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【新人教】高考数学总复习专题训练数列、极限和数学归纳法


数列、极限和数学归纳法
安徽理(11)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别,考查等差数列前 n 项和. 【解析】由算法框图可知 T ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ?

k (k ? 1) ,若 T=105, 则 K=14, 2

继续执行循环

体,这时 k=15,T>105,所以输出的 k 值为 15. (18) (本小题满分 12 分)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构 成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn , n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ?tan an ?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . (本小题满分 13 分)本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等 基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解: (I)设 l1 , l 2 ,?, l n ? 2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n? 2 ? 100, 则

Tn ? t1 ? t 2 ? ? ? t n ?1 ? t n ? 2 ,

①,
2

Tn ? t n ?1 ? t n? 2 ? ? ? t 2 ? t1 ,



①×②并利用 t1t n ?3?i ? t1t n ? 2 ? 10 (1 ? i ? n ? 2), 得

Tn2 ? (t1t n? 2 ) ? (t 2 t n?1 ) ? ? ? (t n?1t 2 ) ? (t n? 2 t1 ) ? 10 2( n? 2) ,? a n ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知 bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1. 另一方面,利用 tan1 ? tan((k ? 1) ? k ) ?

tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

得 tan(k ? 1) ? tan k ?
n? 2 k ?3

n n?2 tan(k ? 1) ? tan k ? 1. 所以 S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k tan1 k ?1 k ?3

? ?(

tan(k ? 1) ? tan k tan(n ? 3) ? tan 3 ? 1) ? ?n tan1 tan1

安徽文(7)若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)g(?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ? (A) 15 (B) 12 (C ) ??? (D) ??? (7)A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一:分别求出前 10 项相加即可得出结论; 法二: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3 ,故 a? ? a? ? L a?? ? ??? ? ?? .故选 A. 北京理

?

1

11. 在 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a1 ?

1 , a4 ? ?4 , 则 公 比 q ? ________ ; 2

| a1 | ? | a2 | ?? ? | an |? ________.
【解析】 a1 ?

1 1 , a4 ? ?4 ? q ? ?2 , {| an |} 是以 为首项,以 2 为公比的等比数列, 2 2 1 | a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? 2n?1 ? 。 2

20.若数列 An : a1 ,a2 ,?,an (n ? 2) 满足 | ak ?1 ? ak |? 1( k ? 1 ,2,?,n ? 1 ) ,则称 An 为 E 数列。记 S ( An ) ? a1 ? a2 ? ? ? an . (1)写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S ( A5 ) ? 0 的 E 数列 A5 ; (2)若 a1 ? 12 , n ? 2000 ,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an ? 2011 ; (3)对任意给定的整数 n(n ? 2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ( An ) ? 0 ?如果 存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。 解: (Ⅰ)0,1,2,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列,所以 a k ?1 ? a k ? 1(k ? 1,2,?,1999 ) . 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+(2000—1)× 1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011,所以 a2000=a1+1999. 故 a n ?1 ? a n ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 ), 即An 是递增数列.综上,结论得证。 (Ⅲ)令 ck ? a k ?1 ? a k ? 1 ? 0(k ? 1,2,?, n ? 1), 则c A ? ?1. 因为 a 2 ? a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? c2 ??

an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ,
所以 S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c 2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? cn ?1

?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )( n ? 1) ? (1 ? c2 )( n ? 2) ? ? ? (1 ? cn?1 )]. 2

2

1 ? ck 为偶数(k ? 1,?, n ? 1). 因为 c k ? ?1, 所以
所以 *1 ? c1 )( n ? 1) ? (1 ? c2 )( n ? 2) ? ? ? (1 ? cn ) 为偶数, 所以要使 S ( An ) ? 0, 必须使

n(n ? 1) 为偶数, 2

即 4 整除 n(n ? 1), 亦即n ? 4m或n ? 4m ? 1(m ? N *) . 当

n ? 4m ? 1(m ? N *)时, E数列An的项满足a4 k ?1 ? a4 k ?1 ? 0, a4 k ?2 ? ?1, a4 k ? 1

(k ? 1,2,?, m) 时,有 a1 ? 0, S ( An ) ? 0;
a 4 k ? 1(k ? 1,2,?, m), a 4 k ?1 ? 0时, 有a1 ? 0, S ( An ) ? 0;
当 n ? 4m ? 1(m ? N *)时, E数列An 的项满足, a 4 k ?1 ? a3k ?3 ? 0, a 4 k ?2 ? ?1, 当 n ? 4m ? 2或n ? 4m ? 3(m ? N )时, n(m ? 1) 不能被 4 整除,此时不存在 E 数 列 An, 使得 a1 ? 0, S ( An ) ? 0. 北京文 (14)设 A ? 0, 0 ? , B ? 4, 0 ? , C ? t ? 4,3 ? , D ? t ,3? 。记 N ? t ? 为平行四边形 ABCD 内部(不 含边界) 的整点的个数, 其中整点是指横、 纵坐标都是整数的点, 则 N ?0? ? 的所有可能取值为 (20) (本小题共 13 分) 。6;6,7,8 ;N ? t ?

若数列 An : a1 , a2 ,? an (n ? 2) 满足 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2,? , n ? 1) ,则称 An 为 E 数列,记

S ? An ? ? a1 ? a2 +? +an 。
(I)写出一个 E 数列 A5 满足 a1 =a3 =0 ; (II)若 a1 =12, n=2000 ,证明: E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011 (III)在 a1 =4 的 E 数列 An 中,求使得 S ? An ? =0 成立的 n 的最小值 解: (Ⅰ)0,1,0,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 (答案不唯一,0,1,0,-1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列,所以 a k ?1 ? a k ? 1(k ? 1,2,?,1999 ) .

3

所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+(2000—1)× 1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011,所以 a2000=a1+1999. 故 a n ?1 ? a n ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 ), 即An 是递增数列.综上,结论得证。 (Ⅲ) ak ?1 ? ak ? 1 ? ak ?1 ? ak ? ?1 ? ak ?1 ? ak ? 1 所 以 有 : a2 ? a1 ? 1 ? 3 , a3 ? a2 ? 1 ? 2 , a4 ? a3 ? 1 ? 1 , ? , a8 ? a7 ? 1 ? ?3 ;

a9 ? a8 ? 1 ? ?4
相加得: a1 ? a2 ? ? ? a9 ? 0 ,所以在 a1 =4 的 E 数列 An 中,使得 S ? An ? =0 成立的 n 的最 小值为 9。 福建理 16.(本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S3 ? (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? 为 a3 ,求函数 f ( x) 的解析式.

13 . 3

?
6

处取得最大值,且最大值

13 1 n?2 得 a1 ? ,所以 an ? 3 ; 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a3 ? 3 ,因为函数 f ( x) 最大值为 3,所以 A ? 3 ,
解:(Ⅰ)由 q ? 3, S3 ? 又当 x ?

?
6

时函数 f ( x) 取得最大值,所以 sin(

?
3

? ? ) ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6



所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 3sin(2 x ? 福建文 17. (本小题满分 12 分)

?
6

)。

已知数列{an}中,a1=1,a3=-3。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值。 解: (Ⅰ)由 a1=1,a3=-3 得 d ? ?2 ,所以 an=3-2n; (Ⅱ) Sk ? k ? k (k ? 1) ? ?35 ,解得 k=7。 广 东 理 11. 等 差 数 列 ? an ? 前 9 项 的 和 等 于 前 4 项 的 和 . 若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 , 则
4

k?

.

