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2013年高考数学一轮复习 5.2 平面向量基本定理及坐标表示精品教学案(教师版)新人教版

时间:2013-01-14


2013 年高考数学一轮复习精品教学案 5.2 平面向量基本定理及坐标 表示(新课标人教版,教师版)
【考纲解读】 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.平面向量是历年来高考重点

内容之一,经常与三角函数、立体几何、解析几何、不等式等 知识结合起来考查,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,平面向量的基本定理及坐 标表示的考查,经常以选择题与填空题的形式单独考查,有时也在解答题中与其他知识结合 起来考查, 在考查平面向量知识的同时, 又考查转化思想和分类讨论等思想, 以及分析问题、 解决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查平面向量与其他知识的结合,或在选择题、填 空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.平面向量基本定理:设 e1 、 e2 是一平面内的两个不平行的向量,那么对平面内任意一向 量 a ,存在唯一的一对实数 x, y ,使得 a = xe1 + y e2 .其中 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量 的一组基底. 2.向量的直角坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ;

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? ?

? ? ? a - b = x1 x2 ? y1 y2 ; ? a = (? x1 , ? y1 ) .
3.两个结论: (1)两个向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) 相等 ? x1 ? x2 且 y1 ? y2 ; (2) 在 平 面 向 量 基 本 定 理 中 , 由 两 个 基 底 e1 , e2 决 定 的 向 量 a =

?

?

??

?? ?

?

?? ?? ? ?1 e1 + ?1 e2 与

? ? ? ?? ?? ? b = ?2 e1 + ?2 e2 相等的条件是 ?1 ? ?2 且 ?1 ? ?2 ,若 a = 0 ,则 ?1 = ?1 =0.
【例题精析】 考点一 平面向量基本定理的应用 例 1. (2012 年 高 考 全 国 卷 理 科 6) ?ABC 中 , AB 边 上 的 高 为 CD , 若

???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? C B? ,a C ? , b ? a ?0 , | ? 1 , |,则 AD ? ( A b |a ? | 2 b

)

1

A.

1? 1? a? b 3 3

B.

2? 2? a? b 3 3

C.

3? 3? a? b 5 5

D.

4? 4? a? b 5 5

1. (2010 年高考全国卷Ⅱ文科 10)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB = a ,

??? ?

??? ? CA = b ,
(A)

??? ? a = 1 , b = 2, 则 CD =(
(B)

) (C)

1 2 a + b 3 3

2 1 a + b 3 3

3 4 a + b 5 5

(D)

4 3 a + b 5 5

例 2.(2011 年高考广东卷文科 3)已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) ,若 ? 为实数,

?

?

?

? ? ? (a ? ?b) // c ,则 ? =(
A.



1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

2

2.(2012 年 高 考 重 庆 卷 理 科 6) 设 x, y ? R , 向 量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? , 且

a ? c, b // c ,则 a ? b ? _______
(A) 5 (B) 10

. (C) 2 5 (D)10

问题:平面向理基本定理 例.在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM ? c, AN ? d , 试用 c, d 表示

???? ?

? ????

? ?

? ? ?

??? ???? ? AB, AD .

1. (2009 年高考广东卷 A 文科第 3 题) 已知平面向量 a(x,1 , (-x, x 2) 则向量 a ? b = , ) b= ( ) B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 【答案】C

2 【解析】 a ? b ? (0,1 ? x ) ,由 1 ? x ? 0 及向量的性质可知,C 正确.
2

2. (2012 年高考广东卷理科 3) 若向量 BA =(2,3) CA =(4,7) , ,则 BC =(

??? ?

??? ?

??? ?

)

3

A (-2,-4) 【答案】A

B

(3,4)

C

(6,10

D

(-6,-10)

【解析】 BC = BA + AC =(-2,-4),故选 A. 3.(福建省福州市 2012 年 3 月高中毕业班质量检查理科)在 ?ABC 中,点 O 在线段 BC 的 延长线上,且与点 C 不重合,若 AO ? x AB ? ?1 ? x?AC ,则实数 x 的取值范围是( A. (??,0) B. (0,??) C. (?1,0) D. (0,1) )

??? ??? ??? ? ? ?

4. (2009 年高考江西卷理科第 13 题) 已知向量 a ? (3,1) ,b ? (1,3) ,c ? (k ,7) , (a ? c) 若 ∥ b ,则 k =

?

?

?

? ?

?



1.(2012 年高考广东卷文科 3)若向量 AB =(1,2) BC =(3,4) , ,则 AC =( A (4,6) 【答案】A 【解析】因为 AC = AB + BC = (4, 6) ,所以选 A. B (-4,-6) C (-2,-2) D (2,2)

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ??? ??? ? ? ?

CA a 2.(2012 年高考全国卷文科 9) ?ABC 中,AB 边的高为 CD , C ? , ? b , ? b ? 0 , 若 B a
???? ? ? | a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ? (
(A) )

?? ?

??? ?

? ? ?

1? 1? a? b 3 3

(B)

2? 2? a? b 3 3

(C)

3? 3? a? b 5 5

(D)

4? 4? a? b 5 5

【答案】D

4

3. (2011 年高考山东卷理科 12)设 A , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 1 若 A A3 ? ? A A2 (λ ∈R), A A4 ? ? A A2 (μ ∈R),且 1 1 1 1

?????

?????

?????

?????

1

?

?

1

?

? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割

A1 , A2 ,已知点 C(c,o),D(d,O) (c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法
正确的是( )

(A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C,D 可能同时在线段 AB 上 (D) C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

4. (2010 年高考山东卷文科 12)定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下:对任意的

a ? (m, n) , b ? ( p, q) ,令 a ? b ? mq ? np ,下面说法错误的是(
(A)若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0 (B) a ? b ? b ? a (C)对任意的 ? ? R ,有 (? a) ? b ? ? (a ? b) (D) (a ? b) ? (a ? b) ?| a | | b |
2 2 2 2

)

【答案】B

5

5.(2011 年高考湖南卷文科 13)设向量 a, b 满足 | a |? 2 5, b ? (2,1), 且 a与b 的方向相反, 则 a 的坐标为

? ?

?

?

? ?

?



6


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