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第七章 第一节 空间几何体的结构及三视图和直观图

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空间几何体的结构及三视图和直观图 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结 .认识柱、 构特征, 构特征,并能运用这些特征描述现实生活 中简单物体的结构. 中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 .能画出简单空间图形 长方体 长方体、 圆柱、 圆锥、棱柱等的简易组合 的三视图 的三视图, 圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能 识 别上述的三视图所表示的立体模型, 别上述的三视图所表示的立体模型,会用 斜二测画法画出它们的直观图. 斜二测画法画出它们的直观图.

3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简 . 单空间图形的三视图与直观图, 单空间图形的三视图与直观图,了解空间 图形的不同表示形式. 图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影 .会画某些建筑物的三视图与直观图 在不影 响图形特征的基础上,尺寸、 响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作 严格要求). 严格要求 .

[理 要 点] 理 一、多面体的结构特征 多面体 棱柱 结构特征 有两个面 互相平行 ,每相邻两个面的交线都 平行且相等 . 有一个面是 多边形 ,而其余各面都是有一个 公共顶点 的三角形. 的三角形. 的平面所截, 棱锥被平行于 底面 的平面所截, 截面 和 底面 之间的部分叫做棱台. 之间的部分叫做棱台

棱锥

棱台

二、旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边 所在的直线 一条直角边 所在的直线 垂直于底边的腰 所在的直线 直径 所在的直线

三、简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何 简单组合体的构成有两种基本形式: 体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去而成, 体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去而成,有 多面体与多面体、多面体与旋转体、 多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的 组合体. 组合体.

四、平行投影与直观图 画法来画,其规则是: 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,其规则是: (1)原图形中 轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、 原图形中x轴 轴 轴两两垂直 直观图中, ′ 轴两两垂直, 原图形中 ° ′轴与 ′轴和 ′ y′轴的夹角为 45° z′轴与x′轴和y′轴所在平面 ′ , 垂直 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别 平行于 原图形中平行于坐标轴的线段, 原图形中平行于坐标轴的线段 坐标轴 .平行于 轴和 轴的线段在直观图中保持原长度 平行于x轴和 轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ,平行于y轴的线段长度在直观图中 变为原来的一 平行于 轴的线段长度在直观图中 半.

五、三视图 主 视图 左 视图 几何体的三视图包括 正(主)视图 、 侧(左)视图 、 俯视图 ,分别是从几何体的正前方 、正左方 、 正上方 观察几何体画出的轮廓线. 观察几何体画出的轮廓线.

[究 疑 点] 究 1.由棱柱的结构特征知,棱柱有两个面互相平行且其余 .由棱柱的结构特征知, 各面都是平行四边形,反过来成立吗? 各面都是平行四边形,反过来成立吗? 提示:反之不一定成立. 提示:反之不一定成立.如图所示 几何体有两个面平行,其余各面都 几何体有两个面平行, 是平行四边形,但不满足“ 是平行四边形,但不满足“每相邻两 个侧面的公共边互相平行” 故它不是棱柱, 个侧面的公共边互相平行”,故它不是棱柱,所以要 加深对棱柱概念的理解. 加深对棱柱概念的理解.

2.空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么 . 区别? 区别? 提示:观察角度:三视图是从三个不同位置观察几何 提示:观察角度: 体而画出的图形; 体而画出的图形;直观图是从某一点观察几何体而画 出的图形. 出的图形.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.下列结论正确的是 . A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 . B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边 .以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥 .棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等, 可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是 . 母线 ( )

解析:根据有关定义及结构特征知,A、B、C错 解析:根据有关定义及结构特征知,A、B、C错. 答案: 答案:D

2.给出下列命题: .给出下列命题: 个不共面的顶点, ①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能 在正方体上任意选择 个不共面的顶点 是正四面体的4个顶点; 是正四面体的 个顶点; 个顶点 ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥 底面是等边三角形, 是正三棱锥; 是正三棱锥; ③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱 若有两个侧面垂直于底面, 柱. 其中正确命题的序号是________. 其中正确命题的序号是 .

解:①正确,正四面体是每个面都是等 正确, 边三角形的四面体,如正方体 边三角形的四面体,如正方体ABCD- - A1B1C1D1中的四面体A-CB1D1;②错误, 错误, 中的四面体 - 反例如图所示,底面△ 为等边三角形, 反例如图所示,底面△ABC为等边三角形,可令 =VB= 为等边三角形 可令AB= = VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为 = = , 为等边三角形, 为等边三角形 和 均为 等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是 等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥; 错误, 相邻的两个侧面. 相邻的两个侧面. 答案: 答案:①

3.如图,是一个正方体的展开图, .如图,是一个正方体的展开图, 在原正方体中, 在原正方体中,相对的面分别 是______________. . 解析:折叠后知①④,②⑥,③⑤对应. 解析:折叠后知①④,②⑥,③⑤对应. ①④ 对应 答案:①④;②⑥; 答案:①④;②⑥;③⑤

4.判断下列命题是否正确. .判断下列命题是否正确. ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; 棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是 用一个平面去截棱锥, 棱台; 棱台; ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两 若三棱锥的三条侧棱两两垂直, 垂直; 垂直; ④若有两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱 若有两个相对侧棱的截面都垂直于底面, 为直四棱柱; 为直四棱柱; ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体; 存在每个面都是直角三角形的四面体; ⑥棱台的侧棱延长后交于一点. 棱台的侧棱延长后交于一点.