(a1 ? a9 )9 (a1 ? a 4 )4 1 ? ,? 9a5 ? 2(a1 ? a 4 ), 即9(1 ? 4d) ? 2(2 ? 3d),? d ? ? , 2 2 6 1 1 由1 ? (k ? 1) ? 1 ? 3 ? (? ) ? 0得 : k ? 10. 6 6 解法二 : S 9 ? S 4 ,? a5 ? a 6 ? a 7 ? a8 ? a9 ? 0,? a 7 ? 0, 从而a 4 ? a10 ? 2a 7 ? 0,? k ? 10 . 解法一 : S 9 ? S 4 , 即
20.(本小题满分 12 分) 设 b ? 0, 数列 ? an ? 满足 a1 =b, an ? (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n, an ?

nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 ?1 2n ?1

解:(1)由an ? 当b ? 2时,

nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b

n n ?1 1 n 1 1 1 n n ? ? , 则数列{ }是以 ? 为首项, 为公差的等差数列,? ? , 从而an ? 2. an an ?1 2 an a1 2 2 an 2

n 1 2 n ?1 1 当b ? 2时, ? ? ( ? ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b 则数列{ ? n 1 1 1 2 2 ? }是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b) b

n 1 2 2 1 2 nb n (2 ? b) ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ( ) n ,? an ? n , an 2 ? b b(2 ? b) b 2?b b 2 ? bn

(b ? 2) ?2, ? n 综上an ? ? nb (2 ? b) . (b ? 0, b ? 2) ? n n ? 2 ?b

(2)当b=2时,an ? 2,

b n ?1 b n ?1 +1 ? 2, ? a ? +1,从而原不等式成立; n 2n ?1 2n ?1 b n ?1 nb n (2 ? b) b n ?1 n(2 ? b) b 1 当b ? 2时,要证an ? n ?1 +1,只需证 n ? n ?1 +1, 即证 n ? n ?1 + n , n n 2 2 ?b 2 2 ?b 2 b n b 1 即证 n ?1 n ? 2 ? + , 2 ? 2 b ? 2n ?3 b 2 ? ? ? 2b n ? 2 ? b n ?1 2n ?1 b n 2n ?1 2n ? 2 2n ?3 2 1 b b2 b n ?1 b n 即证n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , b b b b b 2 2 2 2 n ?1 n n?2 n ?1 2 2 b 2 b 2 b 1 b 而上式左边=( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ( ? 2 ) b 2 b 2 b 2 b 2 ?2

2n ?1 b n 2n ? 2 b n ?1 2 b2 1 b ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 3 ?2 ? 2 ?n n n ?1 n ?1 n 2 b 2 b 2 b 2 b 2 ?当b ? 2时, 原不等式也成立, 从而原不等式成立.

5

广 东 文 11 . 已 知 ?a n ? 是 递 增 等 比 数 列 , a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 , 则 此 数 列 的 公 比

q?

.2

20. (本小题满分 14 分) 设 b>0,数列 {a n } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b 解: (1)由a1 ? b ? 0可知an ?
n ?1

nban?1 (n ? 2) . an?1 ? n ? 1

?1.

nban?1 n 1 1 n ?1 n 1 ,? ? ? , 令An ? , 则A1 ? , a n?1 ? n ? 1 an b b an?1 an b

当n ? 2时,An ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? An -1 = ? ? + n ?1 ? n?1 A1 ? ? ? + n ?1 ? n b b b b b b b b 1 1 (1 ? n ) n b ? b ?1 ①当b ? 1时,An ? b 1 b n (b ? 1) 1? b
? nb n (b ? 1) ,b ? 1 ? ②当b = 1时,An ? n ? an ? ? b n ? 1 ; ? 1, b ? 1 ?



(2) 当b ? 1时,欲证2an ?

2nb n (b ? 1) ? b n?1 ? 1, bn ? 1

只需证2nb ? (b
n

n ?1

bn ? 1 ? 1) , b ?1

? (bn?1 ? 1)

bn ? 1 ? b 2 n ? b 2 n?1 ? ? ? b n?1 ? b n?1 ? b n?2 ? ? ? 1 b ?1

? bn (bn ?

1 1 1 ? bn?1 ? n?1 ? ? ? b ? ) n b b b
2nbn (b ? 1) ? 1 ? bn?1 ; bn ? 1

? bn (2 ? 2 ? ? ? 2) ? 2nbn ,? 2an ?

当b ? 1时, 2an ? 2 ? b n?1 ? 1, 综上所述2an ? bn?1 +1 。
湖北理 12.《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等 差数列, 上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升, 则第 5 节的容积为 升.

6

【答案】

67 66

解析:设该数列 ?a n ?的首项为 a1 ,公差为 d ,依题意

4 ? a1 ? 7d ? ? a ? a ? a ? a ? 3 4 a ? 6 d ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 3 4 3 ,即 ? ,解得 ? , ? ?3a1 ? 21d ? 4 ?a 7 ? a 8 ? a 9 ? 4 ?d ? 7 ? 66 ?
则 a5 ? a1 ? 4d ? a1 ? 7d ? 3d ?

4 21 67 67 ,所以应该填 . ? ? 3 66 66 66

19.(本小题满分 13 分)
已 知 数 列 ? an? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 : a1 ? a (a ? 0) , a n ?1 ? rS n

( n ? N* ,

r ? R, r ? ?1) .
(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式;

Sk , S k ? 2 成等差数列, (Ⅱ) 若存在 k ? N , 使得 S k ?1 , 试判断: 对于任意的 m ?N , 且 m ? 2,
* *

a m ?1 , a m , a m ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论.
解: (Ⅰ)由已知: a n ?1 ? rS n 得 an?2 ? rSn?1 ,两式相减得 an?2 ? (r ? 1)an?1 ,又 a2 ? ra 所以当 r ? 0 时数列 ?a n ?为: a ,0,0,0,?, 当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0 ,所以 an ? 0 , n ? N ,于是 所以数列 a2 , a3 ,?, an 成等比数列,即当 n ? 2 时 an ? r (1 ? r ) 综上数列 ?a n ?的通项公式为 an ? ?
?
n ?2

?

an?2 ? 1 ? r ,(n ? N ? ) an?1
a

?a ?r (1 ? r )
n?2

n ?1 a, n ? 2

(Ⅱ)对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列,证明如下: 当 r ? 0 时由(Ⅰ)知 an ? ?

?a ?0
*

n ?1 n?2

,此时 a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列;

当 r ? 0, r ? ?1 时,若存在 k ? N ,使得 S k ?1 , S k , S k ? 2 成等差数列,则 2 S k = S k ?1 + S k ? 2 ∴ 2ak ?1 ? ak ?2 ? 0 , 由 (Ⅰ) 知数列 a2 , a3 ,?, an 的公比 r ? 1 ? ?2 , 于是对于任意的 m ?N ,
*

7

且 m ? 2,

am?2 ? ?2am?1 ? am?2 ? 4am ;所以 2 a m = a m ?1 + a m ? 2 即 a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列;
综上:对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列。 湖北文 17.(本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S ,求证:数列 ? S n ?
?

n

? ?

5? ? 是等比数列。 4?

解: (I)设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d ; 则 a ?d ?a ?a ?d ?

1 ? 5 a? 5 ;

数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d ,则 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100 ; 得 d ? 2 或 d ? ?13 (舍) ,于是 b3 ? 5, b4 ? 10 ? bn ? 5 ? 2
n?3

(II) 数列 ? b n ?

5 Sn?1 ? n ?1 5 5 n ?2 4 ? 5? 2 ? 2 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 2 ? ,即 Sn ? ? 5 ? 2n?2 ? 5 5 ? 2n?2 4 4 Sn ? 4
5 4 ? ? 是公比为 2 的等比数列。 ?

因此数列 ? S n ?

? ?

