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第一课时 等差数列的前n项和


2.2 等差数列的前n项和

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第一章 数列

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第一课时 等差数列的前n项和

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第一章 数列

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1.理解等差数列前n项和公式的推导方法. 2.掌握等差数列的前n项和公式. 3.能利

用等差数列前n项和公式解决实际问题.

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第一章 数列

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1.对等差数列前n项和公式的考查是本课的热点.

2.本课内容常与方程,函数,不等式结合命题.
3.多以选择题和解答题的形式考查.

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第一章 数列

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第一章 数列

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1.我们已经知道,若{an}是等差数列,则an=kn+b,那么, 这里的k,b用a1和d表示分别为k=d,b=a1-d. 2.等差数列有一个最常用的性质,你知道是指的哪一个吗?

在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.

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第一章 数列

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3.某仓库堆放的一堆钢管(如图),最上面的一层有4根钢管,

下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根,怎样计
算这堆钢管的总数呢? 假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管.

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第一章 数列

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这样,每层的钢管数都等于 4+9,共有 6 层.从而原来 6×?4+9? 一堆钢管的总数为 =39. 2 一般地,如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?

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第一单元 中国传统文化主流思想的演变

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1.等差数列的前n项和公式

已知量 求和公式

首项、末项与项数
n?a1+an? Sn= 2

首项、公差与项数
n?n-1? Sn=na1+ 2 d

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第一章 数列

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2.等差数列前n项和的最值

(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为
所以将这些项相加即得{Sn}的最 小 值;

负数 项 ( 或 0) ,

(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为 所以将这些项相加即得{Sn}的最 大 值. 特别地,若a1>0,d>0,则 a1 是{Sn}的最 a1<0,d<0,则 a1 是{Sn}的最 大 值.

正数 项 ( 或 0) ,



值 ; 若

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第一章 数列

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1.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前10项和S10=

(
A.100 B.210

)

C.380
答案: B

D.400

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2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=4,则 公差 d 等于( A.1 C.2 ) 5 B.3 D.3

解析: S3=a1+a2+a3=3a2=6
∴a2=2,d=a3-a2=2.故选C. 答案: C

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3.已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和Sn= ________.

解析: ∵an=-5n+2, ∴{an}为等差数列,且公差 d=-5,首项 a1=-3. n?-3-5n+2? n?5n+1? ∴Sn= =- . 2 2

n?5n+1? 答案: - 2

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4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值 为________.

解析: a3+a17=a1+a19=10 19?a1+a19? 19×10 S19= = 2 =95. 2

答案: 95

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5.等差数列{an}中,a10=30,a20=50.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn=242,求n.

解析: (1)设数列{an}的首项 a1,公差 d.
? ?a10=a1+9d=30, 则? ? ?a20=a1+19d=50, ? ?a1=12, ∴? ? ?d=2

.

∴通项公式 an=a1+(n-1)d=10+2n.

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n?n-1? (2)由 Sn=na1+ d 以及 a1=12,d=2,Sn=242, 2 n?n-1? 得方程 242=12n+ ×2, 2 即 n2+11n-242=0,得 n=11,或 n=-22, ∵n∈N+,∴n=11.

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已知数列{an}是等差数列,

(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求公差d;
(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10; (3)若S10=310,S20=1 220,求Sn.

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利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行求解,要注意 根据条件选用求和公式的形式以及等差数列性质的应用.

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[解题过程]

n?n-1? (1)∵an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ 2 d,

又 a1=1,an=-512,Sn=-1 022, 1+?n-1?d=-512, ? ? ∴? 1 n+ n?n-1?d=-1 022. ? ? 2 解得 n=4,d=-171.

?a1+d+a1+4d=19, ? (2)方法一:由已知可得? 5×4 5a + 2 d=40. ? ? 1 解得 a1=2,d=3.所以 a10=a1+9d=29.
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方法二:由 S5=5a3=40,得 a3=8. 所以 a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19, 得d =3. 所以 a10=a3+7d=8+3×7=29. (3)方法一:由已知:S10=310,S20=1 220,
? ?10a1+45d=310, ∴? ? ?20a1+190d=1 220, ? ?a1=4, 解得? ? ?d=6.

n?n-1? ∴Sn=4n+ 2 · 6=3n2+n.

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第一章 数列

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方法二:由数列{an}为等差数列,可设 Sn=An2+Bn. 由 S10=310,S20=1 220,
? ?100A+10B=310, 得? ? ?400A+20B=1 220, ? ?A=3, 解得? ? ?B=1.

∴Sn=3n2+n.

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第一章 数列

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[题后感悟] a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn 都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知

三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,
这种方法是解决数列问题的基本方法,在具体求解过程中应注 意已知与未知的联系及整体思想的运用.

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第一章 数列

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1.在等差数列{an}中, (1)已知 a6=10,S5=5,求 a8. 48 (2)已知 a2+a4= 5 ,求 S5; (3)已知 a10=12,a20=32,Sn=120,求 an 和 n 的值.

