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高中数学竞赛 平面几何问题选讲


平面几何问题选讲

贾广素

编著

初等平面几何学
初等几何学包括平面几何、 立体几何与解析几何, 这三部分的题目类型对于竞赛选手来 讲都是非常重要的, 后二者常出现在一试题目中, 特别是解析几何学在最近几年的竞赛试题 一试中每年都会出一道题目; 而平面几何对于想在全国竞赛中想拿成绩的同学来讲, 也是非 常

重要的,因为每年的二试(加试)试题中都会出现一道平面几何题(50 分) ,并且是二试 中最简单的一题,这当然中不能放弃的。由于立体几何与解析几何不仅是竞赛的重点,也是 我们高中学习阶段高考所重点考查的内容,练习的比较多了,平面几何我们却丢掉了,因此 在这里我们着重讲这平面几何。首先我们先介绍平面几何中的几个重要定理:

第一节 平面几何中的几个重要定理
1.梅涅劳斯(Menelauss)定理 如果一条直线和 ?ABC 的边 BC, CA, AB 或其延长线分别交于点 R

A

Q

P, Q, R ,且有奇数个点在边的延长线上(如图 1(1) (2) )

BP CQ AR ? ? ? 1。 则 PC QA RB

B

C A

P

对于此定理的证明是不困难的,我们仅对第一个图形给出四种不同的 证明方法,请注意这四种证法。 证法一:如图所示,过点 A 作直线 AD//PR 交 BC 的延长线于点 D,

CQ CP AR DP BP CQ AR BP CP DP ? , ? ? ? ? ? ? ? 1。 则 ,故 QA PD RB PB PC QA RB PC PD PB
若对于此定理应用正弦定理以及面积法也可得出相同的结论: 证法二(正弦定理证法) :设 ?BRP ? ? , ?CQP ? ? , ?QPB ? ? 则在 ?BPR 中,有

P

B R

C Q

A

BP sin ? ? , RB sin ?

R Q D B C P

同理可得:

CQ sin ? AR sin ? ? , ? ,此三式相乘即证。 CP sin ? AQ sin ?

证法三 (面积法) : 由

BP S ?PRB CQ S ?CQR S ?CPQ S ?CQR ? S ?CPQ S ?RCP , ? ? ? ? ? PC S ?PRC QA S ?QAR S ?PAQ S ?QAR ? S ?PAQ S ?ARP

AR S ?ARP ,现将上述三式相乘,即可得所证结论。 ? RB S ?RBP
证法四:如图所示,设 hA , hB , hC 分别是 A、B、C 到直线 l 的 垂线的长度,则

BP CQ AR hB hC hA ? ? ? ? ? ? 1。 PC QA RB hC hA hB

梅涅劳斯逆定理:设 P, Q, R 是 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 或其延长线上的点,并且这 三点中位于 ?ABC 边上的个数是 0 或是 2,若

BP CQ AR ? ? ? 1,则 P, Q, R 三点共线。 PC QA RB

证明:设直线 P, Q 交 AB 于点 M ,则由梅涅劳斯定理,得到

BP CQ AM ? ? ? 1 ,由 PC QA MB

题设条件知

AM AR AM AR BP CQ AR ? ? ,又由合比定理知 ,故有 ? ? ? 1 ,即有 MB RB AB AB PC QA RB

AM ? AR ,从而 M , R 重合,即 P, Q, R 三点共线。
说明: (1) “ P, Q, R 三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十必要,否则的话, 梅涅劳斯定理就不成立了; (2)恰当地选择三角形的截线或作出截线,是应用梅涅劳斯定理定理的关键,其逆定 理常用来证明三点共线; (3)此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件; (4) 也可以将上述两个定理合写成: 设 P, Q, R 分别是 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 所在 直线(包括三边的延长线)上的点,则 P, Q, R 三点共线的充要条件是

BP CQ AR ? ? ? 1。 PC QA RB

例 1.如图所示, ?O1 与 ?O2 和 ?ABC 的三边所在的 3 条直线都相切,E,F,G,H 为切 点, 直线 EG 与 FH 交于点 P,求证:PA ? BC 。 (1996 年全国高中数学联赛二试题第 3 题) P

G H O1 A O
1

E

B

D

C

F

(利用梅涅劳斯定理做: ) 过点 A 作 AD ? BC 于点 D,延长 DA 交直线 HF 于点 P/ 由梅涅劳斯定理有

P

AH BF DP / ? ? ?1 BH DF AP /
? BF ? BH ?

AH DP / ? ?1 DF AP /
O1

G H A O1

? O1 F // AD // O2 F , ?AGO1 ~ ?AHO2

?

AH AG DE AO1 AG ? ,? ? ? DF DE DF AO2 AH
AH DP / AG DP / DP / AG CE ? ? ? ? ? ? DF AP / DE AP / AP / CG DE
/ /

又? CE ? CG

E

B

D

C

F

?1 ?