湖南文 20. (本题满分 13 分) 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M, M 的价值在使用过程中逐年减少, 从 第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值 为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 n

M 更新,证明:须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n;

8

当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( )n?6 ; 4
?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4
(II)设 S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ? 1), An ? 120 ? 5(n ? 1) ? 125 ? 5n; 当 n ? 7 时,

3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 3 n ?6 780 ? 210 ? ( ) 4 An ? . n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新. 湖南理 12、设 S n 是等差数列 {an }(n ? N ) 的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S5 ? ______
*

答案:25 解析:由 a1 ? 1, a4 ? 7 可得 a1 ? 1, d ? 2, an ? 2n ? 1,所以 S5 ?

(1 ? 9) ? 5 ? 25 。 2

江苏 13.设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公 差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 答案: 3 3 . 解析:由题意: 1 ? a1 ? a2 ? q ? a2 ? 1 ? q ? a2 ? 2 ? q ,
2 3

? a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q 2 ? a2 ? 2

, a1 ? 1 , ?a ,2 a2 1 ? , a22 ? q 3 ? a2 ? 2 ? 3 , 而? a2 ? 1

? qmin ? 3 3 . 的最小值分别为 1, 2, 3;

本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,考查 抽象概括能力和推理能力,本题属难题.

9

20.(本小题满分 16 分)设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项 和为 S n ,已知对任意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n ? k ? S n ?k ? 2( S n ? S k ) 都成立. (1)设 M={1} , a 2 ? 2 ,求 a 5 的值; (2)设 M={3,4} ,求数列 {a n } 的通项公式. 答 案 : ( 1 ) ? k ? 1,??n ? 1, Sn ?1 ? Sn ?1 ? 2( Sn ? S1 ),? Sn ? 2 ? Sn ? 2( Sn ?1 ? S1 ) 即 :

an? 2 ? an ? 2an?1
所以,n>1 时,? an ? 成等差,而 a2 ? 2 , S2 ? 3, S3 ? 2( S2 ? S1 ) ? S1 ? 7,? a3 ? 4,? a5 ? 8; (2)由题意: ?n ? 3, Sn?3 ? Sn?3 ? 2( Sn ? S3 ), (1); ?n ? 4, Sn? 4 ? Sn?4 ? 2( Sn ? S4 ), (2) ,

?n ? 2, Sn? 4 ? Sn?2 ? 2( Sn?1 ? S3 ), (3); ?n ? 3, Sn?5 ? Sn?3 ? 2( Sn?1 ? S4 ), (4);
当 n ? 5 时,由(1) (2)得: an ? 4 ? an ?3 ? 2a4 , (5) 由(3) (4)得: an ?5 ? an ?2 ? 2a4 , (6) 由(1) (3)得: an ? 4 ? an ?2 ? 2an ?1 , (7); 由(2) (4)得: an ?5 ? an ?3 ? 2an ?1 , (8); 由(7) (8)知: an ? 4 , an ?1 , an ? 2 , 成等差, an ?5 , an ?1 , an ?3 , 成等差;设公差分别为: d1 , d 2 , 由 ( 5 ) ( 6 ) 得 :

an?5 ? an?3 ? 2d2 ? an?4 ? 2a4 ? 2d2 , (9); an?4 ? an?2 ? 2d1 ? an?5 ? 2a4 ? 2d1 , (10);
由(9) (10)得:an?5 ? an? 4 ? d 2 ? d1 , 2a4 ? d1 ? d 2 , an?2 ? an?3 ? d 2 ? d1 ; ??a n ? ( n ? 2) 成 等差,设公差为 d, 在(1) (2)中分别取 n=4,n=5 得: 2a1 +6a 2 ? 15d ? 2(2a1 ? 5a2 ? 5d ), 即4a2 ? 5d ? ?2;

2a1 ? 8a2 ? 28d ? 2(2a1 ? 7a2 ? 9d ), 即3a2 ? 5d ? ?1 ? a2 ? 3, d ? 2,? an ? 2n ? 1.
解析:本题主要考查数列的概念,通项与前 n 项和的关系,等差数列概念及基本性质、和与通 项关系、集合概念、全称量词,转化与化归、考查分析探究及逻辑推理解决问题的能力,其 中(1)是中等题, (2)是难题.

10

江西理 5. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? S m ? S n ? m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? A.1 【答案】A B.9 C.10 D.55

【解析】 S 2 ? S1 ? S1 ? 2 ,可得 a 2 ? 1 , S 3 ? S1 ? S 2 ? 3 ,可得 a3 ? S 3 ? S 2 ? 1 , 同理可得 a 4 ? a5 ? ? ? a10 ? 1 ,故选 A 18. (本小题满分 12 分)

b3 ? a3 ? 3 . 已知两个等比数列 {a n } , 满足 a1 ? a (a ? 0) , {bn } , b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a 2 ? 2 ,
(1)若 a ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {a n } 唯一,求 a 的值. 【解析】 (1)设 {a n } 的公比为 q ,则 b1 ? 1 ? a ? 2 , b2 ? 2 ? aq ? 2 ? q ,

b3 ? 3 ? aq 2 ? 3 ? q 2 ,由 b1 , b2 , b3 成等比数列得 (2 ? q) 2 ? 2(3 ? q 2 ) ,
即 q ? 4q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? 2 ?
2

2 , q2 ? 2 ? 2
n ?1

所以 {a n } 的通项公式 a n ? (2 ? 2 )
2

或 a n ? (2 ? 2 )
2

n ?1

.
2

() (2) 设 {a n } 的公比为 q , 则由 (2 ? aq) ? (1 ? q)(3 ? aq ) , 得 aq ? 4aq ? 3a ? 1 ? 0*
由 a ? 0 得 ? ? 4a ? 4a ? 0 ,故方程(*)有两个不同的实根.
2

由 {a n } 唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a ?

1 . 3


江西文 5.设{ an }为等差数列,公差 d = -2, S n 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 C.22 D.24

答案:B

解析:

? S10 ? S11 ,? a11 ? 0 a11 ? a1 ? 10 d ,? a1 ? 20

21.(本小题满分 14 分) (1)已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ? ,满足 a1 ? a?a ? 0?, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 , 若数列 ?a n ?唯一,求 a 的值; (2) 是否存在两个等比数列 ?an ?, ?bn ? , 使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差 不 为 0
?

的等差数列?若存在,求 ?an ?, ?bn ? 的通项公式;若 不 存在,说明理由.
?

11

解: ( 1 ) ?a n ? 要唯一, ? 当公比 q1 ? 0 时,由 b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 且

b2 ? b1b3 ? ?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ? 3 ? aq12 ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,
2

?

?

? a ? 0 ,? aq1 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)
? ?4a ? ? 4a ?3a ? 1? ? 0 ? 4a ?a ? 1? ? 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。
2

2

? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 等 比 数 列 ?a n ? 首 项 为 a , 其 余 各 项 均 为常 数 0 , 唯 一 , 此 时由

?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ??3 ? aq12 ? ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,可推得 3a ? 1 ? 0, a ? 1 符合
3
1 综上: a ? 。 3
, ?bn ? , 公比分别为q1,q 2 ,则由等差数列的性质可得: (2)假设存在这样的等比数列 ?an ?

?b2 ? a2 ? ? ?b3 ? a3 ? ? ?b1 ? a1 ? ? ?b4 ? a4 ? ,整理得: ?b1 ? b3 ??q2 ? 1? ? ?a1 ? a3 ??q1 ? 1?
要 使 该 式 成 立 , 则 q2 ? 1 = q1 ? 1 ? 0 ? q1 ? q2 ? 1 或 b1 ? b3 ? a1 ? a3 ? 0 此 时 数 列

b2 ? a2 , b3 ? a3 公差为 0 与题意不符,所以不存在这样的等比数列 ?a n ?, ?bn ?。
辽宁理 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;

?a ? (II)求数列 ? nn 的前 n 项和. ?1 ? ?2 ?
(I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

? a1 ? d ? 0, ? 2a1 ? 12d ? ?10,
??????5 分

解得 ?