解析: (1)方法一:∵a6=10,S5=5,
? ?a1+5d=10, ∴? ? ?5a1+10d=5, ? ?a1=-5, 解得? ? ?d=3.

∴a8=a6+2d=16.
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第一章 数列

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方法二:∵S6=S5+a6=15, 6?a1+a6? ∴15= ,即 3(a1+10)=15. 2 a6-a1 ∴a1=-5,d= =3. 5 ∴a8=a6+2d=16. 48 (2)方法一:a2+a4=a1+d+a1+3d= , 5 24 所以 a1+2d= 5 . 1 所以 S5=5a1+2×5×(5-1)d=5a1+2×5d

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24 =5(a1+2d)=5× =24. 5
第一章 数列

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方法二:a2+a4=a1+a5, 48 所以 a1+a5= 5 . 5×?a1+a5? 5 48 所以 S5= = × =24. 2 2 5 (3)根据 an=a1+(n-1)d, 由已知 a10=12,a20=32,
? ?a1+9d=12, 得? ? ?a1+19d=32, ? ?a1=-6, 解得? ? ?d=2.

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第一章 数列

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∴数列{an}的通项公式是 an=-6+(n-1)· 2, 即 an=2n-8. 1 1 由 Sn=na1+ n(n-1)d,得-6n+ n(n-1)· 2=120, 2 2 即 n2-7n-120=0. 解得 n=15 或 n=-8(舍),即 n=15.

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第一章 数列

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3 2 205 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n + n,求数列{an} 2 2 的通项公式.

利用数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系 an=
? ?S1 ? ? ?Sn-Sn-1

?n=1? . ?n≥2?

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第一章 数列

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3 205 [解题过程] 当 n=1 时,a1=S1=-2+ 2 =101 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
? 3 ? 205n? ? 3 205 2 2 =?-2n + 2 ?-?-2?n-1? + 2 ?n-1?? ? ? ? ?

=-3n+104. 当 n=1 时,-3n+104=-3×1+104=101, a1 也适合 an=-3n+104, ∴{an}的通项公式为 an=-3n+104.

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第一章 数列

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[题后感悟]

已知前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1,

求得a1,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求an,最后验证a1是否符合an, 若符合则统一用一个解析式表示.若不符合,则通项公式应用 分段式表示.

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第一章 数列

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2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+b,求an. 解析: 当n=1时,a1=S1=3+b. n≥2时,an=Sn-Sn-1=2·3n-1

因此,当b=-1时,a1=2适合an=2·3n-1,
∴an=2·3n-1. 当b≠-1时,a1=3+b不适合an=2·3n-1, ? ?n=1? ?3+b ∴an=? n-1 . ? 3 ?n≥2? ?2·

综上可知,当 b=-1 时,an=2· 3n-1; 当 b≠-1
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? ?n=1? ?3+b 时,an=? n-1 ? 3 ?n≥2? ?2·
第一章 数列

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在等差数列{an}中a1=25,Sn表示其前n项和,且S17=S9,
求Sn的最大值. [策略点睛]

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第一章 数列

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[规范作答] 方法一:由 S17=S9 及 a1=25, 17 9 得 25×17+ (17-1)d=25×9+ (9-1)d.解得 d=-2. 2 2 n ∴Sn=25n+ (n-1)(-2)=-(n-13)2+169. 2 ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169.
方法二:先求出 d=-2,a1=25>0, 1 ? ? ?n≤132, ?an=25-2?n-1?≥0, 由? 得? ? ?an+1=25-2n≤0, ?n≥121 2 ? ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169.
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.

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方法三:由S17=S9,得a10+a11+?+a17=0,

而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0. ∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0, 故n=13时,Sn有最大值169.

方法四:由 d=-2,知 Sn 对应的二次函数图像开口向 下. 9+17 由 S17=S9,知图像的对称轴 n= =13, 2 ∴其图像如图 ∴当 n=13 时,Sn 取得最大值 169.
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第一章 数列

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[题后感悟] 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方 法: (1)由二次函数的最值特征得解 n? n-1? d 2 d Sn=na1+ d= n +(a1- )n 2 2 2 d2 d? ? ? a1-2? d? a1- ?2 2 - =2? ? 2d n+ d ? ? d? 1 a1?2 d?1 a1?2 ? ? - ? . - ? =2?n-? - 2 d ? 2?2 d ? ?
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第一章 数列

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由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N+知,当 n 取 1 a1 最接近 - 的正整数时,Sn 取到最大值(或最小值),值得注 2 d 1 a1 意的是最接近2- d 的正整数有时 1 个,有时 2 个. (2)根据项的正负来定 若 a1>0,d<0,则数列的所有正数项之和最大; 若 a1<0,d>0,则数列的所有负数项之和最小.

