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三角函数的图象和性质


第 3讲

三角函数的图象和性质

1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值,图象
? π π? 与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间?-2,2 ?内的单调性. ? ?

板块一 知识

梳理· 自主学习

[必备知识] 考点 1 周期函数和最小正周期

考点 2

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

定义 域 值域

x ∈R

x ∈R

{

π x|x∈R 且 x≠ +kπ,k∈Z } 2

[-1,1]

[-1,1]

R

续表 函数 在 单调性 y=sinx y=cosx y=tanx

递增; ?π 3π 在 [2kπ,(2k+1)π] ,k∈Z 上递增 ? +2kπ, +2kπ] 2 ?2 在 ,k∈Z 上 k∈Z 上递减 递减 x= 2kπ(k∈Z) 时, π x= +2kπ 2 (k∈Z)时,ymax=1;x= ymax=1; π - +2kπ(k∈Z) 时,ymin=-1 π+2kπ(k∈Z)时, x= 2 ymin=-1

[(2k-1)π,2kπ] , ? π ? π π 在 ? π ?- +2kπ, +2kπ] , ? - +kπ, +kπ? k∈ Z 上 2 ? 2 2 ? ? k∈Z 上递增; 在 2 ,

最值

无最值

函数 奇偶性 对 称 性 对称轴 最小正周期 对称中心

y=sinx

y=cosx

y=tanx


(kπ,0),k∈Z


? π ? ?kπ+ ,0?,k∈Z 2 ? ?


?kπ ? ? ,0?,k∈Z ?2 ?

π x=kπ+ ,k∈Z 2 2π

x=kπ,k∈Z


无对称轴

π

[必会结论] 1.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T= T= π . |ω| 2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称 1 轴之间的距离是 周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期. 4 3. 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asinωx 或 y=Atanωx 的形式, 而偶函数一般可化为 y=Acosωx+b 的形式. 2π ,函数 y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 |ω|

[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.y=cosx 在第一、二象限内是减函数.( × ) 2.y=ksinx+1,x∈R,则 y 的最大值是 k+1.( × ) ?π 2π? π 2π 3.由 sin?6+ 3 ?=sin 知 是正弦函数 y=sinx(x∈R)的一个周期.( × ) 6 3 ? ?
? 3π? 4.函数 y=sin?2x+ 2 ?是偶函数,最小正周期为 π.( √ ) ? ?

π 5.函数 y=sinx 的对称轴方程为 x=2kπ+ (k∈Z).( × ) 2 6.函数 y=tanx 在整个定义域上是增函数.( × )

二、小题快练
?π ? ? 1.[课本改编]函数 y=sin 2-2x?,x∈R 是( ? ?

)

A.最小正周期为 π 的奇函数 π B.最小正周期为 的奇函数 2 C.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2
解析
?π ? 2π 函数 y=sin?2-2x?=cos2x,显然函数是偶函数,函数的周期是 T= =π.故选 C. 2 ? ?

? π? ? 2.[课本改编]函数 y=2sin 2x-4?的一条对称轴是( ? ?

)

A.x=

5π 6 π 8

B.x=

π 4 π 3

C.x=-

D .x =

解析

π π kπ 函数图象的对称轴经过函数图象的最高点或最低点.所以,由 2x- =kπ+ ,k∈Z,得 x= + 4 2 2

3π π ,k∈Z,x=- 是一条对称轴,故选 C. 8 8

? π? ? 3.[2015· 北京模拟]y=sin x-4?的图象的一个对称中心是( ? ?

)

A.(-π,0)
?3π ? ? ? , 0 C. 2 ? ?

? 3π ? ? ? - , 0 B. ? 4 ? ?π ? ? ? , 0 D. 2 ? ?

解析 选 B.

? 3π ? ? π? π π 令 x- =kπ, k∈Z 得 x= +kπ, k∈Z, 于是?- 4 ,0?是 y=sin?x-4?的图象的一个对称中心. 故 4 4 ? ? ? ?

