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2015年1月北京市丰台区高三数学(理)期末测试卷及参考答案


2015 年 1 月北京市丰台区高三数学(理)期末测试卷 第一部分
(选择题 共 40 分)

选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x x2 ? x ? 2 ? 0}, B ? {1, 2,3} ,那么 A (A) {?1, 0,1, 2,3} (B) {?1,

0,3}

B?
(D) {1, 2}

(C) {1, 2,3}

2.已知向量 a ? (2,1) , b ? ( x, y) ,则“ x ? ?4 且 y ? ?2 ”是“ a ∥b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3.高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况,分成了两个调查小组分别对高 一学生进行抽样调查.假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理,则下列结论正确的 是 (A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等 (D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4.已知 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, b ? 于 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1 或 4
y
1

7 ,c ? 3 , B ?

?
6

,那么 a 等

5.已知函数 y ? logb ( x ? a) (b>0 且 b≠1)的图象如图所示,那么函数

y ? a? s i n b x 的图象可能是
y O -1 -2 π 2π 3π x
y 2 1 π 2π 3π

O
-1

1

2

3

4

x

O

x

(A)
y

(B)
y 2

3 2

1
1

O
O π 2π 3π x

π





x

(D) (C) 6.2014 年 11 月,北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议,出席会议的有 21 个 国家和地区的领导人或代表.其间组委会安排这 21 位领导人或代表合影留念,他们站成两排,前
第 1 页 共 11 页

排 11 人,后排 10 人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻 的两侧,如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求,那么不同的排法共有
18 (A) A18 种 2 18 (B) A2 A18 种 2 8 10 (C) A3 A18 A10 种 20 (D) A20 种

7.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图,则该三棱锥的 正视图可能是

(A)

(B)

侧视图

俯视图

(C) (D) 8.在平面直角坐标系 xOy 中,如果菱形 OABC 的边长为 2,点 B 在 y 轴上,则菱形内(不含边界) 的整点(横纵坐标都是整数的点)个数的取值集合是 (A) {1,3} (B) {0,1,3} (C) {0,1,3,4} (D) {0,1,2,3,4}

第二部分 (非选择题 共 110 分)
一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在复平面内,复数 z1 , z2 对应的点分别是 A,B(如图所示) ,则复数

z1 的值是 . z2

10.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,如果 a1=2,a3+a5=22,那么 S3 等于 . 11.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是___.

第 2 页 共 11 页

开始 a=1,b=1,S=2

y A 1 -1 O -1 1 B x
c=a+b S=S+c a= b c>5 是 输出 S 否 b= c

结束

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 12.若变量 x,y 满足条件 ? x ? y ? 0, 且 z ? x ? y 的最大值是 10,则 k 的值是 . ? y ? k, ?
13.过点 M ( 3, y0 ) 作圆 O: x 2 ? y 2 ? 1的切线,切点为 N ,如果 y0 =0 ,那么切线的斜率是 如果 ?OMN ? ;

?
6

,那么 y0 的取值范围是 .

14.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,如果存在非零常数 T ,对于任意 x ? D ,都有

f ( x ? T ) ? T ? f ( x) ,则称函数 y ? f ( x) 是“似周期函数”,非零常数 T 为函数 y ? f ( x) 的“似
周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题: ①如果“似周期函数” y ? f ( x) 的“似周期”为-1,那么它是周期为 2 的周期函数; ②函数 f ( x) ? x 是“似周期函数”; ③函数 f ( x) ? 2 是“似周期函数”;
-x

④如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数”,那么“ ? ? k? , k ? Z ”. 其中是真命题的序号是 . (写出所有 满足条件的命题序号) .. 二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
第 3 页 共 11 页

15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ? ) cos( x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值及相应的 x 的值.

