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2011届高三数学下册高考冲刺检测试题20


高考数学最后冲刺必读题解析(20)
20.(本小题满分 12 分) 已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ? x2 ? 4 ax ? 1, g ( x) ? 6a2 ln x ? 2b ? 1 ,其中

a ? 0.
(Ⅰ)设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同,用表示 b , 并求 b

的最大值; (Ⅱ) 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 证明: 若 a ? 3 ? 1, 则对任意 x1 ,x2 ? (0, ??) ,x1 ? x2 有

h( x2 ) ? h( x1 ) ?8. x2 ? x1

20.(本题满分 12 分) (Ⅰ) 设 f ( x)与g ( x) 交于点 P( x0 , y0 ) ,则有

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,即 x02 ? 4ax0 ? 1 ? 6a2 ln x0 ? 2b ? 1
又由题意知 f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) ,即 2 x0 ? 4a ? 由(2)解得 x0 ? a或x0 ? ?3a(舍去) 将 x0 ? a 代入(1)整理得 b ? 令 h( a ) ?

(1)

6a 2 x0

(2)

……2 分

5 2 a ? 3a 2 ln a 2

…………………………4 分

5 2 a ? 3a 2 ln a ,则 h?(a) ? 2a(1 ? 3 ln a) 2
3
3

3 2 a ? ( 0 , e 时, ) h(a) 递增, a ? ( e , ??) 时 h(a) 递减,所以 h(a) ? h( e ) ? e 3 2
3

即b ?

3 2 3 2 e 3 ,b 的最大值为 e 3 2 2

……………………………………6 分

(Ⅱ) 不妨设 x1 , x2 ? ?0,???, x1 ? x2 ,

h?x 2 ? ? h?x1 ? ? 8 变形得 h?x2 ? ? 8x2 ? h?x1 ? ? 8x1 x 2 ? x1

6a 2 ? 4a ? 8 ,? a ? 3 ? 1, 令 T ( x) ? h?x ? ? 8x , T ?( x) ? 2 x ? x T ?( x) ? 2 x ? 6a 2 ? 4a ? 8 ? 4 3a ? 4a ? 8 ? 4( 3 ? 1)( 3 ? 1) ? 8 ? 0 x

T ( x) 在 ?0,??? 内单调增, T ( x2 ) ? T ( x1 ) ,同理可证 x1 ? x 2 命题成立
……………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 已知点 Q 是抛物线 C1 : y 2 ? 2 px ( P ? 0 )上异于坐标原点 O 的点,过点 Q 与抛物 线 C2 : y ? 2 x2 相切的两条直线分别交抛物线 C1 于点 A,B. (Ⅰ)若点 Q 的坐标为 (1, ?6) ,求直线 AB 的方程及弦 AB 的长; (Ⅱ)判断直线 AB 与抛物线 C2 的位置关系,并说明理由. 21. (本题满分 12 分) (Ⅰ)由 Q(1,?6) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上可得, p ? 18 ,抛物线方程为 y 2 ? 36 x ………1分 设抛物线 C1 的切线方程为: y ? 6 ? k ( x ? 1) 联立, {

y ? 6 ? k ( x ? 1) y ? 2x2

,由 ? ? 0 ,可得 k ? ?4, k ? 12

{

y ? 6 ? ?4( x ? 1) y ? 36 x
2

可知 A( , ?3)

1 4

{

y ? 6 ? 12( x ? 1) 9 可知 B( ,9) 2 4 y ? 36 x

……………………3 分

易求直线 AB 方程为 12 x ? 2 y ? 9 ? 0 弦 AB 长为 2 37

………………………4 分 ……………………5 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x0 , y0 ) ,三个点都在抛物线 C1 上,故有
2 y0 ? 2 px0 , y12 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,作差整理得 2

y 0 ? y1 y ? y2 2p 2p ? ? , 0 x0 ? x1 y 0 ? y1 x0 ? x 2 y0 ? y2
所以直线 QA : y ?

