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2016届江西省宜春市上高二中高三(上)11月月考数学试卷(理科)(a部)(解析版)

时间:


2015-2016 学年江西省宜春市上高二中高三 11 月月 (上) 考数学试卷(理科)(A 部)
参考答案与试题解析

一.选择题(12×5) 1.已知集合 A={x|x<﹣3 或 x>4},B={x|x≥m}.若 A∩B={x|x>4},则实数 m 的取值范围 是( ) B.[﹣3,4] C.(﹣3,4) D.(一∞,4]

A.(﹣4,3)

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】由 A,B,以及 A 与 B 的交集,求出 m 的范围即可. 【解答】解:∵A={x|x<﹣3 或 x>4},B={x|x≥m},且 A∩B={x|x>4}, ∴实数 m 的取值范围为[﹣3,4], 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.设 x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解:由“|x﹣2|<1”得 1<x<3, 由 x2+x﹣2>0 得 x>1 或 x<﹣2, 即“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.

3.已知 a=1.5﹣0.2,b=1.30.7,c= A.c<a<b B.c<b<a

则 a,b,c 的大小为( C.a<b<c

) D.a<c<b

【考点】指数函数的图象与性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由指数函数的单调性,先分析三个指数式与 1 的大小,再化为同底的指数式,结合 单调性进行比较,可得答案. 【解答】解:∵b=1.30.7>1, a=1.5﹣0.2= <1,

c=

<1,

> 故 c<a<b, 故选:A



【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质,数的大小比较,难度不大,属于基础 题.

4.已知 cos(π﹣θ)=3m(m<0),且 cos(

+θ)(1﹣2cos2

)<0,则 θ 是(



A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

【考点】二倍角的余弦;三角函数的化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由已知可得 cosθ∈(0,1),利用诱导公式化简已知不等式可得 sinθcosθ<0,得解 sinθ>0,即可判断象限角. 【解答】解:∵cos(π﹣θ)=3m(m<0),0<3m<1 ∴﹣cosθ∈(0,1), ∵cos( +θ)(1﹣2cos2 )=sinθcosθ<0,

∴sinθ>0, ∴θ 是第二象限角. 故选:B. 【点评】本题主要考查了诱导公式,三角函数的图象和性质的应用,属于基础题.

5.已知函数 图象如图所示,则 =( )

在一个周期内的

A.1

B.

C.﹣1

D.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】由图知,A=2,易求 T=π,ω=2,由 f( 得函数 y=f(x)的解析式,继而得 f( 【解答】解:由图知,A=2,且 T= ∴T=π,ω=2. ∴f(x)=2sin(2x+φ), 又 f( )=2, +φ)=1, (k∈Z),又|φ|< , )的值. ﹣ = , )=2,|φ|< ,可求得 φ= ,从而可

∴sin(2× ∴ ∴φ=

+φ=2kπ+ ,

∴f(x)=2sin(2x+ ∴f( )=2sin

), =1,

故选:A. 【点评】本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,求 φ 是难点,考查识图与 运算能力,属于中档题.

6.已知函数 f(x)=2sinxsin(x+ (2x﹣φ)的图象( A.关于点( )

+φ)是奇函数,其中 φ∈(0,π),则函数 g(x)=cos

,0)对称 个单位得到 个单位得到 个单位得到

B.可由函数 f(x)的图象向右平移 C.可由函数 f(x)的图象向左平移 D.可由函数 f(x)的图象向左平移

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用诱导公式,正弦函数、余弦函数的奇偶性,函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象变换规律,可得结论. 【解答】解:由于函数 f(x)=2sinxsin(x+ 数, 故 φ+ + =kπ+ k∈Z, , 即 φ=kπ+ ). )的图象可以由 f(x)=cos(2x+ )=cos2(x+ )的图象向 π) , 结合 φ∈ (0, , 可得 φ= f =2sinxsin , (x) (x+ +φ)是奇函数,故 y=sin(x+ +φ)是偶函

)=sin2x=cos(2x+

故函数 g(x)=cos(2x﹣ 右平移 个单位得到的,

故选:B. 【点评】本题主要考查诱导公式,正弦函数、余弦函数的奇偶性,函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象变换规律,属于基础题.