? 4

? ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 , x ? R . 4 4

? 2

16. (本小题共 13 分) 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听 写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示, 频率 其中样本数据分组区间为 [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , 组距

[90,100] .
(Ⅰ)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩; (Ⅱ)如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学,求 这名同学考试成绩在 80 分以上(含 80 分)的概率; (Ⅲ) 如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学, 这3 名同学中考试成绩在 80 分以上(含 80 分)的人数记为 X ,求 X 的分布列及数学期望. (注:频率可以视为相应的概率)

0.03 0.025 0.02 0.015 0.01

O

50

60

70 80

90 100 考试成绩(分)

17. (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PA⊥底面 ABCD,M 是棱 PD 的中点, 且 PA=AB=AC=2, BC ? 2 2 . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 M-AB-C 的大小; (Ⅲ) 如果 N 是棱 AB 上一点, 且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为
P

M

AN 10 ,求 的值. NB 5
A B N C D

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? e ? x ?1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)如果直线 y ? kx ? 1 与函数 f ( x ) 的图象无交点,求 k 的取值范围.

第 4 页 共 11 页

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F ( 3,0) ,点 M (? 3, ) 在椭圆 C 上. 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点,过原点 O 作直线 l 的垂线,垂足为 P ,如 果△ OAB 的面积为

? | AB | ?4
2 | OP |

( ? 为实数) ,求 ? 的值.

20.(本小题共 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? ?an?1 ? 1 , (? ? 1 , n ? 2 且 n ? N*) . (Ⅰ)求证:当 ? ? 0 时,数列 {an ?

1 } 为等比数列; ? ?1

(Ⅱ)如果 ? ? 2 ,求数列 {nan } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)如果 [an ] 表示不超过 an 的最大整数,当 ? ?

2 ? 1 时,求数列 {[(? ? 1)an ]}的通项公式.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

2015 年 1 月北京市丰台区高三数学(理)期末测试卷参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 A 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 1 ? i 10.15 12.5 13. ?

11.20 14. ①③④

2 ?1 ? y ? 1 ; 0 2

注:第 13 题第一个空 2 分;第二个空 3 分。 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) ? 2 cos 2 ( x ?

?
4

) ?1

第 5 页 共 11 页

? 3 sin( 2 x ?

?
2

) ? cos( 2 x ?

?
2

)

? 3 cos2 x ? sin 2 x
? 2 sin( 2 x ?
T ?

?
3

)
???????7 分

2? ?? . 2

(Ⅱ)因为 0 ? x ? 所以

?

?
3

2



? 2x ?

?
3

?

所以 当 2 x ?

时, ymax ? 2 ; 12 3 2 ? 4? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, ymin ? ? 3 . 3 3 2 所以当 x ?

?

?

?

4? . 3
,即 x ?

?

???????13 分

?

12

时,函数有最大值是 2 ;当 x ?

?

2

时,函数有最小值是 ? 3 .

16. 解: (Ⅰ)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为:

0.1? 55 ? 0.2 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.25 ? 85 ? 0.15 ? 95 ? 76.5 .
(Ⅱ)设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A.

??????2 分

P( A) ? 0.025 ?10 ? 0.015 ?10 ? 0.4
答:被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4. ?????6 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为 X 可能的取值是 0,1,2,3.

2 , 5

27 0 2 0 3 3 P ( X ? 0) ? C 3 ( ) ( ) ? ; 5 5 125 54 1 2 1 3 2 P( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? ; 5 5 125 2 3 36 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? ; 5 5 125 8 3 2 3 3 0 P( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? . 5 5 125 X 的分布列为: 0 1 X 27 54 P 125 125
第 6 页 共 11 页

2

3

36 125

8 125
?????12 分

27 54 36 8 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5 2 2 6 (或 X ~ B (3, ) ,所以 E ( X ) ? np ? 3 ? ? . ) 5 5 5
所以 E ( X ) ? 0 ? 17. 证明: (Ⅰ)连结 AC. 因为在△ABC 中, AB= AC=2, BC ? 2 2 , 所以 BC ? AB ? AC ,
2 2 2
P