? a1 ? 1, 故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. ? d ? ?1.

(II)设数列 {

an a a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn , 故S1 ? 1 , n ?1 2 2 2 ?1

Sn a1 a2 a S a ?a a ?a a ? ? ??? n . 所以,当 n ? 1时, n ? a1 ? 2 1 ? ? ? n n?1n?1 ? n n 2 2 4 2 2 2 2n 2

1 1 1 2?n 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? ? n?1 ? n ) ? 1 ? (1 ? n?1 ) ? n 2 4 2 2 2 2
所以 Sn ?
12

a n n }的前n项和Sn ? n ?1 . . 综上,数列 { nn ?1 n ?1 2 2 2

??????12 分

辽宁文 5.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 A.2 B.4 C.8 D.16 15.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=____________.—1 全国Ⅰ理 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ? an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .
2

B

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式;

?1? (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?
2 (17)解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?
2 3 2

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an = ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ? 故

n(n ? 1) 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ?1

全国Ⅰ文(17) (本小题满分 12 分) 设等差数列 ? an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ? an ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值。 解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d 及 a3 ? 5 , a10 ? ?9 得 a1 ? 9, d ? ?2 ; 所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 11 ? 2n (Ⅱ) Sn ? 10n ? n ? ?(n ? 5) ? 25 ,所以 n ? 5 时 S n 取得最大值。
2 2

13

全国Ⅱ理 (4) 设 S n 为等差数列 ? an ? 的前 n 项和, 若 a1 ? 1 , 公差 d ? 2 ,Sk ? 2 ? Sk ? 24 , 则k ? (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

【答案】 :D 【命题意图】 :本小题主要考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式等有关知识。 【解析】 : Sk ? 2 ? Sk ? ak ? 2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? d ? 2(a1 ? kd ) ? d ? 2(1 ? 2k ) ? 2 ? 24 ,解 得k ?5。 另外:本题也可用等差数列的前 n 项和公式进行计算。 (20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设数列 {an } 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ?1. 1 ? an ?1 1 ? an

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an ?1 n

,记 Sn ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1 .

【命题立意】 :本小题主要考查数列的通项公式、等差数列的概念、递推数列、不等式等基 础知识和基本技能, 同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力。在解题过程中也渗透了化归与转化思想 方法.难度较小, 学生易得分。 【解析】 : (Ⅰ)由 数列。

? 1 1 1 ? 1 ? ? ? 1 知数列 ? ? 1 ,公差为 1 的等差 ? 是首项为 1 ? a 1 ? an ?1 1 ? an 1 ? a ? n ? 1 ?

?

1 1 ? 1 ? (n ? 1)? 1 ? n,? an ? 1 ? 1 ? an n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ?
n n

1 ? an ?1 n

1? 1? ?

1 n 1? n ?1 ? n ?1 ? 1 ? 1 n n n n ?1

? Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1

1 1 1 ? ) ? 1? ?1 n n ?1 n ?1

全国Ⅱ文(17)(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和 S n
14

【解析】设等比数列 ? an ? 的公比为 q ,由题

? a1q ? 6, ? a1 ? 3, ? a1 ? 2, 或? 解得 ? ? 2 ? q ? 2, ? q ? 3. ?6a1 ? a1q ? 30,
所以 如果 a1 ? 3, 则 an =a1q
n ?1

a1 (1 ? q n ) ? 3 ? 2 . Sn = ? 3 ? 2n ? 3 1? q
n ?1

如果 a1 ? 2, 则 an =a1q 山东理 15. 设函数 f ( x) ?

n ?1

? 2 ? 3n?1. Sn =

a1 (1 ? q n ) ? 3n ? 1 1? q

x ( x ? 0) ,观察: x?2 x f1 ( x) ? f ( x) ? , x?2 x f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? , 3x ? 4 x f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f3 ( x)) ? , 15 x ? 16

??
根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N ? 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ? 【答案】 .

x (n ? 1) x ? n 2
2

【 解 析 】 观 察 知 : 四 个 等 式 等 号 右 边 的 分 母 为 x ? 2,3x ? 4,7 x ? 8,15x ? 16 , 即

(2 ?1) x ? 2,(4 ?1) x ? 4,(8 ?1) x ? 8,(16 ?1) x ? 16 , 所以归纳出分母为 f n ( x ) ? f ( f n?1 (x ))
的分母为 (n ? 1) x ? n ,故当 n ? N ? 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ?
2 2

x . (n ? 1) x ? n 2
2

20.(本小题满分 12 分) 等比数列 ? an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行
15

第二列 2

第三列 10

3

第二行 第三行

6 9

4 8

14 18

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2 n . 【解析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ? an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列

?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3n?1 .
n ?1 (Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1) ln an = 2 ? 3 ? (?1) ln 2 ? 3
n ?1

, 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? -

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (ln a1 ? ln a2 ? ?ln an ) ln(2n ?1? 31 ? 32 ??? 3n?1 ) =

=

2(1 ? 3n ) 1? 3

ln a1a2 an

=

3n ? 1 -

3n ? 1- ln(2n ? 3

n ( n ?1) 2

) ,所以 S2 n = 32 n ? 1 - ln(22n ? 3

2 n (2 n ?1) 2

) = 9n ? 1 - 2n ln 2 ? (2n2 ? n) ln 3 .

(20) (本小题满分 12 分) 等比数列 ? an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2 n .
n

山东文没有新题 陕西理 13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为 . 【分析】 归纳总结时, 看等号左边是子的变化规律, 右边结果的特点, 然后归纳出一般结论. 行 数、项数及其变化规律是解答本题的关键. 【解】把已知等式与行数对应起来,则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数 n ,加数 的个数是 2n ? 1;等式右边都是完全平方数, 行数 等号左边的项数
16

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 所以 n ? (n ? 1) ? ? ? [n ? (2n ? 1) ? 1] ? (2n ? 1) ,
2

1 2 3 4 ??

1 3 5 7 ??

即 n ? (n ? 1) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1)

2

【答案】 n ? (n ? 1) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1)

2

14. 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵, 相邻两棵树相距 10 米. 开 始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边, 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走 的路程总和最小,这个最小值为 (米) . 【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题. 【解】 (方法一)设树苗放在第 i 个树坑旁边(如图) ,

1 2 ? ? i 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是

19

20

s ? (i ? 1) ?10 ? (i ? 2) ?10 ? ? ? (i ? i) ?10 ? [(i ? 1) ? i] ?10 ? ? ? (20 ? i) ?10

? 10 ? [i ? i ?

i(i ? 1) (20 ? i)(i ? 1 ? 20) ? i ? (20 ? i) ? ] 2 2

? 10(i 2 ? 21i ? 210) ,所以当 i ? 10 或 11时, s 的值最小,最小值是 1000,所以往返路程
的最小值是 2000 米. (方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最 值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个 树坑旁,则有路程总和是 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 10 ?

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 ;树苗放在第 2

10 个(或第 11 个)树坑旁边时,路程总和是 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2

? 10 ?

