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1994年全国高中数学联赛试题及详细解析


一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x,不等式 asinx+bco sx+c>0 都成立的充要条 件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (C) (B) a +b =c
2 2

a2+b2<c(D)

a2+b2>c

4 、

已 知 0<b<1 , 0<a<

π logbsina logbcosa , 则 下 列 三 数 : x=(sina) , y=(cosa) , 4

z=(sina)
(A)x<z<y

logbcosa
[来源:Z。xx。k.Com]

(B)y<z<x

(C)z<x<y

(D)x<y<z

5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n-2 π ,π ) n

(B)(

n-1 π ,π ) n

(C)(0,

π ) 2

(D)(

n-2 n-1 π, π) n n

6、在平面直角坐标系中,方程 曲线是 (A)三角形

|x+y| |x-y| + =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的 2a 2b

(B)正方形

[来源:Zxxk.Com]

(C)非正方形的长方形

(D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

第二试 一、 (本题满分 25 分)

x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1, z2, m 均是复数, 且 z1-4z2=16+20i

2

,设这个方程的两个根 α 、β ,满足|α -β |=2 7,求|m|的最大值和最小值.

二、( 本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数 列的第 1000 项。

(1)求 m(G)的最小值 m0.

[来源:学科网 ZXXK]

(2)设 G*是使 m(G*)= m0 的一个图案,若 G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种 颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为顶 点的三边颜色相同的三角形.

1994 年全国高中数学联赛解答
第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x,不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条 件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (C) (B) (D)

a2+b2=c

a2+b2<c

a2+b2>c

【答案】C 【解析】asinx+bcosx+c= a +b sin(x+φ )+c∈[- a +b +c, a +b +c].故选 C. 2、给出下列两个命题:(1)设 a,b,c 都是复数,如果 a +b >c ,则 a +b -c >0.(2) 设 a,b,c 都是复数,如果 a +b -c >0,则 a +b >c .那么下述说法正确的是 (A)命题( 1)正确,命题(2)也正确 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n -6|< (A)5 1 的最小整数 n 是 125 (B)6 【答案】C (C)7 (D)8

1 1 【解析】(an+1-1)=- (an-1),即{ an-1}是以- 为公比的等比数列, 3 3 1 n 1-(- ) 3 1 n-1 1 n 1 1 ∴ an=8(- ) +1. ∴ Sn=8· +n=6+n-6(- ) , ?6· n< , ?n≥7. 选 C. 3 1 3 3 125 1+ 3

5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n-2 π ,π ) n

(B)(

n-1 π ,π ) n

(C)( 0,

π ) 2

(D)(

n-2 n-1 π, π) n n

6、在平面直角坐标系中,方程 曲线是 (A)三角形 (C)非正方形的长方形 【答案】D

|x+y| |x-y| + =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的 2a 2b

(B)正方形 (D)非正方形的菱形

【解析】x+y≥0,x-y≥0 时,(一、四象限角平分线之间):(a+b)x+(b-a)y=2ab;

x+y≥0,x-y<0 时,(一、二象限角平分线之间):(b-a)x+(a+b)y=2ab;

x+y<0,x-y≥0 时,(三、四象限角平分线之间):(a -b)x-(a+b)y=2ab; x+y<0,x-y<0 时,(二、三象限角平分线之间):-(a+b)x+(a-b)y=2ab.
四条直线在 a≠b 时围成一个菱形(非正方形).选 D. 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

?x +sinx-2a=0, π π 2.已知 x,y∈[- , ],a∈R 且? 3 则 cos(x+2y)=. 4 4 ?4y +sinycosy+a=0

3

5 3. 已知点集 A={(x, y)|(x-3)2+(y-4)2≤( )2}, B={(x, y)|(x 2 5 2 -4) +(y-5) >( ) },则点集 A∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整 2
2 2

y

(4,5)

数的点)的个数为. 【答案】7 【解析】如图可知,共有 7 个点,即(1,3),(1,4),(1,5), (2,2),(2,3),(3,2),(4,2)共 7 点.
[来源:学|科|网]

(3,4)
3 2 1

O

1

2

3

x

5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 α ,则 sinα =.

【答案】

3 3
A'

D' B' D

C'

【解析】12 条棱只有三个方向,故只要取如图中 AA?与平面

C B

AB?D?所成角即可.设 AA?=1,则 A?C= 3,A?C⊥平面 AB?D?,A?C 被
平面 AB?D?、BDC?三等分.于是 sinα = 3 . 3

A

第二试 一、 (本题满分 25 分)

x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1, z2, m 均是复数, 且 z1-4z2=16+20i,

2

设这个方程的两个根 α 、β ,满足|α -β |=2 7,求|m|的最大值和最小值. 【解析】设 m=a+ bi(a,b∈R).则△=z1 -4z2-4m=16+20i-4a-4bi=4[(4-a)+(5-
2

b)i].设△的平方根为 u+vi.(u,v∈R)

二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数 列的第 1000 项。 1 1 【解析】 由 105=3×5×7; 故不超过 105 而与 105 互质的正整数有 105×(1- )(1- )(1 3 5 1 - )=48 个。1000=48×20+48-8, 105×20=2100.而在不超过 105 的与 105 互质的数中第 7 40 个数是 86. ∴ 所求数为 2186。

由Δ ACH 为正三角形,易证 IC+IA=IH.

由 OH=2R.∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R. 设∠OHI=α ,则 0<α <30°. ∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα +cosα )=2R 2sin(α +45°) 又 α +45°<75°,故 IO+IA+IC<2 2R( 6+ 2)/4=R(1+ 3)

四、 (本题满分 35 分) 给定平面上的点集 P={P1,P2,…,P1994},P 中任三点均不共线, 将 P 中的所有的点任意分成 83 组,使得每组至少有 3 个点,且每点恰 好属于一组,然后将 在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案 G, 不同 的分组方式得到不同的图案, 将 图案 G 中所含的以 P 中的点为顶点的三角形个数记为 m(G). (1)求 m(G)的最小值 m0. (2)设 G*是使 m(G*)=m0 的一个图案,若 G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种 颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为 顶点的三边颜色相同的三角形.

[来源:学+科+网]

于是可知,只有当各 ni 的值相差不超过 1 时,m(G)才能取得最小值. 1994=83×24+2.故当 81 组中有 24 个点,2 组中有 25 个点时,m(G)达 到最小值.

m0=81C24+2C25=81× 2024+2×2300=168544.

3

3


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