4.[课本改编]函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数(
? π π? A.?-4,4? ? ? ? π? ? ? 0 , C. 2? ? ?π 3π? B.?4, 4 ? ? ? ?π ? ? ? , π D. 2 ? ?

)

解析

? π π? ? π π? ?π 3π? ?π 3π? ? ? ? ? ? ? A 项,当 x∈ -4,4 时,2x∈ -2,2 ,不是减函数;B 项,当 x∈ 4, 4 时,2x∈?2, 2 ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?π ? π? 不是减函数;C 项,当 x∈?0,2?时,2x∈[0,π],是减函数;D 项,当 x∈?2,π?时,2x∈[π,2π],不是减

函数,故选 C.

? ? π? π? ? ? ? 5.[2016· 天津模拟]函数 f(x)=sin 2x-4 在区间 0,2?上的最小值为( ? ? ? ?

)

A.-1
解析

B.-

2 2

C.

2 2

D.0

? π? π ? π 3π? 由 x∈?0,2?得 2x- ∈?-4, 4 ?, 4 ? ? ? ?

? ? π? ? 2 所以 sin?2x-4?∈?- ,1?. 2 ? ? ? ? ? π? 2 ? ? 即函数 f(x)在 0,2 上的最小值为- .故选 B. 2 ? ?

板块二 典例探究· 考向突破

考向 3 的定义域为( 2

三角函数的定义域、值域

例1
?

(1)函数 y=
? ?

cosx-

)

? π π? A.?-6,6? ? π π? B.?kπ-6,kπ+6?(k∈Z) ? ? ? π π? C.?2kπ-6,2kπ+6?(k∈Z) ?

D .R
[解析] ∵cosx- 3 3 π π ≥0, 得 cosx≥ ,∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 6 6

? πx π? (2)[2016· 青岛模拟]函数 y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ? ?

)

A.2- 3 C.-1
[解析]

B.0 D.-1- 3

利用三角函数的性质先求出函数的最值.

π π π 7π 因为 0≤x≤9,所以- ≤ x- ≤ , 3 6 3 6
? ?π π? ? 3 所以 sin?6x-3?∈?- ,1?. ? ? ? 2 ?

所以 y∈[- 3,2],所以 ymax+ymin=2- 3.

(3)[2016· 成都模拟]函数 y=cos2x-2sinx 的最大值与最小值分别为( A.3,-1 C.2,-1
[解析]

)

B.3,-2 D.2,-2

y=cos2x-2sinx=1-sin2x-2sinx

=-sin2x-2sinx+1, 令 t=sinx,则 t∈[-1,1], y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以 ymax=2,ymin=-2.

三角函数定义域、值域的求解策略 (1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式,也可借助三角函数线或三角函数图 象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值),首先把三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域),或 用换元法(令 t=sinx,或 t=sinx± cosx)化为关于 t 的二次函数求值域(最值). (3)换元法的应用: 把 sinx 或 cosx 看作一个整体, 转化为二次函数, 求给定区间上的值域(最值)问题. 此 时注意所换元的取值范围.

【变式训练 1】

? π? ? (1)[2016· 重庆巴南区质检]函数 f(x)=-2tan 2x+6?的定义域是( ? ? ? ? π ? B.?x?x≠-12 ? ? ? ? ? ? ? kπ π D.?x?x≠ 2 +6?k∈Z? ? ? ? ?

)

? ? π ? A.?x?x≠6 ? ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ+6?k∈Z? ? ? ? ?

π π kπ π 解析 由正切函数的定义域,得 2x+ ≠kπ+ ,即 x≠ + (k∈Z),故选 D. 6 2 2 6

[-4,-π]∪[0,π] (2)[2016· 苏州模拟]函数 y= sinx+ 16-x2的定义域为____________________.
解析 ∵sinx≥0,∴2kπ≤x≤2kπ+π, ∵16-x2≥0,∴-4≤x≤4, 取交集得[-4,-π]∪[0,π].