9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ? 2 ? 900 ? 1100 ? 2000 , 所 以 路 程 总 和 最 小 为 2 2

2000 米. 【答案】2000 19. (本小题满分 12 分) 如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y ? e 于点 Q1 (0,1) ,曲线在 Q1 点处的切线与 x
x

轴交于点 P2 .再从 P2 做 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,

17

依次重复上述过程得到一系列点: P 2 , Q2 ;?; P n , Qn ,记 P 1 , Q1 ; P k 点的坐标为 ( xk , 0) ( k ? 0,1,2,?, n ) . (1)试求 xk 与 xk ?1 的关系( 2 剟k ; n)

(2)求 | PQ 1 1 | ?| P 2Q2 | ? | PQ 3 3 | ?? ? | P nQn | . 【分析】 (1)根据函数的导数求切线方程,然后再求切线与 x 轴的交点坐标; (2)尝试求出 通项 | PnQn | 的表达式,然后再求和. 【解】 (1)设点 Pk ?1 的坐标是 ( xk ?1 ,0) ,∵ y ? e ,∴ y? ? e ,
x x

∴ Qk ?1 ( xk ?1 , e

xk ?1

) ,在点 Qk ?1 ( xk ?1 , e xk ?1 ) 处的切线方程是 y ? e xk ?1 ? e xk ?1 ( x ? xk ?1 ) ,
. n)

令 y ? 0 ,则 xk ? xk ?1 ? 1 ( 2 剟k

(2)∵ x1 ? 0 , xk ? xk ?1 ? ?1 ,∴ xk ? ?(k ? 1) , ∴ | Pk Qk |? e
xk

? e? ( k ?1) ,于是有

?1 ?2 | PQ ? ? ? e? ( k ?1) ? 1 1|?| P 2Q2 | ? | PQ 3 3 | ?? ? | P nQn | ? 1 ? e ? e

1 ? e? n 1 ? e?1

?

e ? e1?n , e ?1 e ? e1?n . e ?1

即 | PQ 1 1|?| P 2Q2 | ? | PQ 3 3 | ?? ? | P nQn | ?

陕西文 10.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使各位 同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小, 树苗可以放置的两个最佳 坑位的编号为 .... ( ) (B)⑨和⑩ (C) ⑨和 (D) ⑩和

(A)①和

【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和;或根据路程和的变化规律直接得出结论. 【解】选 D (方法一) 选 项 具体分析 结论

18

A

①和

: 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 3800 ⑨:

10 ?[(1 ? 2 ? ? ? 8) ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 11) ? 2] ? 2040
B ⑩: 比 较 各个路程 和可知 D 符合题意

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 =2000
: C

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 =2000
D ⑩和 :路程和都是 2000

(方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最 值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放 在第一个树坑旁,则有路程总和是 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 10 ? 苗 放 在 第 10 个 ( 或 第 11

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 ;树 2

个 ) 树 坑 旁 边 时 , 路 程 总 和 是

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 ? 10 ?

? 900 ? 1100 ? 2000 ,所以路程总和最小为 2000 米.

9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ?2 2 2

上海理 14.已知点 O(0,0)、Q0(0,1)和点 R0(3,1),记 Q0R0 的中点为 P1,取 Q0P1 和 P1R0 中的一条,记 其端点为 Q1、R1,使之满足 ?| OQ1 | ?2 ??| OR1 | ?2 ? ? 0 ,记 Q1R1 的中点为 P2,取 Q1P2 和 P2R1 中的一条,记其端点为 Q2、R2,使之满足 ?| OQ2 | ?2 ??| OR2 | ?2 ? ? 0 .依次下去,得到

P n |? 1, P 2 ,? , P n ,? ,则 lim | Q0 P
n ??

.

3

18.设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形的面积( i ? 1, 2,? ) ,则

{ An } 为等比数列的充要条件是(
(A) {an } 是等比数列.

)D

(B) a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 或 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 是等比数列. (C) a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 均是等比数列. (D) a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 均是等比数列,且公比相同. 22.(本大题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第二小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

19

已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N *) .将集合

{x x ? an , n ? N *}? {x x ? bn ,n ? N *} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列

c1 , c2 , c3? , ,nc? ,
(1)写出 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中,但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? ; (3)求数列 {cn } 的通项公式. 22、?

c1 ? 9 , c2 ? 1 1c ,3 ? 1 2 c4 ,? ; 13

* ? ① 任 意 n ? N , 设 a2 n ?1 ? 3(2n ? 1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 , 则 k ? 3n ? 2 , 即

a2 n ? 1 ? b 3n ? 2
② 假设 a2 n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ?

1 ,∴ ? N * (矛盾) 2

a2 n ?{bn }

∴ 在数列 {cn } 中、但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 。 ? b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1 ,

b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2 k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6? k 6 ?7

∴ 当 k ? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,??

? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? ,k ? N* ∴ cn ? ? ? 6k ? 6 ( n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k )
上海文 2、 计算 lim(1 ?
n ??

3n )= n?3

?2

23.(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 的 通 项 公 式 分 别 为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N *) . 将 集 合

{x x ? an , n ? N *} ? {x x ? bn , n ? N *} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列

c1 , c2 , c3? , ,nc? ,
(1)求三个最小的数,使它们既是数列 {an } 中的项,又是数列 {bn } 中的项;
20

(2)数列 c1 , c2 , c3 ,? , c40 中有多少项不是数列 {bn } 中的项?请说明理由; (3)求数列 {cn } 的前 4n 项和 S4 n (n ? N *) . 23、解:? 三项分别为 9,15, 21 。 ? c1 , c2 , c3 ,? , c40 分别为

9,11,12,13,15,17,18,19, 21, 23, 24, 25, 27, 29,30,31,33,35,36,37, 39, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67
? b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1 , b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2 k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7 ∵

6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6? k 6 ?7

? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? , k ? N * 。 c4 k ?3 ? c4 k ?2 ? c4 k ?1 ? c4 k ? 24k ? 21 ∴ cn ? ? ? 6k ? 6 ( n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k )

S4 n ? (c1 ? c2 ? c3 ? c4 ) ? ? ? (c4 n?3 ? c4 n?2 ? c4 n?1 ? c4 n ) ? 24 ?


n(n ? 1) ? 21n ? 12n 2 ? 33n 2

四川理 8.数列 {an } 的首项为 3, {bn } 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N*) ,若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 , 则 a8 ? (A)0 (B)3 (C)8 (D)11 答案:B 解 析 : {bn } 为 等 差 数 列 , 由 b3 ? ?2 , b10 ? 12 及 b10 ? b3 ? 7d 解 得 d ? 2 , 故 即 bn ? 2n ? 8 , 故 a2 ?a1 ?b1 ?? 6 ,a3 ? a2 ? b2 ? ?4 ,a4 ? a3 ? b3 ? ?2 , ?, bn ? ?2 ? 2(n ? 3) ,
a8 ? a7 ? b7 ? 6 ,相加得 a8 ? a1 ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ,故 a8 ? a1 ? 3 ,选 B. 11 . 定 义 在 [0, ??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x)? 3 f ( , ) , ? x 2 ) 当 x ? [ 0 , 2时

f ( x)? ? 2x ? 2.设 x f ( x) 在 [2n ? 2,2n) 上的最大值为 an (n ? N*) ,且 {an } 的前 n 项和为 S n ,

则 lim S n ?
n ??

(A)3 答案:D

(B )

5 2

(C)2

(D)

3 2

1 ) , f(? x 2, ) 当 x ?[ 0 , 2 时 3 1 1 1 2 f ( x)? ? x ?2, x a1 ? 1 ; 当 x ?4 时, ) 2 ,[ x ? 2 ?[0, 2) ,f ( x) ? f ( x ? 2) ? (? x 2 ? 2 x) , a2 ? ; 3 3 3 当 时 , , x ?[2n ? 2,2n) x ? 2n ? [ 1 1 1 1 1 1 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 2 ? 2) ? 3 f ( x ? 2 ? 3) ? ? ? n f ( x ? 2n) ? n (? x 2 ? 2 x) ,则 an ? n , 3 3 3 3 3 3

解 析 : ∵ f ( x) ? 3 f ( x ? 2) , ∴ 当 x ? 2 时 , f ( x)?

0

,

21

lim S n ?
n ??

