双曲线及基标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线型自然通风冷却塔
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题
：
Y
M ? x, y ?
F1 ?? c, 0 ?
O
F2? c, 0 ? X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线图象 拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，
|MF1|-|MF2|= -|F1F|= -2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. F 思考：
1
M
o
F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标 系 2.设点．
设 M（ x , y ） , 3.列式 4.化简 5.方程
F1
O
F2
x
F1F2 ? 2C 则F1(-c,0),F2(c,0)
|MF1| - |MF2|=±2a
x y ? ? 1 (a ? 0，b ? 0) 2 2 a b
2
2
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
y
M F2 x
F1
O
F2
x
O
F1
2 2
y x x y (a ? 0，b ? 0) 2 ? 2 ? 1 ? ? 1 2 2 a b a b
2 2
如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 看 x 2 , y 2前的系数，哪一个为正，则在哪 一个轴上
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
双曲线图象
F1 o F2
x
F1
x
标准方程 焦点
a.b.c 的关系
x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
2
2
c ?a ?b
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
例 1(参考课本 P54 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
例 1(参考课本 P54 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 ? 10 ,
∴
PF1 ? PF2 ? 10
点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .
变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 －3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2
学习小结:
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
双曲线图象
F1 o F2
x
F1
x
标准方程 焦点
a.b.c 的关系
x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
2
2
c ?a ?b
2
练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1,
4 10 3
)