7.已知函数 f(x)=

sinwx+coswx(w>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交 )

点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是(

A.[kπ﹣ C.[kπ﹣

,kπ+ ,kπ+

],k∈Z ],k∈Z

B.[kπ+ D.[kπ+

,kπ+ ,kπ+

],k∈Z ],k∈Z

【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 【分析】先把函数化成 y=Asin(ωx+φ)的形式,再根据三角函数单调区间的求法可得答案.

【解答】解:f(x)=

sinwx+coswx=2sin(wx+

),(w>0).

∵f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,恰好是 f(x)的一个周期,



=π,w=2.f(x)=2sin(2x+ ≤2x+

). ≤2kπ+ ,k∈Z.kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,

故其单调增区间应满足 2kπ﹣ 故选 C.

【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法.求三角函数的周期、单调区间、最值都要 把函数化成 y=Asin(ωx+φ)的形式在进行解题.

8.若 0<α< ( A. )

,﹣

<β<0,cos(

+α)=,cos(



)=

,则 cos(α+

)=

B.﹣

C.

D.﹣

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin( 而利用 cos(α+ )=cos[( +α)﹣( ﹣ +α)和 sin( ﹣ )的值,进

)]通过余弦的两角和公式求得答案.

【解答】解:∵0<α< ∴ < + α< +α)= ,

,﹣ < = ﹣

<β<0, < ﹣ )= =

∴sin(

,sin(

∴cos(α+ sin( 故选 C ﹣

)=cos[( )=

+α)﹣(



)]=cos(

+α)cos(



)+sin(

+ α)

【点评】 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值. 关键是根据 cos (α+ +α)﹣( ﹣ )],巧妙利用两角和公式进行求解.

=cos[ ) (

9.已知 A. B.

,则 C.﹣1

=(

) D.±1

【考点】两角和与差的余弦函数. 【专题】计算题. 【分析】先利用两角和公式把 cos(x﹣ 公式化简,把 cos(x﹣ 【解答】解:∵cos(x﹣ ∴cosx+cos(x﹣ =cosx+ 故选 C 【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式 是解本题的关键. sinx= )展开后加上 cosx 整理,进而利用两角和的余弦

)的值代入即可求得答案. )=﹣ , sinx cos(x﹣ )=﹣1.

)=cosx+cosx+ ( cosx+sinx)=

10.已知 α∈(0,π),cos(α+ A. B.﹣

)=﹣ 或﹣

,则 tan2α=( C.﹣

) D.﹣

【考点】两角和与差的余弦函数;二倍角的正切. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 由已知求得 α+ =±1,从而解得 tanα= ∈ ( ﹣2 或 , ) , 从而可求 sin (α+ ) 的值, 进而可求 tan (α+ )

+2,从而由二倍角公式可求 tan2α 的值.

【解答】解:∵α∈(0,π), ∴α+ ∈( , )=﹣ )=± ), , =± ,

∵cos(α+ ∴sin(α+

∴tan(α+

)=

=

=

=±1,

从而解得 tanα= ∴tan2α=

﹣2 或 =

+2, =﹣ 或 tan2α= =

=﹣



故选:C. 【点评】本题考查二倍角的正切,求得 tanα 的值是关键,考查运算能力,属于基本知识的 考查.

11.若把函数

的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图 ) C. D.

象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. B.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】利用两角和的余弦公式对解析式进行化简,由所得到的图象关于 y 轴对称,根据对 称轴方程求出 m 的最小值. 【解答】解:由题意知, 令 2x+ =kπ,k∈Z,可得对称轴方程 x=kπ﹣ =2cos(2x+ ,k∈Z, )

∵函数的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,

∴由对称轴的方程得,m 的最小值是



故选 B. 【点评】本题考查三角函数的图象变换,考查余弦函数图象的特点,属于基础题.