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第一章 数列

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3.已知等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,
(1)求公差d的值;

(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
解析: (1)由 11a5=5a8-13 得 11(a1+4d)=5(a1+7d)-13 5 ∵a1=-3,∴d=9.

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第一章 数列

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5 5 32 (2)方法一:an=a1+(n-1)d=-3+(n-1)×9=9n- 9 32 令 an≤0 得 n≤ 5 ∴a1<a2<?<a6<0<a7<?. ∴Sn 的最小值为 6×5 5 29 S6=6a1+ d=6×(-3)+15× =- . 2 9 3 5 方法二:由 a1=-3,d=9,

n?n-1? 5 ∴Sn=-3n+ 2 ×9 5 2 59 =18n -18n,
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第一章 数列

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59 ∴二次函数图像开口向上,且对称轴为 n= , 10 ∵n∈N+, 29 ∴当 n=6 时,Sn 取到最大值,最大值为 S6=- . 3

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第一章 数列

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1.公式的推导方法 n?a1+an? 倒序相加法可直接得到公式①Sn= 2 n?n-1? 分组求和法可直接得到公式②Sn=na1+ 2 d 这两种方法也是数列求和的两个重要方法. 在求等差数列的前 n 项和 Sn 时,若已知 a1,an,n,可 用公式①来解,若已知 a1,n,d,可用公式②求解.

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第一章 数列

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2.等差数列的前n项和公式的应用

(1) 当已知首项、末项和项数时,用前一个公式较为简便;
当已知首项、公差和项数时,用后一个公式较好. (2)两个公式共涉及a1、d、n、an及Sn五个基本量,它们分别 表示等差数列的首项、公差、项数、通项公式及前n项和. 依据方程的思想,在五个基本量中要用其中的几个量求出 余下的量至少需要知道三个基本量,这也就是我们所说的“知 三求二”.

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第一章 数列

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3.数列{an}中 an 与 Sn 的关系 ∵Sn=a1+a2+?+an=Sn-1+an, ∴n=1 时,a1=S1,n≥2 时,an=Sn-Sn-1,
? ?S1 ∴an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n≥2?.

若 S1 满足 Sn-Sn-1,则用统一的形式表示 an;否则,用 分段形式表示 an.

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第一章 数列

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4.等差数列前 n 项和的函数特点 (1)对于等差数列{an},如果 a1、d 是确定的,前 n 项和 n?n-1? d 2 d d d Sn=na1+ 2 d=2n +(a1-2)n.设 A=2,B=a1-2,上式 可写成 Sn=An2+Bn.当 A≠0(即 d≠0)时, Sn 是关于 n 的二次 函数式(常数项为 0),那么(n,Sn)在二次函数 y=Ax2+Bx 的 图像上.
因此,当d≠0时,数列S1,S2,S3,?,Sn的图像是抛物线y =Ax2+Bx上的一群孤立的点.

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第一章 数列

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(2)若数列的前n项和Sn=An2+Bn+C(A,B,C为常数) 当C=0时,{an}一定是等差数列;

当 C≠0 时, {an} 不是等差数列,但当 n≥2 时,所组成的数列
是等差数列.

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第一章 数列

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◎已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n
项和. 【错解】 ∵an=4n-25, ∴an+1=4(n+1)-25,an+1-an=4,a1=4×1-25=-21, ∴数列{an}是以-21为首项,公差为4的等差数列. 从而可得数列{|an|}是以21为首项,以-4为公差的等差数列,

n?n-1? ∴前 n 项和 Sn=21n+ 2 ×(-4)=-2n2+23n.

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第一章 数列

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【错因】 由于没有理解数列{an}与数列{|an|}的各项的特

点,所以导致求解错误.由{an}的通项公式可知,项有正有负,
而数列{|an|}的各项均为非负数,因此数列{an}与数列{|an|}是不 同的数列. 【正解】 ∵an=4n-25, ∴an+1=4(n+1)-25,

an+1-an=4,a1=4×1-25=-21,
∴数列{an}是以-21为首项,公差为4的等差数列.

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第一章 数列

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1 由an≥0,得4n-25≥0,即n≥64, ∴数列{an}中前6项均小于零,从第7项起均大于零, ∴当n≤6时,|a1|+|a2|+?+|an|=-(a1+a2+?+an)=
? ? n?n-1? ? ? 2 -Sn=-?-21n+ =- 2 n +23n. × 4 ? 2 ? ?

当n≥7时,|a1|+|a2|+?+|an| =-(a1+a2+?+a6)+(a7+a8+?+an)

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=(a1+a2+?+an)-2(a1+a2+?+a6)=Sn-2S6 n?n-1? 6?a1+a6? =-21n+ ×4-2× =2n2-23n+132. 2 2 故数列{|an|}的前 n 项和
2 ? - 2 n +23n?n≤6?, ? Sn=? 2 ? ?2n -23n+132?n≥7?.

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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