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二次函数在闭区间上最值求法讲解


二次函数在闭区间上最值问题
影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素:抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。就高 中学生而言,感到困难的主要是这两类问题:一是动函数定区间,二是定函数动区间。 一、动函数定区间 例 1:求函数 y ? x 2 ? tx (?1 ? x ? 1) 的最小值。 解:函数的对称轴是 x ? ? (1)当 x ? ? (2) x ? ? 当

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t 。 2

t t 在区间 ?- 1, 1? 的左侧时, 则 ? ? ?1 即 t ? 2 时,所以,当 x ? ?1 时, ymin ? 1 ? t ; 2 2

t t t t2 在区间 ?- 1, 1? 上时, 则 -1 ? - 2 ? 1 即 ? 2 ? t ? 2 时, 所以, x ? ? 时 y min ? ? 当 ; 2 2 4

(3)当 x ? ?

t t 在区间 ?- 1, 1? 的右侧时, 则 ? ? 1 即 t ? ?2 时,所以当 x ? 1 时 ymin ? 1 ? t 。 2 2
2

练习: (1)求二次函数 y ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在 x ? ?0, 1? 上的最大值。 (2)求二次函数 y ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在 x ? ?0, 1? 上的最小值。
2

例 2:求 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间 ?0, 2? 上的最大值与最小值。 解: f ( x) ? ( x ? a) 2 ? a 2 ? 1 ,按直线 x ? a 与区间[0,2]的不同位置关系分类讨论: (1)若 a ? 0,则f ( x) min ? f (0) ? ?1 f ( x) max ? f (2) ? 3 ? 4a ; , (2)若 0 ? a ? 1 ,则f ( x) min ? f (a) ? ?a 2 ? 1 f ( x) max ? f (2) ? 3 ? 4a ; , (3)若 1 ? a ? 2,则f ( x) min ? f (a) ? ?a 2 ? 1 f ( x) max ? f (0) ? ?1; , (4)若 a ? 2,则f ( x) min ? f (2) ? 3 ? 4a,f ( x) max ? f (0) ? ?1 。 二、定函数动区间 例 1:求函数 y ? x ? 2x ? 2在t ? x ? t ? 1 上的最小值。
2 2 解: f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 ,按直线x ? 1 与区间 t ? x ? t ? 1 的不同位置关系分类讨论: 2 若 t ? 1 ,则 ymin ?? (t ? 1) ? 1 ;

,即0 ? t ? 1 ,则ymin ? 1 ; 若 t ? 1 ? t ?1
2 若 t ? 1 ? 1 ,即 t ? 0 ,则 y min ? t ? 1。 2 练习:求函数 y ? 2 x ? x ? 1 在区间 t ? x ? t ? 2 上的最小值。

例 2:求函数 y ? x 2 ? 2x ? 2在t ? x ? t ? 1 上的最大值。 解:分析:只要对区间中点是在对称轴 x ? 1 的左侧还是右侧进行讨论就可以了。

t ? t ?1 1 ? 1 ,即 t ? 时,当 x ? t 时, ymax ? t 2 ? 2t ? 2 ; 2 2 t ? t ?1 1 ? 1 ,即 t ? 时,当 x ? t ? 1 时, y max ? t 2 ? 1 。 (2)当 2 2
(1)当 练习:求函数 y ? 2 x 2 ? x ? 1 在区间 t ? x ? t ? 2 上的最大值。


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