2p 2p ( x ? x0 ) ? y 0 ,直线 QB : y ? ( x ? x0 ) ? y 0 y0 ? y2 y 0 ? y1
…………………6 分

因为 QA, QB 均是抛物线 C 2 的切线,故与抛物线 C 2 方程联立, Δ ? 0 ,可得:

p 2 ? 2 y0 y1 ( y0 ? y1 ) ? 0 , p 2 ? 2 y0 y2 ( y0 ? y2 ) ? 0
两式相减整理得: y0 ( y1 ? y 2 )( y0 ? y1 ? y 2 ) ? 0 ,即可知 y 0 ? ?( y1 ? y 2 ) ……………………8 分

k AB ?

y1 ? y 2 2p 2p ? ?? x1 ? x2 y1 ? y 2 y0 2p ( x ? x1 ) ,与抛物线 y ? 2x 2 联立消去 y0
……………………10 分

所以直线 AB : y ? y1 ? ?

得关于的一元二次方程: 2 y0 x 2 ? 2 px ? y1 ( y1 ? y0 ) ? 0

易知其判别式 ? 0 ,因而直线 AB 与抛物线 y ? 2x 2 相切.故直线 AB 与抛物线 C2 相切. …………………………………………12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 Rt ?ABC 中, ?BAC ? 90? , AD ? BC , 垂足为, DF ? AC ,垂足为, DE ? AB , 垂足为. 求证: (Ⅰ) AB ? AC ? AD ? BC ; (Ⅱ) AD ? BC ? BE ? CF
3

22. (本题满分 10 分) (Ⅰ) 证明:

ΔABD∽ ΔCBA


AB BC ? ,即 AB ? AC ? AD ? BC AD AC

……………………4分

2 (Ⅱ)由射影定理知 AD ? AE ? AB

又由三角形相似可知

DF BE AB ED ? , ? ,且 DF ? AE CF ED BC AD

∴ AE ? AB ? AD ? BC ? CF ? BE ,结合射影定理 ∴ AD 3 ? BC ? BE ? CF 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为 ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 , 曲线 C 的参数方程为 ? 为参数) . ………… 10 分

? x ? 2cos ? (? ? y ? sin ?

(Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于,四两点,原点为 O ,求 ?ABO 的面积. 23. (本题满分10分) (Ⅰ)直线的直角坐标方程为: x ? y ? 1 ? 0 ; ………………3 分 (Ⅱ)原点到直线的距离 d ?

2 , 2

2 t x2 2 C 直线参数方程为:{ (t为参数) 曲线 的直角坐标方程为: ? y 2 ? 1, 4 2 y? t 2 x ? 1?
联立得: 5t ? 2 2t ? 6 ? 0 ,求得 AB ?| t1 ? t2 |?
2

8 2 5
…………………………10分

所以 S ?ABO ?

1 4 AB ? d ? 2 5

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若关于的不等式 | 2 x ? 4 | ? | 4 x ? 2 |? a 恒成立,求的取值范围. 24. (本题满分10分) 令 g ( x) ?| 2 x ? 4 | ? | 4 x ? 2 | , a ? gmin ( x) 即可

? ? 6 x ? 6 ( x ? 2) ? 1 1 ? g ( x) ? ?2 x ? 2 ( ? x ? 2) ,当 x ? 时, g ( x) 取最小值 3 2 2 ? 1 ? ? 6x ? 6 (x ? ) ? 2 ?

a ? gmin ( x) 即可, 故 a ? 3 .
20. (本小题满分 12 分) 已知函数

…………………………………10 分

f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R .

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求的取值范围. 20.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 。 。 。 。 。1 分
3 2 2

? 2 ? 3

1? 3?