3 ? ,选 D. 1 2 1? 3 20. (本小题共 12 分)

1

1 1 2 2 n ?1 n ?1 n n 设 d 为非零实数, an ? [Cn . d ? 2Cn d ? ? ? (n ? 1)Cn d ? nCn d ] ( n ? N* ) n (Ⅰ)写出 a1,a2,,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理 由; (Ⅱ)设 bn=ndan( n ? N* ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力, 分析问题、 解决问题的 能力和化归与转化等数学思想. 解: (Ⅰ)由已知可得 a1 ? d , a2 ? d (1 ? d ) , a2 ? d (1 ? d )2 . n! (n ? 1)! r r ?1 当 n ? 2 , k ? 1 时,∵ rCn ?r? ? n? ? nCn ?1 ,因此 r !? (n ? r )! (r ? 1)!? (n ? r )! 1 1 2 2 n ?1 n ?1 n n ∴ an ? [Cn d ? 2Cn d ? ? ? (n ? 1)Cn d ? nCn d ] n 1 0 1 2 n ? 2 n ?1 n ?1 n ? (nCn ? nCn ?1d ? nCn ?1d ? ? ? nCn ?1 d ?1 d ) n 0 1 n?2 n?2 n ?1 n ?1 ? d (Cn ? Cn ) ?1 ? Cn ?1d ? ? ? Cn ?1 d ?1 d
? d (1 ? d )n ?1 .

由此可见,当 d ? ?1 时,∵

an ?1 ? 1 ? d ,故{an}是以 a1 ? d 为首项, 1 ? d 为公比的等比 an

数列; 当 d ? ?1 时, a1 ? ?1 , an ? 0 ( n ? 2 ) ,{an}不是等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, an ? d (1 ? d )n?1 ,从而 bn ? d 2 ? n(1 ? d )n?1 ,
Sn ? d 2 [1 ? 2(1 ? d ) ? 3(1 ? d )2 ? ? ? n(1 ? d )n ?1 ]



当 d ? ?1 时, Sn ? d ? 1 . 当 d ? ?1 时,①两边同乘以 1 ? d 得 (1 ? d )Sn ? d 2 [(1 ? d ) ? 2(1 ? d )2 ? 3(1 ? d )3 ? ? ? n(1 ? d )n ] ①,②式相减可得:
2



(1 ? d )n ? 1 ? n(1 ? d )n ] . d 化简即得 Sn ? (d ? 1)n (nd ? 1) ? 1 .综上, Sn ? (d ? 1)n (nd ? 1) ? 1 . 四川文
?dSn ? d 2 [1 ? (1 ? d ) ? (1 ? d )2 ? ? ? (1 ? d )n?1 ? n(1 ? d )n ] ? d 2 ? [

9.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1 =3Sn(n ≥1) ,则 a6= (A)3 × 4 答案:A 解析:由 an+1 =3Sn,得 an =3Sn-1(n ≥ 2) ,相减得 an+1-an =3(Sn-Sn-1)= 3an,则 an+1=4an (n ≥ 2) ,a1=1,a2=3,则 a6= a2·4 =3×4 ,选 A. 20. (本小题共 12 分) 已知 {an } 是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, S n 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S1 、 S 3 、 S 4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 S m 、 S n 、 S l 成等差数列时,求证:对任意自然数 k, am? k 、 an? k 、 al ? k 也成 等差数列.
22
4 4 4

(B)3 × 4 +1

4

(C)4

4

(D)4 +1

4

本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、 解决问题的 能力. 解: (Ⅰ)由已知, an ? aq n ?1 ,因此 S1 ? a , S3 ? a(1 ? q ? q 2 ) , S4 ? a(1 ? q ? q 2 ? q3 ) . 当 S1 、 S 3 、 S 4 成等差数列时, S1 ? S4 ? 2S3 ,可得 aq3 ? aq ? aq 2 .
1? 5 . 2 (Ⅱ)若 q ? 1 ,则 {an } 的每项 an ? a ,此时 am? k 、 an? k 、 al ? k 显然成等差数列.

化简得 q 2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ?

若 q ? 1 , 由 S m 、 S n 、 S l 成 等 差 数 列 可 得 Sm ? S? l 2
a( q ? 1 ) ? q ?1
m

即 S, n

a ( ? q ? q ? 1
l

1 ) a? 2q ( . ?q 1
n

1 )

整理得 q m ? ql ? 2q n .因此, am? k ? al ? k ? aq k ?1 (q m ? ql ) ? 2aq n ? k ?1 ? 2an ? k . 所以, am? k 、 an? k 、 al ? k 也成等差数列. 天津理 6.已知 ? an ? 是首项为 1 的等比数列, S n 是 ? an ? 的前 n 项和,且 9S3 ? S6 .则 ? 前 5 项和为( A. ) . B.

?1? ?的 ? an ?

15 或5 8 31 C. 16

31 或5 16 15 D. 8
9 ?1 ? q 3 ? 1? q ? 1 ? q6 , 1? q

【解】设数列 ? an ? 的公比为 q ,由 9S3 ? S6 可知 q ? 1 .于是又

6 3 于是 q ? 9q ? 8 ? 0 ,即 q ? 1 q ? 8 ? 0 ,因为 q ? 1 ,则 q ? 2 .
3 3

?

??

?

1 ?1? 1 q5 ? 1 31 q5 数列 ? ? 的首项为 1 ,公比为 ,则前 5 项和 T5 ? ? 4 ? .故选C. 1 q ? q ? 1? 16 q ? an ? 1? q 1?
22. (本小题满分 14 分)在数列 ? an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N ? , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成 等差数列,其公差为 d k . (Ⅰ)若 d k ? 2k ,证明 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列; (Ⅱ)若对任意 k ? N ? , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk . (ⅰ) 设 q1 ? 1 ,证明 ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? qk ? 1 ?
n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 ? n ? 2 ? . 2 k ? 2 ak

(ⅱ) 若 a2 ? 2 ,证明
23

【解】 (Ⅰ)解法 1.由题设可得 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 4k , k ? N ? . 所以 a2 k ?1 ? a1 ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? L ? a3 ? a1 ?

4k ? 4 ? k ? 1? ? L ? 4 ?1 ? 2k ? k ? 1? .
因为 a1 ? 0 ,所以 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? . 从而由 a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等差数列,其公差为 2k 得 a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 2k .
2

于是 a2 k ? 2 ? 2 ? k ? 1? .
2

因此

a2 k ?1 k ? 1 a2 k ? 2 k ? 1 a a k ?1 ? ? , ,所以 2 k ? 2 ? 2 k ?1 ? , a2 k k a2 k ?1 a2 k k a2 k ?1 k

于是当 d k ? 2k 时,对任意 k ? N ? , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列. 解法 2.用数学归纳法. (1) 当 k ? 1 时 , 因 为 a1 , a 2, a 3成 公 差 为 2k ? 2 的 等 差 数 列 , 及 a1 ? 0 , 则

a2 ? 2, a3 ? 4 .
当 k ? 2 时,因为 a3 , a4 , a5 成公差为 2k ? 4 的等差数列,及 a3 ? 4 ,则 a4 ? 8, a5 ? 12 . 由 a2 ? 2, a3 ? 4 , a4 ? 8 ,所以 a2 , a3 , a4 成等比数列. 所以当 k ? 1 时,结论成立; (2) 假设对于 k 结论成立,即

a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成公差为 d k ? 2k 等差数列, a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,
设 a2 k ? u ,则 a2 k ?1 ? u ? 2k , a2 k ? 2 ?
2 ? u ? 2k ? a2 k ?1 ? , a2 k u 2

