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高二数学选修2-1第一章常用逻辑用语


第一章

常用逻辑用语

1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题 称为互逆命题.其中一个命题称为

原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ? p ,则 ? q ”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ? q ,则 ? p ”. 6、四种命题的真假性: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系: ?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 都是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时, p ? q 是 假命题. 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、q 两个命题都是假命题时, p ? q 是假命题. 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ? p . 若 p 是真命题,则 ? p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ? p 必是真命题. 9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 10、全称命题 p : ?x ? ? , p ? x ? ,它的否定 ? p : ?x ? ? , ?p ? x ? .全称命题的否定是特称命 题.

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第一章常用逻辑用语测试题 一、 选择题(每道题只有一个答案,每道题 5 分,共 60 分) 1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中( ) A、真命题与假命题的个数相同 B 真命题的个数一定是奇数 C 真命题的个数一定是偶数 D 真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数 2、下列命题中正确的是( ) ①“若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题

③“若 m ? 0 ,则 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题 ④“若 x ? 3 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题 A、①②③④ B、①③④ C、②③④
1 1

D、①④

3、 “用反证法证明命题“如果 x ? y ,那么 x 5 ? y 5 ”时,假设的内容应该是() A、 x 5 ? y 5
1 1

B、 x 5 ? y 5

1

1

C、 x 5 ? y 5 且 x 5 ? y 5

1

1

1

1

D、 x 5 ? y 5 或 x 5 ? y 5

1

1

1

1

4、 “ a ? 1 或 b ? 2 ”是“ a ? b ? 3 ”的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要 5、设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要非充分条件,则甲是丁的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要 6、函数 f ( x) ? x | x ? a | ?b 是奇函数的充要条件是( A、 ab ? 0 B、 a ? b ? 0 C、 a ? b ) D、 a2 ? b2 ? 0

7、 “若 x ? a且x ? b ,则 x2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 ”的否命题() A、若 x ? a且x ? b ,则 x2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 B、若 x ? a或x ? b ,则 x2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 C、若 x ? a且x ? b ,则 x2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 D、若 x ? a或x ? b ,则 x2 ? (a ? b) x ? ab ? 0
1 ” 是 “直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直” 的 ( 2 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

8、 “m ?



9、命题 p :存在实数 m ,使方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有实数根,则“非 p ”形式的命题是( A、存在实数 m ,使得方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 无实根 B、不存在实数 m ,使得方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有实根 C、对任意的实数 m ,使得方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有实根
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D、至多有一个实数 m ,使得方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有实根 10.若" a ? b ? c ? d "和" a ? b ? e ? f "都是真命题,其逆命题都是假命题,则 " c ? d "是" e ? f " 的( ) A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 11.在下列结论中,正确的是( ) ① " p ? q" 为真是 " p ? q" 为真的充分不必要条件 ② " p ? q" 为假是 " p ? q" 为真的充分不必要条件 ③ " p ? q" 为真是 " ?p" 为假的必要不充分条件 ④ " ?p" 为真是 " p ? q" 为假的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 12. 设 集 合 u ? ? ?x, y? x ? R, y ? R?, A ? ??x, y? 2x ? y ? m ? 0?, B ? ??x, y? x ? y ? n ? 0? , 那 么 点
P(2,3) ? A ? ?Cu B ?的充要条件是(

) D. m ? ?1, n ? 5

A. m ? ?1, n ? 5

B. m ? ?1, n ? 5

C. m ? ?1, n ? 5

二、填空题(每道题 4 分,共 16 分) 13、判断下列命题的真假性: ①、若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根 ②、若 x ? 1, y ? 1 ,则 x ? y ? 2 的逆命题 ③、对任意的 x ?{x | ?2 ? x ? 4},| x ? 2 |? 3 的否定形式 ④、 ? ? 0 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有一正根和一负根的充要条件 14、 “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 15、若把命题“ A ? B ”看成一个复合命题,那么这个复合命题的形式是__________,构成它 的两个简单命题分别是_____________________________________。 16、用符号“ ? ”与“ ? ”表示含有量词的命题: (1)实数的平方大于等于 0___________________________________________ (2)存在一对实数,使 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 成立________________________________. 二、 解答题 17、写出下列命题的否定: (1)所有自然数的平方是正数 (2)任何实数 x 都是方程 5 x ? 12 ? 0 的根 (3)对于任意实数 x ,存在实数 y ,使 x ? y ? 0 (4)有些质数是奇数
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18、用反证法证明: 已知 a 与 b 均为有理数,且 a 和 b 都是无理数,证明 a + b 也是无理数。

19、已知命题 P : “若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实根”. (1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假, 并证明你的结论.

20、已知 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ,q: x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0?m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实 3

数 m 的取值范围。

21.已知 ab ? 0 ,求证 a ? b ? 1 的充要条件是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0

22.求实数 a 的取值范围,使得关于 x 的方程 x 2 ? 2?a ? 1?x ? 2a ? 6 ? 0. . (1) 有两个都大于 1 的实数根; (2) 至少有一个正实数根。

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参考答案 一、选择题 二、填空题 13.①.假 ②.假 ③.真 ④.假 14.否定形式:末位数是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除 否命题:末位数不是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除 15.p∨q ; 三、解答题 17、 18、证明:假设 a + b 是有理数,则( a + b ) ( a ? b )=a?b 由 a>0, b>0 ∴ a? b?
a ?b a? b

p: A=B

, q :

A B

16.

则 a + b >0
a ?b

即 a + b ?0

a? b

∵a,b?Q 且 a + b ?Q



?Q 即( a ? b )?Q

这样( a + b )+( a ? b )=2 a ?Q

从而

a ?Q (矛盾) ∴ a + b 是无理数。

19.解:(1)命题 P 的否命题为:“若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根”. (2) 命题 P 的否命题是真命题 . 证明如下 :? ac ? 0,? ?ac ? 0, ? ? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? 二次方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根. ∴该命题是真命题. 20.解:由 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10. 3

由q可得 ? x ? 1? ? m 2 ? m? 0 ?
2

所以1 ? m ? x ? 1 ? m. 所以?p : x ? 10或x ? ?2, ?p : x ? 1 ? m或x ? 1 ? m, 因为?p是?q的必要不充分条件, 所以?p ? ?q. ?1 ? m ? 10 故只需满足 ? ?1 ? m ? ?2 所以m ? 9.

21.证明:必要性:

? a ? b ? 1,即b ? 1 ? a,
3

? a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? a 3 ? ?1 ? a ? ? a?1 ? a ? ? a 2 ? ?1 ? a ? ? .... ? 0
2

充分性:? a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0

?a ? b ??a 2 ? ab ? b 2 ? ? ?a 2 ? ab ? b 2 ? ? 0 ?a 2 ? ab ? b 2 ??a ? b ? 1? ? 0.
即 又ab ? 0,即a ? 0, 且b ? 0,

b? 3b 2 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ? a ? ? ? ? 0, 只有a ? b ? 1. 2? 4 ? 综上可知,当ab ? 0, a ? b ? 1的充要条件是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0
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