解:①错误,因为棱柱的底面不 错误, 一定是正多边形; 错误, 一定是正多边形;②错误,必须 用平行于底面的平面去截棱锥, 用平行于底面的平面去截棱锥, 才能得到棱台;③正确,因为三 才能得到棱台; 正确, 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角; 正确, 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;④正确, 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱, 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直 于底面; 正确,正方体 中的四棱锥C 于底面;⑤正确,正方体AC1中的四棱锥 1-ABC,四个 , 面都是直角三角形; 正确,由棱台的概念可知. 面都是直角三角形;⑥正确,由棱台的概念可知.

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.特别地,当底面是 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.特别地, 直棱柱 正多边形时,叫正棱柱 如正三棱柱 正四棱柱). 如正三棱柱, 正多边形时,叫正棱柱(如正三棱柱,正四棱柱 .

(2)正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底 正棱锥:底面是正多边形, 正棱锥 面中心的棱锥.特别地,各条棱均相等的正三棱锥又 面中心的棱锥.特别地, 叫正四面体. 叫正四面体

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.如图,某几何体的正(主)视图与侧 .如图,某几何体的正 主 视图与侧 (左)视图都是边长为 1 的正方形, 左 视图都是边长为 的正方形, 1 且它的体积为2,则该几何体的俯 视图可以是 ( )

解析: 对应的几何体为正方体, 解析:选项 A 对应的几何体为正方体,其体积为 1;选项 ; π B 对应的几何体为圆柱体,其体积为 ;选项 D 对应的几 对应的几何体为圆柱体, 4 1 π 圆柱体, 何体为4圆柱体, 其体积为4 ; 选项 C 对应的几何体为三棱 1 柱,体积为 . 2

答案: 答案:C

2. 如图 , 几何体的正 主 )视图和侧 左 )视图都正确的是 . 如图, 几何体的正(主 视图和侧 视图和侧(左 视图都正确的是 ( )

答案: 答案:B

3.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是( .某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是

)

A.三棱锥 . C.四棱台 .

B.四棱锥 . D.三棱台 .

解析: 解析:由所给三视图与直观图的关 系,可以判定对应的几何体为如图 所示的四棱锥,且PA⊥面ABCD, 所示的四棱锥, ⊥ , AB⊥BC,BC∥AD. ⊥ , ∥ 答案: 答案:B

4.(2010·北京高考 一个长方体去掉一个小长方体,所得 . 北京高考)一个长方体去掉一个小长方体 北京高考 一个长方体去掉一个小长方体, 几何体的正(主 视图与侧 视图与侧(左 视图分别如图所示 视图分别如图所示, 几何体的正 主)视图与侧 左)视图分别如图所示,则该 几何体的俯视图为 ( )

解析:由正 主 视图可知去掉的长方体在正对视线的方 解析:由正(主)视图可知去掉的长方体在正对视线的方 向,从侧(左)视图可以看出去掉的长方体在原长方体的 从侧 左 视图可以看出去掉的长方体在原长方体的 右侧,由以上各视图的描述可知 选项符合 选项符合. 右侧,由以上各视图的描述可知C选项符合. 答案: 答案:C

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1.画几何体的三视图的要求是:正(主)视图与俯视图长对 .画几何体的三视图的要求是: 主 视图与俯视图长对 正;正(主)视图与侧 左)视图高平齐;侧(左)视图与俯视 主 视图与侧(左 视图高平齐; 左 视图与俯视 视图与侧 视图高平齐 图宽相等. 图宽相等. 2.画几何体的三视图时,可以把垂直投射面的视线想象成 .画几何体的三视图时, 平行光线,体会轮廓线 包括被遮挡住 包括被遮挡住, 平行光线,体会轮廓线(包括被遮挡住,但可以经过想象 透视到的光线)的投影就是要画出的视图, 透视到的光线 的投影就是要画出的视图,可见的轮廓线 的投影就是要画出的视图 要画成实线,不可见的轮廓线要画成虚线. 要画成实线,不可见的轮廓线要画成虚线.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( .关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是 A.直角三角形的直观图仍是直角三角形 . B.梯形的直观图是平行四边形 . C.正方形的直观图是菱形 . D.平行四边形的直观图仍是平行四边形 . )

解析:由斜二测画法规则可知,平行于 轴的线段长度减 解析:由斜二测画法规则可知,平行于y轴的线段长度减 半,直角坐标系变成了斜坐标系,而平行性没有改变,因 直角坐标系变成了斜坐标系,而平行性没有改变, 此只有D正确. 此只有 正确. 正确 答案: 答案:D

2.如图为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是 .如图为一平面图形的直观图, ( )

答案:C 答案:

3.如图,△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图, .如图, 水平放置的直观图, ′ ′ ′ 水平放置的直观图 的面积为________. 则△OAB的面积为 的面积为 .