-1 (3)函数 y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最小值是________ .
? π? ? 设 sinx-cosx=t,t= 2sin x-4?, ? ?

解析

π ? π 3 ? 因为 x∈[0,π],所以 x- ∈?-4,4π?, 4 ? ? 1-t2 所以 t∈[-1, 2],sinxcosx= , 2 1-t2 1 所以 y=t+ =- (t-1)2+1, 2 2 当 t=-1 时,ymin=-1.

考向 例2 (1)[2016· 贵州遵义测试]函数 y= ) π cos( -2x )的单调递增区间是( 4
? π 5 ? A.?kπ+8,kπ+8π?(k∈Z) ? ? ? π 5 ? C.?2kπ+8,2kπ+8π?(k∈Z) ? ?

三角函数的单调性

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? 3 π? B.?kπ-8π,kπ+8?(k∈Z) ? ? ? 3 π? D.?2kπ-8π,2kπ+8?(k∈Z) ? ?

[解析]

?π ? ? π? π 3π π ? ? ? ? y=cos 4-2x 即 y=cos 2x-4 .由 2kπ-π≤2x- ≤2kπ,k∈Z 得,kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 4 8 8 ? ? ? ? ? ? ? ?

?π ? ? 3 π? 所以,函数 y=cos?4-2x?的单调递增区间是?kπ-8π,kπ+8?(k∈Z),故选 B.

? ? π? ? π ? ? ? (2)已知 ω>0,函数 f(x)=sin ωx+4 在 2,π?上单调递减,则 ω 的取值范围是( ? ? ? ? ?1 5? A.?2,4? ? ? ? 1? ? ? 0 , C. 2? ? ?1 3 ? B.?2,4? ? ?

)

D.(0,2)

?ωπ+π≥π, ?2 4 2 ?π 3π? π ωπ π π π [解析] 由 <x<π,ω>0 得, + <ωx+ <ωπ+ ,又 y=sinx 在?2, 2 ?上递减,所以? 2 2 4 4 4 ? ? 3π ?ωπ+π ≤ , 4 2 ?
1 5 解得 ≤ω≤ . 2 4

三角函数单调性问题的解题策略 (1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体, 通过解不等式求解.但如果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.

【变式训练 2】
?3π 7π? A.? 4 , 4 ? ? ?

?π ? ? (1)函数 y=sin 4-x?的一个单调递增区间为( ? ? ? π π? C.?-2,2? ? ? ? 3π π? D.?- 4 ,4? ? ?

)

? π 3π? B.?-4, 4 ? ? ?

解析

?π ? ? π? ? ? ? y=sin 4-x =-sin x-4?, ? ? ? ?

π π 3π 故由 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ , 2 4 2 3 7 解得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ π(k∈Z). 4 4
?π ? ? 3 因此,函数 y=sin?4-x?的单调递增区间为?2kπ+4π, ? ? ?

7 ? 2kπ+ π?(k∈Z). 4 ?

? 2π? ? (2)设 ω 是正实数,函数 f(x)=2cosωx 在 x∈ 0, 3 ?上是减函数,那么 ω 的值可以是( ? ?

)

A.

1 2

B .2 D.4
? T? ? 因为函数 f(x)=2cosωx 在 0,2?上单调递减,所以要使函数 f(x)=2cosωx(ω>0)在区间 ? ? ? 2π? ? 0 , ?上 3? ?

C.3
解析

单调递减,则有

2π T 4π 2π 4π 3 1 ≤ ,即 T≥ ,所以 T= ≥ ,解得 ω≤ .所以 ω 的值可以是 ,故选 A. 3 2 3 ω 3 2 2

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从近五年的高考试题来看,高考常在三角函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性与三角恒等变换等 知识点的交汇处命题.在考查三角函数性质的同时,又考查三角恒等变换的方法与技巧,同时也考查了函数 与方程、转化与化归的思想方法.