12.已知函数 f(x)=lnx+(x﹣b)2(b∈R)在区间 b 的取值范围是( A. ) B.

上存在单调递增区间,则实数

C.(﹣∞,3)

D.

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;导数的综合应用. 【分析】利用导函数得到不等式恒成立,然后求解 b 的范围. 【解答】解:∵函数 f(x)在区间 ∴函数 f(x)在区间 上存在单调增区间,

上存在子区间使得不等式 f′(x)>0 成立.

, 设 h(x)=2x2﹣2bx+1,则 h(2)>0 或 即 8﹣4b+1>0 或 得 . ,



故选:B. 【点评】本题考查函数的导数的综合应用,不等式的解法,考查计算能力.

二、填空题(4×5) 13.由命题“存在 x∈R,使 x2+2x+m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围为 (1,+∞) .

【考点】特称命题. 【专题】计算题. 【分析】原命题为假命题,则其否命题为真命题,得出?x∈R,都有 x2+2x+m>0,再由△ < 0,求得 m.

【解答】解:∵“存在 x∈R,使 x2+2x+m≤0”, ∴其否命题为真命题,即是说“?x∈R,都有 x2+2x+m>0”, ∴△=4﹣4m<0, 解得 m>1. ∴m 的取值范围为(1,+∞). 故答案为:(1,+∞) 【点评】本题考查了存在命题的否定,不等式恒成立问题.考查转化、计算能力.

14.若 tan x=﹣3,则

=



【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值. 【分析】利用同角三角函数关系式的应用化简所求,代入已知即可求解. 【解答】解:∵tan x=﹣3, ∴ = = = .

故答案为:



【点评】本题主要考查了同角的三角函数关系式的应用,属于基础题.

15.若不等式

恒成立,则实数 a 的最小值为



【考点】函数恒成立问题. 【专题】转化思想;分类法;函数的性质及应用. 【分析】不等式整理为 x2≤logax 在 x∈(0, 小值,利用分类讨论对 a 讨论即可. 【解答】解:不等式 即为 x2≤logax 在 x∈(0, ]时恒成立, 恒成立, ]时恒成立,只需 x2 的最大值小于 logax 的最

∴x2 的最大值小于 logax 的最小值. ∴x2≤≤logax, 当 a>1 时,logax 为递增,但最小值为负数不成立. 当 0<a<1 时,logax 为递减, 最小值在 x= ∴loga ∴a≥, 故 a 的最小值为. 故答案为:. 【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用对数函数的单调性和恒成立思想,考 查运算能力,属于中档题. 上取到,

≥=loga,

16.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,对?x∈R 都有 f(x﹣1)=f(x+1)成立,当 x∈(0,1]且 x1≠x2 时,有 (1)f(1)=0 (2)f(x)在[﹣2,2]上有 5 个零点 (3)点(2014,0)是函数 y=f(x)的一个对称中心 (4)直线 x=2014 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴. 则正确的是 (1)(2)(3) . 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】(1)令 x=0,求 f(1); (2)由题意可得 f(0)=f(1)=f(﹣1)=f(2)=f(﹣2)=0; (3)证明 f(2014+x)=﹣f(2014﹣x)即可; (4)由于(3)正确,故(4)不正确. 【解答】解:(1)由题意,令 x=0,则 f(﹣1)=f(1),即﹣f(1)=f(1),则 f(1) =0; <0.给出下列命题

(2)由题意,f(0)=0,f(1)=f(﹣1)=0,f(2)=f(1﹣1)=f(0)=0,f(﹣2)=0,

则 f(x)在[﹣2,2]上有 5 个零点; (3)由 f(x﹣1)=f(x+1)可知,f(x)以 2 为周期, ∵f(2014+x)=f(x),f(2014﹣x)=f(﹣x)=﹣f(x), ∴f(2014+x)=﹣f(2014﹣x), ∴点(2014,0)是函数 y=f(x)的一个对称中心, (4)由于(3)正确,故(4)不正确; 故答案为:(1)(2)(3). 【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用,属于中档题.