当a

2

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在上递增
?a ? a 2 ? 3 3

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分

当 a ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分

? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? 即 f ( x ) 在 ? ??, , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3
。 。 。 。 。 。 。 6分

a2 ? 3 1 ≥? 3 3 7 2 且 a ? 3 解得: a ≥ 。 。 。 。12 分 4

, 。 。 。 。 。 。6 分

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? px ?

q p ? 2 ln x ,且 f (e) ? qe ? ? 2 (为自然对数的底数). x e

(Ⅰ)求实数与的关系; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,求实数的取值范围;

2e ,若存在 x0 ??1, e? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数的取值范围. x q p 21. 解: (Ⅰ)由题意,得 f ?e ? ? pe ? ? 2 ln e ? qe ? ? 2 , e e
(Ⅲ)设 g ( x ) ? 化 简 得

1? ? p ? q ?? ?e ? ? ? 0 ? e?



?p?q.

………………………………………………………………2 分

(Ⅱ)函数 f ?x ? 的定义域为 ?0,??? .由(Ⅰ)知, f ? x ? ? px ?

p ? 2 ln x , x

f ??x ? ? p ?

p 2 px2 ? 2 x ? p ? ? . …………………………………………………… x2 x x2

………………3 分 令 h?x? ? px ? 2x ? p ,要使 f ?x ? 在其定义域 ?0,??? 内为单调函数,只需 h?x ? 在
2

?0,??? 内满足 h?x? ? 0 或 h?x? ? 0 恒成立.
(1)当 p ? 0 时, h?x ? ? ?2 x ? 0 ,? f ??x ? ? 0 .

? f ?x ? 在

?0,???

内 为 单 调 减 函 数 , 故

p?0

符 合 条

件. …………………………………………………4 分 (2)当 p ? 0 时, h? x ?min ? h? ? p? ? ? p ? p .只需 p ? p ? 0 ,即 p ? 1 时 h?x ? ? 0 ,此 ? ?

?1?

1

1

时 f ??x ? ? 0 .

? f ?x ? 在

?0,???

内 为 单 调 增 函 数 , 故

p ?1 符 合 条

件. ………………………………………………6 分 (3)当 p ? 0 时, h?x?max ? h?0? ? p .只需 p ? 0 ,此时 f ??x ? ? 0 .

? f ?x ? 在 ?0,??? 内为单调减函数,故 p ? 0 符合条件.
综 上 可 得 ,

p ?1



p?0





求. ………………………………………………………………………8 分 ( Ⅲ ) ? g ?x ? ?

2e 在 ?1, e? 上 是 减 函 数 , ?x ? e 时 , g ?x?m i n ? 2 ; x ? 1 时 , x

g ?x?m a x ? 2e .


g ?x ? ? ?2,2e?. ………………………………………………………………………………………
……9 分 (1)当 p ? 0 时,由(Ⅱ)知, f ?x ? 在 ?1, e? 上递减, f ?x?max ? f ?1? ? 0 ? 2 ,不合 题意. ………10 分 ( 2 ) 当

0 ? p ?1







x ? ?1, e?





x?

1 ? 0 .? f ? x ? ? x

1? 1 ? p? x ? ? ? 2 ln x ? x ? ? 2 ln x . x? x ?
1 ? 2 ln x 单调递增, x

由(Ⅱ)知,当 p ? 1 时, f ? x ? ? x ?

? f ?x ? ? x ?

1 1 ? 2 ln x ? e ? ? 2 ? 2 , x e

不合题意. …………………………………………………10 分 (3)当 p ? 1 时,由(Ⅱ)知 f ?x ? 在 ?1, e? 上递增, f ?1? ? 0 ? 2 , 又 g ?x ? 在在 ?1, e? 上递减,? f ?x?max ? g ?x?min ? 2 . 即 p? e ? ? ? 2 ln e ? 2 ,? p ?

? ?

1? e?

4e . e ?1
2

综上,的取值范围是 ?

? 4e ? ,?? ? .………………………………………………… 2 ? e ?1 ?

22. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 3 2 a b 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在 圆x
2

? y 2 ? 5 上,求 m 的值.

22.(本小题满分 12 分)

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c c ? ? 3 ? ?a
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 。 。 。 。 。4 分 2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ),。 。 。 。 。4 分 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2
2 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分


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