, 0 ? u ? e,

……………6 分

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
①当 u ?

1 ? 2t 1 ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u?0 ? t 2 ? t ……………7 分 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e ? e 即t ? ②当 u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e2 ? (2t ?1)e ? t 2 ? t ………8 分 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ? e即 ? t ? 时, ③当 0 ? 2 2 2 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ……………9 分 ymin ? y | 1?2t ? ( ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? u? 2 2 4 2 (Ⅲ) F ( x) ? g ( x) ? g ?( x) ? ln x ? 1 , F '( x) ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? 0 得x ? 1 x x2 x2 x 所以 F ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增 ……………………10 分 ? F(1) ? 0 ,注意到 1 ? x1 ? x2 ∴ 当x ? 1 时, F(x)
①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , 得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , …………………11 分 0 ? F ( x1 ) ? F (? ) , F (? ) ? F ( x2 ) ∴ 由 f ( x) 的单调性知 从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. …………12 分 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 由 f ( x) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴ | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ………………13 分 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符.
∴综合①、②、③得 m ? (0,1) 说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分. ………………14 分


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