nbhkdz.com冰点文库

导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用

时间:2015-03-06


放缩思想在高考数学中的应用 高中阶段,在数列那一章节的学习中,我们曾接触过放缩思想。其实在高考函数中,尤 其是导数大题中,放缩思想起着举足轻重的作用。 例如,让我们证明 x^2-2x+1≥0,这个题目对大家来说根本算不上问题。但是如果让我 们证明 x^2-3x+e^x≥0。这个式子我们看起来非常陌生,我们对 e^x 并不熟悉,我们不喜欢 e^x 或者 lnx,因此,我们可以把他们

转化为 x 的形式。 这道题目,我们可以先证明 e^x≥x+1,这里构造辅助函数 f(x)=e^x-x-1 即可证明, 证明后,我们可以得到 x^2-3x+e^x≥x^2-2x+1≥0 当 x=1 时两等号成立。 在此,我给出以下 4 个常考的辅助函数供大家参考。 ① e^x≥x+1 当 x=0 时等号成立 ② lnx≤x-1 当 x=1 时等号成立 ③ sinx≤x 当 x=0 时等号成立 ④ cosx≤x+1 当 x=0 时等号成立 接下来我们不妨来试一道高考题,2012 年山东高考压轴题。 22(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) =

ln x ? k (k 为常数, e=2.71828……是自然对数的底数) , 曲线 y= f(x)在点 (1, ex

f(1))处的切线与 x 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ) 设 g(x)=(x2+x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f(x)的导函数, 证明: 对任意 x>0,g ( x) ? 1 ? e ?2 。

上面本题的标准答案,前两问在此不做解释。 在第三问中,我们可以看出关键步骤就是把 g(x) 分成 1+x/e^x 和 1-x-xlnx 两部分,但是我们如何想到这一步呢?为什么他要把函数分 成这两部分呢?看完上面的文章, 我想各位读者已经有了初步的思考, 下面,让我们再重新看一遍第三问。 g(x)= (1-x-xlnx)(x+1)/e^x 看到这个函数,我们的第一反应应该是:这个函数不好做,e^x 和 lnx 太烦了,我们把它放缩一下。把 lnx 换成 x-1,把 e^x 换成 x+1。 原式 g(x)<1-x-xlnx ① 式≤1-x^2 ① ②

看到②式,很多人就会认为,呀!这么简单就做出来了?细心的朋友 可能会发现,其实①式的推导存在着一定的问题。 已知 lnx≤x-1 那么-lnx 应当≥1-x 所以①式≥1-x^2 如果我把 x 放缩成 lnx-1 行不行?利用-(x)≤-(lnx+1) 把①式化为 1-x(lnx+1)≤1-(lnx+1)^2 但我们来仔细推敲一下,我们已知的是-x≤-(lnx+1)③ 那么我们能不能通过③式得到-x(lnx+1)≤-(lnx+1)(lnx+1)呢? 显然这是不行的,因为 lnx+1 的符号未知。 当 lnx+1≥0 时是成立的 而当 lnx+1≤0 时 -x(lnx+1)≥-(lnx+1)(lnx+1) ③ ④

接下来我们回归这道题目。 第一步把 e^x 放缩为 x+1 之后 g(x)<1-x-xlnx 构造辅助函数 h(x)=1-x-lnx 即可,并不需要上述那些复杂的讨论,那 些讨论,是为了方便大家了解在放缩应用的过程中容易出现的问题。 其实,我所列出的辅助函数,只不过是高考中最常见的 4 种函数的放 缩方式,能解决大部分的问题,例如 2014 年新课标 1 卷,最后一问 让我们证明 f(x)=e^xlnx+2ex ?1 /x>1 标准答案所给的思路是将①式移项,得到 xlnx>xe?x -2/e 证明②式左端函数最小值>右端函数最大值。 这显然不是我们正常的思路,按照我们先前的思路,把 e^x 换成 x+1 可以得到 f(x)=2/e+xlnx+lnx+2/ex ③ ② ①

把函数分成三个部分,2/e,xlnx,lnx+2/ex 分别求导,可以轻松得到 f(x)>1/e+ln2 我们知道 2.7<e<2.8 所以 1/e>1/3 接下来我们只需要证明 ln2>2/3,即 2^3=8>e^2 又因为 e^2<2.8^2=7.76<8 所以原式得证。 ⑤ ⑥ ⑦ ④

此外,除了上述 4 种函数,还有很多其他类型的辅助函数等着大家去 发现,在这里我只举一个简单的例子 e^x≤x^2+1 是成立的 但 e^x≤x^n+1 呢 请大家自行思索。 解决这类 f(x)<某定值 a 的问题的关键就是构造合适的辅助函数进行 放缩,我们平常做的那些参考资料所给出的答案,往往只是一种过度 格式化的答案, 答案给出的解题过程并非我们思考的正常顺序。 例如, 我们看到它构造一个辅助函数 e^x≤x+1, 但他为什么要构造这个函数 呢?构造其他的辅助函数可以吗?这是我们应当思考的问题, 这也是 高中数学乃至高中教学过程中应当注意的问题。


数学 数学归纳法、函数的单调性与导数的关系、反证法与放缩法...

简答题 数学 数学归纳法、函数的单调性与导数的关系、反证法与放缩法 已知函数. (1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x...

已知函数,。(1)设函数F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间...

数学 反证法与放缩法、对数函数的图象与性质、函数的单调性与导数的关系、函数的极值与导数的关系、元二次方程及其应用 已知函数,。 (1)设函数F(x)=f(x)...

已知函数f(x)=, (Ⅰ)若函数在区间(a,a+)(其中a>0)上存...

文库VIP 个人中心 高考题库 教育频道 小学教育 ...的关系、函数的单调性与导数的关系、反证法与放缩...当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0...

数学 反证法与放缩法、函数的零点与方程根的联系、导数的运算...

简答题 数学 反证法与放缩法、函数的零点与方程根的联系、导数的运算 设函数R),函数f(x)的导数记为f'(x). (1)若a=f'(2),b=f'(1),c=f'(0),...

已知函数f(x)=lnx+x2。(1)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义...

文库VIP 个人中心 高考题库 教育频道 小学教育 ...与导数的关系、基本不等式及其应用、反证法与放缩法...(1)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数...

...的极值;(Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在...

文库VIP 个人中心 高考题库 教育频道 小学教育 ...的关系、函数的极值与导数的关系、反证法与放缩法...(Ⅲ)设各项为正的数列{an}满足:a1=1,an+1=lnan...

已知函数f(x)=kx,(1)求函数的单调递增区间(2)若不等式f...

百度高考APP 百度高考数学 反证法与放缩法、函数的单调性与导数的关系、函数的...(1)求函数的单调递增区间 (2)若不等式f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立...

已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0),(1)若f(x)在x=0处取得...

文库VIP 个人中心 高考题库 教育频道 小学教育 ...的关系、函数的单调性与导数的关系、反证法与放缩...若-1<a<0时,上单调递增, 在上单调递减; 若a=...

已知函数f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R).(Ⅰ)判断函数f(x)的单...

文库VIP 个人中心 高考题库 教育频道 小学教育 ...数学 反证法与放缩法、函数的单调性与导数的关系、...当1<x<2时,g'(x),<0,g(x)在(1,2)上单调...

已知函数的图象经过其中e为自然对数的底数,e≈2.71,(Ⅰ...

百度高考APP 百度高考数学 函数的单调性与导数的关系...域、值域、函数的最值与导数的关系、反证法与放缩...(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在区间(1,+∞)上的最小值...