又由题设 a2 k ?1 , a2 k ? 2 , a2 k ?3 成公差为 d k ? 2 ? k ? 1? 等差数列, 则a
2k ?2

? a2 k ?1 ? 2 ? k ? 1? ? u ? 2k ? 2k ? 2 ? u ? 4k ? 2 ,
2

因此

? u ? 2k ?
u

? u ? 4k ? 2 ,解得 u ? 2k 2 .
2 2

2 于是 a2 k ?1 ? 2k ? 2k ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2 ? 2k ? 2k ? 2k ? 2 ? 2 ? k ? 1? .

a2 k ?3 ? 2 ? k ? 1? ? 2 ? k ? 1? ? 2 ? k ? 1?? k ? 2 ? .
2

24

再由题设 a2 k ?3 , a2 k ? 4 , a2 k ?5 成公差为 d k ? 2 ? k ? 2 ? 等差数列, 及 a2 k ?3 ? 2 ? k ? 1?? k ? 2 ? , 则 a2 k ? 4 ? a2 k ?3 ? 2 ? k ? 2 ? ? 2 ? k ? 1?? k ? 2 ? ? 2 ? k ? 2 ? ? 2 ? k ? 2 ? .
2

因为 a2 k ? 2 ? 2 ? k ? 1? , a2 k ?3 ? 2 ? k ? 1?? k ? 2 ? , a2 k ? 4 ? 2 ? k ? 2 ? ,
2 2

2 ? k ? 2? 2 ? k ? 1?? k ? 2 ? k ? 2 a2 k ? 4 a k ?2 ? ? ? 所以 2 k ?3 ? , , 2 a2 k ? 2 k ? 1 a2 k ?3 2 ? k ? 1?? k ? 2 ? k ? 1 2 ? k ? 1?
2

于是 a2 k ? 2 , a2 k ?3 , a2 k ? 4 成等比数列.于是对 k ? 1 结论成立, 由(1),(2),对对任意 k ? N ? ,结论成立. (Ⅱ)(ⅰ)证法 1.由 a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等差数列, a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列, 则

2a2 k ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 , 即 2 ?

a2 k ?1 a2 k ?1 1 ? ? ? qk . 因 为 q1 ? 1 , 可 知 a2 k a2 k qk ?1

qk ? 1 ? k ? N ? ? ,
从而

1 1 1 1 1 ? ?1, ? ? ? 1 ,即 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1 2 ? 1 ? 1 qk ?1 ? 1 qk ?1
? 1 ? ? 是等差数列,且公差为 1 . ? qk ? 1 ?

所以 ?

证法 2.由题设, d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? qk a2 k ? a2 k ? a2 k ? qk ? 1? ,
2 d k ?1 ? a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk a2 k ? qk a2 k ? a2 k qk ? qk ? 1? ,所以 d k ?1 ? qk d k .

qk ?1 ?

a2 k ?3 a2 k ? 2 ? d k ?1 d ? ? 1 ? 2k ?1 a2 k ? 2 a2 k ? 2 qk a2 k

? 1?

a ? q ? 1? qk d k d 1 ? 1 ? k ? 1 ? 2k k ? 2? . 2 qk a2 k qk a2 k qk a2 k qk

因为 q1 ? 1 ,可知 qk ? 1 ? k ? N ? ? ,于是

q 1 1 ? k ? ?1. qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

所以 ?
25

? 1 ? ? 是等差数列,且公差为 1 . ? qk ? 1 ?

(ⅱ)

证法 1.由(Ⅰ)得解法 1 和解法 2 均可得 qk ?
2

k ?1 . k

a a k ? 1 a2 k ? 2 ? k ? 1 ? ?? 从而 2 k ? 2 ? 2 k ?1 ? , ? , a2 k a2 k ?1 a2 k k ? k ?

k ? 1? ? a2 k a2 k ?2 a4 k2 22 因此 a2 k ? ? ?L ? ? a2 ? ? ? L ? 2 ? 2 ? 2k 2 , k ? N ? , 2 2 a2 k ?2 a2 k ?4 a2 1 ? k ? 1? ? k ? 2?
2

a2 k ?1 ? a2 k ?

k ?1 k ?1 ? 2k 2 ? ? 2k ? k ? 1? , k ? N? . k k

(1) 当 n 为偶数时,设 n ? 2m ? m ? N ? ? . 若 m ? 1,则 2n ? 若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? k2 ?? ? ? a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?2 n 2
m m ?1 ? ? 4k 2 ? 4k 1 ? ? 2 ?? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? k ?1 k ? 2 ? 2 k ? k ? 1?

n k2 22 3 k2 ? 4 ? ? 2 ? 2 n ? ?2; ,满足 ? ? 2 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

2

??
k ?1

m

? 2k ?
2k 2

2

? 2k ? 1? ?? k ? 2 2 k ? k ? 1?
n 2

m ?1 ? 1?1 1 ?? 1? 1? 3 1 ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2m ? 2 ? m ? 1? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? . 2 ? k k ? 1 ?? 2? m? 2 n k ?1 ? n k2 3 1 3 k2 ? ? ,所以 ? 2n ? ? ? 2 , n ? 4,6,8,L . 所以 2n ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1 ? m ? N ? ? .

k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? ?? ? ? a2 m ?1 k ? 2 ak k ? 2 ak
n

2

? 2m ? 1? 3 1 ? 4m ? ? ? 2 2m 2m ? m ? 1?
2

? 4m ?

1 1 ? 2 2 ? m ? 1?

3 1 . ? 2n ? ? 2 n ?1
n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2 , n ? 3,5,7,L . 所以 2n ? ? ,所以 ? 2n ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 . 2 k ? 2 ak

由(1),(2)可知,对任意 n ? 2 ,

证法 2.由(Ⅰ)得解法 1 和解法 2 均可得 qk ?

d k ?1 k ?1 .从而 k ?1 ? qk ? . dk k k

26

所以

dk d d d k k ?1 2 ? k ? k ?1 ? L ? 2 ? ? ? L ? ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d k ? 2k . d1 d k ?1 d k ? 2 d1 k ? 1 k ? 2 1

2 于是由(Ⅰ)知 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k .以下同证法1.

天津文 15.设 ? an ? 是等比数列,公比 q ?

2 , S n 为 ?an ? 的前 n 项和.记 Tn ?


17 Sn ? S2 n , an ?1

n ? N? ,设 Tn0 为数列 ?Tn ? 的最大项,则 n0 ?
【解】 4 .

设 a1 ? 1 ,则 an ?

? 2?
?

n?1

, an?1 ?

? 2?

n

, Sn

? 2? ?

n

?1

2 ?1

?

an?1 ? 1 2 ?1



S2 n

? 2? ?

2n

?1

2 an ?1 ? 1

2 ?1

2 ?1



Tn ?

17 Sn ? S2 n ? an ?1

17 ?

2 an ?1 ? 1 an ?1 ? ?1 2 ?1 2 ? 1 ? ? 1 ? a ? 16 ? 17 ? , ? n ?1 ? an ?1 an ?1 2 ?1 ? ?

因为函数 g ? x ? ? x ? 所以 Tn ? ? 此时 an?1 ?

16 ? x ? 0 ? 在 x ? 4 时,取得最小值, x

? ? 16 ? 17 ? 在 an?1 ? 4 时取得最大值. ? an ?1 ? an ?1 2 ?1 ? ? 1

? 2?

n

? 4 ,解得 n ? 4 .即 T4 为数列 ?Tn ? 的最大项,则 n0 ? 4 .

22. (本小题满分 14 分)在数列 ? an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N ? , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成 等差数列,其公差为 2k . (Ⅰ)证明 a4 , a5 , a6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)记 Tn ?