由梅涅劳斯的逆定理知 P 、G、E 三点共线,即 P 为直线 EG 与 FH 的交点。因此点 P 与 点 P 重合,所以 PA ? BC 例 2.若直角 ?ABC 中, CK 是斜边上的高, CE 是 ?ACK 的平分线,E 点在 AK 上,D 是 AC 的中点,F 是 DE 与 CK 的交点,证明:BF//CE。

/

证: ? 在?EBC中,作?B的平分线BH 则:?EBC ? ?ACK ?HBC ? ?ACE ?HBC ? ?HCB ? ?ACE ? ?HCB ? 90? 即: BH ? CE ? ?EBC为等腰三角形 作BC上的高EP,则:CK ? EP 对于?ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有: CD AE KF ? ? ?1 DA EK FC KF EK CK EP BP BK 于是 = ? ? ? ? FC AE AC AC BC BE KF BK 即: = FC BE KF BK 依分比定理有: = KC KE ? ?FKB ? ?CKE ? BF // CE

例 3.点 P 位于 ?ABC 的外接圆上, A1 , B1 , C1 是从点 P 向 BC,CA,AB 所引垂线的垂足, 求证: A1 , B1 , C1 三点共线。 A

BA BP ? cos?PBC 证:易得: 1 ? ? , CA1 CP ? cos?PCB CB1 CP ? cos?PCA ?? AB1 AP ? cos?PAC AC1 AP ? cos?PAB ?? BC1 PB ? cos?PBA 将上面三条式子相乘,
B

C1

A1

C

B1
P

且 ? ?PAC ? ?PBC, ?PAB ? ?PCB, ?PCA ? ?PBA ? 180? BA CB AC1 可得 1 ? 1 ? =1 , CA1 AB1 BC1 依梅涅劳斯定理可知 A1、B1、C1三点共线;
【练习 1 】从点K引四条直线,另两条直 线分别交这四条直线于 A、B、C、D AC AD A1C1 A1D1 和A1、B1、C1、D1,试证: : ? : BC BD B1C1 B1D1 【练习2】设不等腰?ABC的内切圆在三边 BC、CA、 AB上的切点分别为 D、E、F,则EF与BC, FD与CA,DE与AB的交点X、Y、Z在同一条 直线上;

【练习 3】已知直线AA1,BB1,CC1相交于O,直线AB和 A1 B1的交点为C2,直线BC与B1C1的交点是A2,直 线AC与A1C1的交点是B2,试证:A2、B2、C2 三点共线;

【练习 4】在一条直线上取点 E、C、A,在另一条上取点 B、F、D,记直线AB和ED, CD和AF,CD和AF,EF和BC的交点依次为 L、M、N,证明:L、M、N三点共线

练习 1的证明 证:若AD // A1 D1,结论显然成立; 若AD与A1 D1相交与点L,则把梅涅劳斯定理分 别用于?A1 AL和?B1 BL可得: AD LD1 A1 K ? ? ?1 LD A1 D1 AK LD BK B1 D1 ? ? ?1 BD B1 K LD1 AD BC A1C1 B1 D1 将上面四条式子相乘可 得: ? ? ? ?1 AC BD A1 D1 B1C1 AC AD A1C1 A1 D1 即: : ? : BC BD B1C1 B1 D1
练习2的证明 BX CE AF 证:?ABC被直线XFE所截,由定理 1可得: ? ? ?1 XC EA FB BX FB 又 ? AE ? AF 代人上式可得: = XC CE CY DC AZ EA 同理可得: = = YA AF ZB BD BX CY AZ 将上面三条式子相乘可 得: ? ? ?1 XC YA ZB 又 ? X、Y、Z都不在?ABC的边上,由定理 2可得X、Y、Z三点共线

LC AK A1C1 ? ? ?1 AC A1 K LC1

BC LC1 B1 K ? ? ?1 LC B1C1 BK

练习3的证明 证:设A2、B2、C 2 分别是直线BC和B1C1,AC和A1C1,AB和A1 B1的交点, 对所得的三角形和在它 们边上的点: OAB和( A1,B1 , C 2 ),OBC和( B1, C1 , A2 ),OAC和( A1,C1 , B2 )应用梅涅劳斯定理有: AA1 OB1 BC2 ? ? ?1 OA1 BB1 AC2 OC1 BB1 CA2 ? ? ?1 CC1 OB1 BA2 OA1 CC1 AB2 ? ? ?1 AA1 OC1 CB2

BC AB2 CA2 将上面的三条式子相乘 可得: 2 ? ? ?1 AC2 CB2 BA2 由梅涅劳斯定理可知 A2 , B 2 , C 2 共线 练习4的证明
证:记直线EF和CD,EF和AB,AB和CD的交点分别为 U、V、W,对?UVW,应用梅 涅劳斯定理于五组三元 点( L, D, E ), ( A, M , F ), ( B, C , N ), ( A, C , E ), ( B, D, F ),则有 VA UF WM UN WC VB ? ? ?1 ? ? ?1 WA VF YM VN UC WB WB UD VF ? ? ?1 VB WD UF VL WM UN 将上面五条式子相乘可 得: ? ? ? 1, ? 点L, M , N共线 WL UM VN UE VL WD ? ? ?1 VE WL UD WA UC VE ? ? ?1 VA WC UE


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