三.简答题(70 分) 17.已知 p:“?x0∈R,使得 x02+mx0+2m﹣3<0”;q:命题“?x∈[1,2],x2﹣m≤0”,若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】转化思想;不等式的解法及应用;简易逻辑. 【分析】求出命题 p,q 为真命题的等价条件,结合 p∨q 为真,p∧q 为假得到 p,q 一真一 假,根据条件关系解不等式即可. 【解答】解:∵命题 p 为真命题的充要条件是△ >0,即 m2﹣4(2m﹣3)>0,

∴m>6 或 m<2.…(3 分) 命题 q 为真命题的充要条件是 m≥4 …(6 分) 若 p∨q 为真,p∧q 为假,则 p,q 一真一假 若 p 真 q 假,得 m<2; 若 q 真 p 假得 4≤m≤6 ∴实数 m 的取值范围为 m<2 或 4≤m≤6 …(10 分) 【点评】 本题主要考查复合命题的真假之间的关系的判断, 求出命题的等价条件是解决本题 的关键.

18.已知函数 f(x)=cos (1)求函数 f(x)的周期 T; (2)求 f(x)的单调递增区间. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】函数思想;综合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】(1))f(x)=cos ( + ﹣ sin ﹣cos ﹣1=﹣cos ﹣ sin ﹣1=﹣sin

)﹣1,代入周期公式即可; + )单调递减,令 +2kπ≤ ≤ +2kπ,解

(2)f(x)单调递增时,y=sin( 出 f(x)的单调递增区间. 【解答】解: (1)f(x)=cos 1 =﹣cos ﹣ sin ﹣1=﹣sin(

=cos



sin

﹣cos



+

)﹣1,

∴T=

=6.

(2)令

+2kπ≤



+2kπ,

∴6k+1≤x≤6k+4,k∈Z ∴f(x)的单调递增区间为[6k+1,6k+4],k∈Z. 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和单调区间,是基础题.

19.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:元/千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ) 求 m 的值; (Ⅱ) 若该商品的成品为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】应用题;函数思想;综合法;导数的概念及应用. ,其中 3<x<6,m 为常数,已知销

【分析】(Ⅰ)通过将 x=5 时 y=11 代入函数解析式计算即得 m 的值; (Ⅱ)通过(Ⅰ)可知 利润 导考查 f(x)在区间(3,6)上的单调性,进而计算可得结论. 【解答】解:(Ⅰ)因为销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克,所以 ;….(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量 所获得的利润: ….(8 分) ,所以商场每日销售该商品 ,利用“利润=销售收入﹣成本”代入计算可知 , 通过求

f'(x)=24(x2﹣10x+24)=24(x﹣4)(x﹣6),令 f'(x)=0 得 x=6 或 x=6(舍去)

f(x)在区间(3,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减, ∴当 x=4 时 f(x)取最大值 f(4)=38…(12 分) 【点评】 本题考查是一道关于函数的简单应用题, 考查运算求解能力, 注意解题方法的积累, 属于中档题.

20.已知函数



(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若关于 x 的方程 f(x)﹣m=1 在 值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 上有两个不等实数解,求实数 m 的取

【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得:f(x)=2cos(2x+ +1,利用周期公式可求最小正周期,由 得 f(x)的单调递增区间.