命题角度 1 例3

三角函数的周期性与奇偶性 )
? π? ? ? 2 x + B.y=cos 2? ?

[2015· 四川高考]下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是(

? π? ? ? 2 x + A.y=sin 2? ?

C.y=sin2x+cos2x
[解析]

D.y=sinx+cosx

? π? ? 采用验证法.由 y=cos 2x+2?=-sin2x,可知该函数的最小正周期为 π 且为奇函数,故选 B. ? ?

命题角度 2 例4

三角函数的周期性与对称性 )

? π? ? ? ωx + 已知函数 f(x)=2sin 6?(ω>0)的最小正周期为 4π,则该函数的图象( ? ?5π ? ? ?对称 , 0 B.关于点 3 ? ?

?π ? ? ?对称 , 0 A.关于点 3 ? ?

? ?1 π? π? 2π 1 函数 f(x)=2sin?ωx+6?(ω>0)的最小正周期是 4π, 而 T= =4π, 所以 ω= , 即 f(x)=2sin?2x+6?. ω 2 ? ? ? ? x π π 2 x π 函数 f(x)的对称轴为 + = +kπ,解得 x= π+2kπ(k∈Z);函数 f(x)的对称中心的横坐标为 + =kπ, 2 6 2 3 2 6

π C.关于直线 x= 对称 3

D.关于直线 x=

5π 对称 3

[解析]

1 解得 x=2kπ- π(k∈Z).故选 B. 3

命题角度 3 例5

三角函数的奇偶性与对称性 )

?3π ? π [2016· 揭阳一模]当 x= 时,函数 f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数 y=f? 4 -x?( 4 ? ? ? ?

?π ? A.是奇函数且图象关于点?2,0?对称

B.是偶函数且图象关于点(π,0)对称

π C.是奇函数且图象关于直线 x= 对称 D.是偶函数且图象关于直线 x=π 对称 2 π [解析] ∵当 x= 时,函数 f(x)取得最小值, 4
?π ? 3π ∴sin?4+φ?=-1,∴φ=2kπ- (k∈Z). 4 ? ? ? ? 3π? 3π? ∴f(x)=sin?x+2kπ- 4 ?=sin?x- 4 ?. ? ? ? ? ?3π ? ∴y=f? 4 -x?=sin(-x)=-sinx. ? ? ?3π ? π ∴y=f? 4 -x?是奇函数,且图象关于直线 x= 对称. 2 ? ?

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数, 则当 x=0 时, f(x)取得最大或最小值; 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数, 则当 x=0 时,f(x)=0. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为 2π π ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω|

(3)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点, 因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断.

【变式训练 3】
? π? ? ? 2 x - A.y=sin 2? ? ? π? ? ? x + C.y=sin 2? ?

(1)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是(
? π? ? ? 2 x - B.y=cos 2? ? ? π? ? ? x + D.y=cos 2? ?

)

解析

? π? ? ? 2 x - y=sin 2?=-cos2x 为偶函数,且周期是 π,故选 A. ?

?π? π (2)[2016· 洛阳市模拟]已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x= 对称,且 f?12?=0,则 ω 的 3 ? ?

最小值是( A.1 C.3
解析

) B .2 D.4
?π π ? 2π 设函数的周期为 T,则 T 的最大值为 4×?3-12?=π, ≤π,ω≥2,故选 B. ω ? ?

?4π ? π π (3)[2016· 豫北六校联考]若函数 f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?成中心对称,且- <φ< ,则函数 2 2 ? ? ? π? y=f?x+3?为( ? ?

)
? π? ? ? 0 , B.偶函数且在 2?上单调递增 ? ? π? D.奇函数且在?0,4?上单调递减 ? ?