解析:还原为原三角形,易知 = , = , 解析:还原为原三角形,易知OB=4,OA=6, OA⊥OB, ⊥ , ∴S△OAB=12. 答案: 答案:12

4.(2010·扬州模拟 用斜二测画法画一个水平放置的平图 . 扬州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平图 扬州模拟 形的直观图为如图所示的一个正方形, 形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形 是 ( )

解析:由直观图可知,在直观图中多边形为正方形, 解析:由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对 角线长为 2,所以原图形为平行四边形,位于 y 轴上 ,所以原图形为平行四边形, 的对角线长为 2 2.

答案: 答案:A

本题中条件不变求原平面图形的面积. 本题中条件不变求原平面图形的面积.
解:由该例解法知,原平面图形是一边长是为 1,高为 由该例解法知, , 2 2的平行四边形,∴面积 S=1×2 2=2 2. 的平行四边形, 的平行四边形 = × =

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1.注意原图与直观图中的“三变、三不变”: .注意原图与直观图中的“三变、三不变” 坐标轴的夹角改变, ?坐标轴的夹角改变, ? 轴平行的线段的长度改变( 轴平行的线段的长度改变 减半) 三变” “三变”?与y轴平行的线段的长度改变(减半), ?图形改变 ?图形改变. 平行性不变, ?平行性不变, ? 轴平行的线段长度不变, 轴平行的线段长度不变 三不变” “三不变”?与x轴平行的线段长度不变, ?相对位置不变 ?相对位置不变.

2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与 .按照斜二测画法得到的平面图形的直观图, 原图形的面积有以下关系: 原图形的面积有以下关系: 2 S 直观图= S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图. 4

一、把脉考情 从近两年高考试题来看, 从近两年高考试题来看,多以选择题考查几何体的三 视图和直观图.分值5分,难度中,低档. 视图和直观图.分值 分 难度中,低档. 命题的主要类型有: 命题的主要类型有:由几何体的直观图确定对应的三 视图,由几何体的三视图确定对应的直观图. 视图,由几何体的三视图确定对应的直观图.由三视图提 供的数据信息确定对应几何体的体积与表面积.预测 供的数据信息确定对应几何体的体积与表面积.预测2012 年高考仍以此为命题热点. 年高考仍以此为命题热点.

二、考题诊断 1.(2010·广东高考 如图,△ABC 为正三角形,AA′∥BB′ . 广东高考)如图 为正三角形, ′ 广东高考 如图, ′ 3 ∥CC′,CC′⊥平面 ABC 且 3AA′= BB′=CC′= ′ ′ ′ ′ ′ 2 AB,则多面体 ABC-A′B′C′的正 主)视图是 , 视图是( - ′ ′ ′的正(主 视图是 )

解析: 主 视图是从几何体的正前方往后看 视图是从几何体的正前方往后看, 解析:正(主)视图是从几何体的正前方往后看,即几何 体在后方的投影. 体在后方的投影. 答案: 答案:D

2.(2010·陕西高考 若某空间几何体的三视图如图所示, . 陕西高考)若某空间几何体的三视图如图所示 陕西高考 若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ( )

A.2 . 2 C. 3

B.1 . 1 D. 3

解析: 由三视图知该几何体为倒放着的直三棱柱, 其 解析: 由三视图知该几何体为倒放着的直三棱柱, 底面为直角三角形, 底面为直角三角形,两直角边边长分别是 1 和 2, , 1 , = × 棱柱的高为 2,所以该几何体的体积 V= ×1× 2 2 × 2=1. =

答案: 答案:B

3.(2010·新课标全国卷 一个几何体的正 主)视图为一个三 . 新课标全国卷)一个几何体的正 新课标全国卷 一个几何体的正(主 视图为一个三 角形, 角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 ________.(填入所有可能的几何体前的编号 . 填入所有可能的几何体前的编号 填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ⑥圆柱 解析:锥体的正 主 视图均为三角形 视图均为三角形, 解析:锥体的正(主)视图均为三角形,当三棱柱底面向 前时正(主 视图为三角形 视图为三角形, 前时正 主)视图为三角形,而四棱柱和圆柱无论怎样放 置正(主)视图都不会为三角形. 置正 主 视图都不会为三角形. 视图都不会为三角形 答案: 答案:①②③⑤ ④四棱柱 ⑤圆锥

4.(2010·辽宁高考 如图,网格纸的小正方形的边长是 , . 辽宁高考)如图 辽宁高考 如图,网格纸的小正方形的边长是1, 在其上用粗线画出了某多面体的三视图, 在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面 体最长的一条棱的长为________. . 体最长的一条棱的长为

解析:多面体为四棱锥, 的正方形, 解析:多面体为四棱锥,底面为边长为 2 的正方形, 的棱长垂直于底面,如图所示, 有一条长度为 2 的棱长垂直于底面,如图所示,PA =2,AC=2 2,PC=2 3. , = , =

答案: 答案:2 3

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