,即可解

(2)由

,可求

,函数 f(x)的值域为[1,3],

由 f(x)有两个不等实数解,利用余弦函数的图象和性质可得:f(x)∈[2,3),而 f(x) =m+1,从而可得 2≤m+1<3,即可解得 m 的取值范围. 【解答】解:(1)∵ = ∴函数 f(x)的最小正周期 T= 由 . ∴函数 f(x)的单调递增区间为: (2)∵ ∴ ∴ , , , . =π. ,解得, ,

∴函数 f(x)的值域为[1,3], 而方程 f(x)﹣m=1,变形为 f(x)=m+1, ∵f(x)有两个不等实数解,利用余弦函数的图象和性质可得:f(x)∈[2,3),

∴2≤m+1<3,即 1≤m<2, ∴m∈[1,2). 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,周期公式,余弦函数的图象和性质,不 等式的解法及应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=alnx+ (Ⅰ)当 a=2 时,求 f(x)的单调区间;

..

(Ⅱ)若 f(x)在区间(1,2)上不具有单调性,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】(Ⅰ)当 a=2 时,求出 f′(x)的解析式,令 f′(x)=0,求得 x 的值,再利用导数 的符号确定函数 f(x)的单调区间. (Ⅱ)由题意可得,f′(x)=0 在(1,2)上有实数根,且在此根的两侧附近,f′(x)异号.由 f′(x)=0 求得根的值,可得 a 的取值范围 【解答】解:(Ⅰ)当 a=2 时,函数 f(x)=alnx+x2﹣(1+a)x 的定义域为(0,+∞),f′ (x)=+x﹣(1+2)= 令 f′(x)=0,求得 x=1,或 x=2. 在(0,1)、(2,+∞)上,f′(x)>0,f(x)是增函数;在(1,2)上,f′(x)<0,f (x)是减函数. (Ⅱ)若 f(x)在区间(1,2)上不具有单调性,则 f′(x)=+x﹣1﹣a=0 在(1,2)上有 实数根,且在此根的两侧附近,f′(x)异号. 由 f′(x)=0 求得 x=1 或 x=a, ∴1<a<2, 故 a 的取值范围为(1,2). 【点评】本题主要考查求函数的导数,利用导数研究函数的单调性,属于中档题.

22.已知函数 f(x)=+alnx(a 不是 0) (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值和单调区间; (Ⅱ) 若在区间[1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,求实数 a 的取值范围.

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究 函数的极值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)通过 a=1,求出函数的导数,利用导数为 0 求出极值点,判断导函数的符号 即可求解函数单调区间; (Ⅱ) 求出函数的导数,求解极值点,转化在区间[1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0) <0 成立,为求解函数的最值问题,利用 a 的取值范围的讨论,求解函数的最值,即可求得 实数 a 的取值范围.

【解答】解:(I)因为

,…(2 分)

当 a=1,

,令 f'(x)=0,得 x=1,又 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x),

f(x)随 x 的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (0,1) ﹣ ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

所以 x=1 时,f(x)的极小值为 1.…(4 分)f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递 减区间为(0,1); (II)因为 …(5 分) ,且 a≠0,令 f'(x)=0,得到 ,

若在(0,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,其充要条件是 f(x)在区间(0,e]上的 最小值小于 0 即可.(1)当 f(x)在区间(0,e]上单调递减, 故 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 由 (2)当 ①若 ,得 ,即 ,即 a>0 时, ,则 f'(x)≤0 对 x∈(0,e]成立,所以 f(x)在区间(0,e]上单调递减, …(8 分) , ,即 a<0 时,f'(x)<0 对 x∈(0,+∞)成立,所以

所以,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 显然,f(x)在区间(0,e]上的最小值小于 0 不成立 ②若 x f'(x) f(x) ﹣ ↘ 0 极小值 + ↗ ,即 时,则有 …(10 分)



所以 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 由 ,



得 1﹣lna<0,解得 a>e,即 a∈(e,+∞). 综上,由(1)(2)可知: 符合题意.…(12 分)

【点评】 本题考查函数的导数的应用, 考查分类讨论思想的应用, 同时考查转化思想的应用.


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