? π? ? ? 0 , A.奇函数且在 4?上单调递增 ? ? π? C.偶函数且在?0,2?上单调递减 ? ?

解析

?4π ? 8π π 因为函数 f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?成中心对称,则 +φ=kπ+ ,k∈Z.即 φ=kπ- 3 2 ? ?

? ? ? ? π? π ? π? π? 13π π π π ,k∈Z,又- <φ< ,则 φ=- ,则 y=f?x+3?=cos?2?x+3?- ?=cos?2x+2?=-sin2x,所以该函数为 6 2 2 6 ? ? ? ? ? 6? ? ? ? π? ? 奇函数且在 0,4?上单调递减,故选 D. ? ?

核心规律 1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 2π π ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω|

3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t=ωx+φ,将其转 化为研究 y=sint 的性质. 满分策略 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最 值的影响. 2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,尽量化成 ω>0 时的情况. 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得,直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.

板块三 启智培优· 破译高考

6——巧用对称性妙解奇偶性问题 2π ? π? [2015· 保定模拟]若函数 f(x)=2sin?2x+φ-6?(0<φ<π)是偶函数,则 φ=________. 3 题型技法系列
? ?

[解题视点] 路.

(1)直接利用偶函数的定义构造等式,然后利用恒成立求 φ,是已知奇偶性求参数的常规思

(2)解法体现了定义的双向性,但计算量大,运算过程极易出错.
[解析] 解法一:因为 f(x)为偶函数,所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,
? ? π? π? ? ? ? ? - 2 x + φ - 2 x + φ - 因此 sin 6?=sin? 6?, ? ? ? π? π? ? ? ? ? φ - φ - 即-sin2xcos 6?+cos2xsin? 6? ? ? ? π? π? =sin2xcos?φ-6?+cos2xsin?φ-6?, ? ? ? ? ? π? 整理得 sin2xcos?φ-6?=0. ? ?

? π? ? 因为 x∈R,所以 cos φ-6?=0. ? ?

π π 2π 又因为 0<φ<π,故 φ- = .所以 φ= . 6 2 3 解法二:因为 f(x)为偶函数, 所以函数 y=f(x)的图象关于 x=0 对称,故当 x=0 时函数取得最值,即 f(0)=± 2,
? π? 所以 2sin?φ-6?=± 2, ? ?

π π 2π 从而 φ- = +kπ,φ= +kπ,k∈Z. 6 2 3 又因为 0<φ<π,故 φ= 2π . 3

答题启示 ?1?将偶函数问题转化为对称问题,为进一步应用对称性的性质做好铺垫. ?2?利用对称性的图形特征解题,突出了数形结合的思想,减少了运算量.

跟踪训练
? π? 6 ? [2015· 昆明模拟]若函数 f(x)=cos 2x+φ-3?(0<φ<π)是奇函数,则 φ=________. ? ?



解析

(常规解法)因为 f(x)为奇函数,

所以对 x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立,
? ? π? π? ? ? ? 因此 cos -2x+φ-3 =-cos 2x+φ-3?. ? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ? 即 cos2xcos φ-3 +sin2xsin φ-3? ? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ? =-cos2xcos φ-3 +sin2xsin φ-3?, ? ? ? ? ? π? ? 整理得 cos2xcos φ-3?=0. ? ?

? π? ? 因为 x∈R,所以 cos φ-3?=0. ? ?

π π 5π 又因为 0<φ<π,故 φ- = ,所以 φ= . 3 2 6 (优化解法)因为 f(x)为奇函数, 所以函数 y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,
? π? 故 f(0)=0,所以 cos?φ-3?=0, ? ?

π π 5π 从而 φ- = +kπ,φ= +kπ,k∈Z. 3 2 6 又因为 0<φ<π,故 φ= 5π . 6

板块四 模拟演练· 提能增分

板块五 限时· 规范· 特训


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