?????13 分

M

所以 AB ? AC . 因为 AB ∥ CD , 所以 AC ? CD . 又因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 因为 AC ? PA ? A , 所以 CD⊥平面 PAC. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,

A B N C

D

??????4 分

则 A(0, 0, 0) , P(0, 0, 2) , B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , D(?2, 2,0) . 因为 M 是棱 PD 的中点,
P z

所以 M (?1,1,1) . 所以 AM ? (?1,1,1) , AB ? (2,0,0) . 设 n ? ( x, y, z) 为平面 MAB 的法向量, 所以 ? 即 ?
A B x N C y M

D

? ?n ? AM ? 0 , ? n ? AB ? 0 ?

?? x ? y ? z ? 0 , ?2 x ? 0

?x ? 0 ? 令 y ? 1 ,则 ? y ? 1 , ? z ? ?1 ?
所以平面 MAB 的法向量 n ? (0,1,-1) . 因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 AP ? (0,0, 2) 是平面 ABC 的一个法向量.
第 7 页 共 11 页

所以 cos? n, AP? ?

n ? AP AP n

?

?2 2 . ?? 2 2? 2

因为二面角 M-AB-C 为锐二面角, 所以二面角 M-AB-C 的大小为

? . 4

??????10 分

(Ⅲ)因为 N 是在棱 AB 上一点,所以设 N ( x,0,0) , NC ? (? x, 2,0) . 设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 ? , 因为平面 MAB 的法向量 n ? (0,1,-1) , 所以 sin ? ? cos(
z P

?
2

??) ?

n ? NC n ? NC
M

?

2 2? x ?4
2

?

10 . 5
x

A B N C y

D

解得 x ? 1 ,即 AN ? 1 , NB ? 1 ,所以

AN ?1. NB

??????14 分

18. 解: (Ⅰ)函数的定义域为 R. 因为 f ( x) ? x ? e? x ?1 , 所以 f ?( x) ?

ex ?1 . ex

令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 .

x
f ?( x )
f ( x)

(??, 0)


0 0 极小值

(0, ??)
+ ↗ ??????6 分

所以 当 x ? 0 时函数有极小值 f ( x)极小值 =f (0) ? 0 . (Ⅱ)函数 f ( x) ? x ? 1 ?

1 . ex

1 ? 0 , y ? k ? 0 ? 1 ? ?1 , e0 所以要使 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点,等价于 f ( x) ? kx ? 1 恒成立.
当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ? 1 ?

第 8 页 共 11 页

1 ? (kx ? 1) ,即 g ( x) ? (1 ? k ) x ? e? x , ex (1 ? k )e x ? 1 所以 g ?( x) ? . ex 1 ①当 k ? 1 时, g ( x ) ? x ? 0 ,满足 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点; e 1 1 1 1 ) ? (1 ? k ) ? e1?k ? e1?k ? 1 , ②当 k ? 1 时, g ( k ?1 k ?1 1 1 ? 0 , e1? k ? 1 , 而 1? k 1 ) ? 0 ,此时不满足 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点. 所以 g ( k ?1
令 g ( x) ? x ? 1 ? ③当 k ? 1 时,令 g ?( x) ?

(1 ? k )e x ? 1 ? 0 , 则 x ? ? ln(1 ? k ) , ex

当 x ? (??, ? ln(1 ? k )) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, ? ln(1 ? k )) 上单调递减; 当 x ? (? ln(1 ? k ), ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (? ln(1 ? k ), ??) 上单调递增; 当 x ? ? ln(1 ? k ) 时, g ( x)min ? g (? ln(1 ? k )) ? (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) . 由 (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) ? 0 得 1 ? e ? k ? 1 , 即 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点. 综上所述 当 k ? (1 ? e,1] 时, y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点. ?????13 分

19. 解: (Ⅰ)由题意知: c =

3.