?an ? 的通项公式;
22 32 n2 3 ? ? L ? .证明 ? 2n ? Tn ? 2 ? n ? 2 ? . a2 a3 an 2

【解】 ( Ⅰ ) 由 题 设 可 知 , a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,

a5 ? a4 ? 4 ? 12 , a6 ? a5 ? 6 ? 18 ,所以
27

a6 a5 3 ? ? .因此 a4 , a5 , a6 成等比数列. a5 a4 2

(Ⅱ)由题设可得 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 4k , k ? N ? . 所以 a2 k ?1 ? a1 ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? L ? a3 ? a1 ? = 4k ? 4 ? k ? 1? ? L ? 4 ?1 ? 2k ? k ? 1? .因为 a1 ? 0 ,所以 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? . 从而由 a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等差数列,其公差为 2k 得 a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 2k .
2

? n2 ? 1 , n ? 2k ? 1, ? ? 2 所以,数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ? 2 ?n , n ? 2k , k ? N ? ?2
n 2 ? ?1? ? 1 ? , n ? N? . (或 an ? 2 4
n
2 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k . k ? N ?

下面对 n 分为奇数和偶数讨论. (1) 当 n 为偶数时,设 n ? 2m ? m ? N ? ? . 若 m ? 1,则 2n ? 若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? k2 ?? ? ? a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?2 n 2
m m ?1 ? ? 4k 2 ? 4k 1 ? ? 2 ?? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? k ?1 k ? 2 ? 2 k ? k ? 1?

n k2 22 3 k2 ? 4 ? ? 2 ? 2 n ? ?2; ,满足 ? ? 2 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

2

??
k ?1

m

? 2k ?
2k 2

2

? 2k ? 1? ?? k ? 2 2 k ? k ? 1?
n 2

m ?1 ? 1?1 1 ?? 1? 1? 3 1 ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2m ? 2 ? m ? 1? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? . 2 ? k k ? 1 ?? 2? m? 2 n k ?1 ? n k2 3 1 3 k2 ? ? ,所以 ? 2n ? ? ? 2 , n ? 4,6,8,L . 所以 2n ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1 ? m ? N ? ? .

k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? ?? ? ? a2 m ?1 k ? 2 ak k ? 2 ak
n

2

? 2m ? 1? 3 1 ? 4m ? ? ? 2 2m 2m ? m ? 1?
2

? 4m ?

1 1 ? 2 2 ? m ? 1?

3 1 . ? 2n ? ? 2 n ?1
28

所以 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2 n ? ? 2 , n ? 3,5,7,L . ,所以 ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 . 2 k ? 2 ak

由(1),(2)可知,对任意 n ? 2 ,

浙江理 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ?满足: a1 ? 2 且 a n ?1 ?

2?n ? 1?a n ? (n? N ) an ? n

(Ⅰ)求证:数列 ?

?n ? ? 1? 为等比数列,并求数列 ?a n ?的通项公式; ? an ?

(Ⅱ)证明:

a a1 a 2 a3 。 ? ? ? ... ? n ? n ? 2 ( n ? N ? ) 1 2 3 n

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题得:an+1(an+n)=2(n+1)an , 即 a n a n ?1 ? nan ?1 ? 2(n ? 1)a n 故 2? ?

? n ?1 ? n ?n ? ? 1? ? ? 1 即数列 ? ? 1? 为等比数列, ??3 分 ? ? a n ?1 ? an ? an ?
n ?1

n ? 1 ?? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?? ? an ? 2 ?? 2 ?
(Ⅱ)由上知

?1? ? ?? ? , ?2?

n

? an ? n ?

n 2 ?1
n

??7 分

an 1 ? 1? n 2n ?1

??????????????8 分

?

a a1 a 2 a3 1 1 1 1 ? ? ? ... ? n ? n ? 0 ? 1 ? 2 ? ... ? n?1 1 2 3 n 2 2 2 2
n ?1

? ? 1 ?n ? ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? n? ? 1 1? 2

?1? ? n? 2?? ? ?2?

? n?2。
? ? 2 n? 3 ?

浙江文(17)若数列 ?n(n ? 4)( ) ? 中的最大项是第 k 项,则 k =_______________。4

(19) (本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的首项为 a(a ? R) ,且

1 1 , , a1 a 2

29

1 成等比数列. a4
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较
*

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 与 的大小. a2 a2 a2 a1 a2

(19) 本题主要考查等差、 等比数列的概念以及通项公式, 等比数列的求和公式等基础知识, 同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意可知 ( 即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,从而 a1 d ? d
2 2

1 2 1 1 ) ? ? a2 a1 a4

因为 d ? 0, 所以d ? a1 ? a. (Ⅱ)解:记 Tn ?

故通项公式 an ? na.

1 1 1 ? ??? ,因为a2n ? 2n a a2 a22 a2n

1 1 (1 ? ( ) n ) 1 1 1 1 1 2 1 1 2 所以 Tn ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? ? ? [1 ? ( )n ] 1 a 2 2 a a 2 2 1? 2
从而,当 a ? 0 时, Tn ? 重庆理(3)已知 lim(
x ??

1 1 ;当 a ? 0时, Tn ? . a1 a1
D (D) 6 74

(A) ??

? ax ?? ? ) ? ? ,则 a ? x ?? ?x
(C) 3

(B) 2

(11)在等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________ (21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设实数数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ,满足 Sn?1 ? an?1Sn ,(n ? N )
?

(Ⅰ)若 a1 , s2 , ?2a2 成等比数列,求 S 2 和 a3 ; (Ⅱ)求证:对 k ? 3 有 0 ? ak ?1 ? ak ? 解: (Ⅰ)由题意 ?
2 ? S2 ? ?2a1a2

4 3

? S 2 ? a2 S1 ? a1a2

2 ? S2 ? ?2 S 2 ,因为 S2 ? 0 所以 S 2 ? ?2 ;

由 S2 ? a3 ? S3 ? a3 S 2 ? a3 ?
30

S2 2 ? ; S2 ? 1 3











Sn ? 1 an?1 ? ,
Sn a , S1n ? n?1 ; Sn ? 1 an?1 ? 1



1





Sn?1 ? an? Sn ? S 1 n ? an ? ? an ? S n ? a1 n? ?

1

ak ?1 2 S k ?1 ak ?1 ? S k ?2 ak ak ?1 ? 1 ?1 从而 k ? 3 时有: ak ? ? ? ? 2 a S k ?1 ? 1 ak ?1 ? S k ?2 ? 1 a ? k ?1 ? 1 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 k ?1 ak ?1 ? 1 ak ?1 ?
2 2 因为 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? ( ak ?1 ? ) ?

1 2

3 ? 0 ,且 ak2?1 ? 0 ,所以 ak ? 0 ; 4

要证 ak ?
2

2 ak 4 4 ?1 ? , ,只要证 2 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3 3
2 2 2

即证 3ak ?1 ? 4ak ?1 ? 4ak ?1 ? 4 ? ak ?1 ? 4ak ?1 ? 4 ? 0 ? (ak ?1 ? 2) ? 0 此式显然成立, 所以 k ? 3 时有 ak ?

4 。 3
2 ak a ? ak ,又 ak ? 0 ,故 2 k ?1 2 ak ? ak ? 1 ak ? ak ? 1

最后证 ak ?1 ? ak ,若不然, ak ?1 ?
2

即 (ak ? 1) ? 0 ,矛盾,所以 ak ?1 ? ak ( k ? 3 ) 。 重庆文(16)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) 设 是公比为正数的等比数列, 的通项公式; 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 ,
n

,

.

(Ⅰ)求 (Ⅱ)设

的前 项和
2

.

解:(Ⅰ)设 等比数列的公比为 q, q ? 0 ,由 ,所以数列 q ? 2 或 q ? ?1 (舍去) (Ⅱ) S n ? 2
n ?1

得 2q ? 2q ? 4 ,即

的通项公式为 an ? 2 ;

? n2 ? 2 。

31


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