根据椭圆的定义得: 2a = 即a= 2.
2 所以 b = 4 - 3 = 1 .

(-

3-

1 1 3) 2 + ( ) 2 + , 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4 1 ? | AB | ?4 (Ⅱ)由题意知,△ABC 的面积 S?ABC = | AB | ? | OP | = , 2 2 | OP | 4 2 整理得 ? = |OP | ? . | AB |
所以椭圆 C 的标准方程为 ① 当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程是 x ? 3 .
第 9 页 共 11 页

?????4 分

此时 | AB |= 1 , | OP |? 3 ,所以 ? = | OP | ?
2

4 = ?1 . | AB |

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k ( x 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

3) ,

ì ? x2 2 ? ? + y =1 由 í 4 可得 (4k 2 + 1) x2 - 8 3k 2 x + 12k 2 - 4 = 0 . ? ? ? ? ? y =k ( x - 3) ì ? 8 3k 2 ? x + x = , ? 1 2 2 ? 4 k + 1 ? 显然 ? > 0 ,则 í ? 12k 2 - 4 ? ? x x = . 1 2 ? 4k 2 + 1 ? ?
因为 y1 =k ( x1 所以 | AB |=

3) , y2 =k ( x2 -

3) ,
(k 2 + 1)( x1 - x2 ) 2
k2 + 1 . 4k 2 + 1

( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 =

=
2

(k 2 + 1)[( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2 ] = 4
|3k | k2 + 1 )2 = 3k 2 , k2 + 1

所以 | OP | = (

此时, ? =

3k 2 4k 2 ? 1 ? = ?1 . k 2 ?1 k 2 ?1
?????14 分

综上所述, ? 为定值 ?1 . 20. 解: (Ⅰ)当 ? ? 0 时,设 bn ? an ?

1 , ? ?1 1 an ? b ? ?1 . 则 当 n ? 2 时, n ? bn ?1 a ? 1 n ?1 ? ?1
因为 an ? ?an?1 ? 1 ,

所以

bn ? bn ?1

? an ?1 ? 1 ?

? 1 1 ? an?1 ? ? (an?1 ? ) ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 为常数. ? ?1 ? 1 1 1 an ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? ? ?1 ? ?1 ? ?1
第 10 页 共 11 页

1 ? ? ?0, ? ?1 ? ?1 1 ? } 是首项为 所以 数列 {an ? ,公比为 ? 的等比数列. ? ?1 ? ?1
因为 a1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? 2 时 {an ? 1} 为首项为 所以 an ? 1 ? 2 .
n 2

?????4 分

? ,公比为 ? 的是等比数列, ? ?1

na 2n ? n . n ? n ? n ? 2n , ? n ? 2n?1 . ? 2n ? n ? 2n?1 ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 .
n2 n ? , 2 2 n2 n ? . 2 2
?????9 分

设 An ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 则 2 An ? 1? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

相减得 An ? ?2 ? 2 ?
2

设 Bn ? 1 ? 2 ?

?n?

Sn ? An ? Bn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ?
即 Sn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 an ?

n2 n ? . 2 2 1 ? n ?1 . ? ? ?1 ? ?1

? ? ?1

? n?1 ?

设 cn ? (? ?1)an ? ? n ?1 ? ( 2 ?1)n ?1 , 由二项式定理可知 ( 2 ?1)n ? (? 2 ?1)n 为整数,
n n ? ?( 2 ? 1) ? (? 2 ? 1) ? 2, n ? 2k , [ c ] ? 所以 n (k ? N* ) . ? n n ? ?( 2 ? 1) ? (? 2 ? 1) ? 1, n ? 2k ? 1.

所以 [cn ] ? ( 2 ? 1) n ? (? 2 ? 1) n ?

3 (?1)n . ? 2 2

?????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)

第 11 页 共 11 页


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