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江苏省南京师大附中江宁分校2011-2012学年高二下学期期末调研数学试卷

时间:2015-01-03


数学 I 试题 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 已知集合 A ? ?? 1, 2, 4?, B ? ?0, 2, 6?,则 A ? B ? _________.

2. 如果复数 ?1 ? i ??1 ? mi? 是实数,则实数 m ? _________.

3. 已知 cos x ?


3? ?? ? 0 ? x ? ? ,则 sin 2 x 的值为_________. 5? 2?

4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m , n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线

x ? y ? 5 上的概率为_________.

5. 已知函数 f ? x ? ? ?

?? x ? 2, x ? 0 ,则 f ? f ?? 2?? 的值为_________. ?log 2 x, x ? 0

6. 执行下边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ? _________.

【答案】

15 16

7. 直线 y ? x ? b 平分圆的周长,则 b ? __________.

8. 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 前三项的和为 21, 则 a4 ? a5 ? a6 ? __________. a1 ? 3 ,

?y ? x ? 1 ? 9. 已知 实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,若 z ? 3x ? y 在 ?x, y ? 处取得最小值,则此 时 ?? 2 x ? y ? 2 ?

?x, y ? ? __________.
【 答 案 】 (-1,0) 【 解 析 】当 直 线 z=3x-y 经 过 直 线 -2x+y=2 与 直 线 y-x=1 的 交 点 (-1,0) 时 ,z 取 得 最小值.

10. 在 R 上定义运算⊙: a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x ⊙ ?x ? 2? ? 0 的实数 x 的取值范 围是__________.

11. 在△ABC 中, ∠BAC=90°, AB=6, D 为斜边 BC 的中点, 则 AB ? AD 的值为__________.

12. 已知函数 f ?x ? ? 2 sin? x ?

? ?

??

? ?? ?, x ? ?0, ? ,则该函数的值域为__________. 6? ? 2?

13. 把数列 ?

?1? ? 的所有项按照从大到小,左大右小的原则写成如图所示的数表,第 k 行有 ? 2n ?
1 可记为_________. 2012

2 k ?1 个数,第 k 行的第 s 个数(从左数起)记为 ?k , s ? ,则

14. 如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动,设顶点 P?x, y ? 的纵坐标与横坐标 的函数关系式是 y ? f ?x ? , y ? f ?x ? 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积记 为 S,则 S=__________.

由图可知,其两个零点之间所围成的面积为以 1 为半径的 2 个 即S ?

2? . 3

1 2? 圆,故其面积是 , 3 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,AB= 2 ,BC=1, cos C ?

3 . 4

(1)求 sin A 的值;(2)求 BC ? CA 的值. 【 答 案 】 (1)在△ABC 中,∵ cos C ?

3 7 ,∴ sin C ? 4 4

由正弦定理得:

1 c 1 ? ,即 ? sin A sin C sin A

2 7 4

,∴ sin A ?

14 .(7 分) 8

16. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE.

(1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD.

【 解 析 】 (I) 证 明 : 因 为 BC ? 平面ABE, ? AE ? BC,再证:AE ? EB 即 可 . (II) 设 BD 与 AC 的 交 点 为 H, 连 接 HF, 则 HF//AE, 从 而 问 题 得 证 . 17. (本小题满分 14 分)

如图,在半径为 30 cm 的

1 圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC,其中点 B 4

在圆弧上,点 A、C 在两 半径上,现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形
3 罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长 AB ? xcm ,圆柱的体积为 Vcm .

(1)写出体积 V 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大?

900? x 2 ? 2?r ,可得 r 2 ?

900 ? x 2 900 ? x 2 2 V ? ? r x ? ? ? ?x, ,所以 4? 2 4? 2

(2)利用导数求 V 的最大值即可. 18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

a 2 的定义域为(0, ? ? ),且 f ?2? ? 2 ? ,设点 P 是函数图象上 x 2

的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M、N. (1)求 a 的值; (2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由; (3)设 O 为坐标原点 ,求四边形 OMPN 面积的最小值.

(3)设 p( x0 , x0 ?
y ? ( x0 ? 2 ) ?? ( x ? x0 ) x0

2 2 ) ,则直线 PM:y- ( x0 ? ) =- ( x ? x0 ) x0 x0
2 2 , x0 ? ) 2 x0 2 x0
? 1 1 2 1 ? ? x ? ? 2 0 2 ?x 2 x0 ? 0 2

由 {y ? x

得 M( x0 ?

S OMPN ? S △OPN ? S △OPM ?

1? 2? 1? 1 ? x0 ? ? ? x0 ? ? 2 x0 ? 2? x0 ? 2? x0 ? ? ?

?

1? 2 1 ? 1 ? x0 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 ? 2 ? 1? 2 ? ? 2? 2 x0 ?

当且仅当 x0 ?
2

1 ,即 x0 ? 1 时取等号,故四边形 OMPN 面积的最小值 1 ? 2 .(16 分) 2 x0

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左、 右顶点分别 A、 B, 椭圆过点 (0, 1) 且离心率 e ? . 2 2 a b

(1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆上异于 A,B 两点的任意一点 P 作 PH⊥ x 轴,H 为垂足,延长 HP 到点 Q,且 PQ=HP,过点 B 作直线 l ? x 轴,连结 AQ 并延长交直线 l 于点 M,N 为 MB 的中点,试判 断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系.

【 答 案 】(1)因为椭圆经过点(0,1),所以 b ? 1 ,又椭圆的离心率 e ?
2 2 2 2 2 2 2 即 3a ? 4c ,由 a ? b ? c 得 a ? 1 ? c ,所以 a ? 2 ,

3 c 3 得 ? , 2 a 2

故所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 .(6 分) 4

又B (2, 0) , N 为 MB 的中点, ∴ N? ? 2,

? ?

? 2 x0 y 0 ? 4 y0 ? ? ? NQ ? ? x0 ? 2, , OQ ? ?x0 , 2 y0 ?, ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? ?

2 2 x0 y 0 4 x0 y 0 ∴ OQ ? NQ OQ ? NQ ? x0 ?x0 ? 2? ? 2 y0 ? ? x0 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2

? x0 ?x0 ? 2? ? x0 ?2 ? x0 ? ? 0 ,∴ OQ ? NQ ,∴直线 QN 与圆 O 相切.(16 分)

20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,令 bn ? an ? an?1 ,数列 ? 和为 Tn . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证: Tn ?

?1? ? 的前 n 项 ? bn ?

1 ; 3

(3) 是否存在正整数 m , n , 且1 ? m ? n , 使得 T1 , 求出 m , n Tm , Tn 成等比数列?若存在,

的值,若不存在,请说明理由. 【答案】 (1) 设数列 ?an ? 的公差为 d , 由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12. 解得 a1 ? 1 , d ? 3 ,∴ an ? 3n ? 2 .(4 分) (2)∵ an ? 3n ? 2 , an?1 ? 3n ? 1,∴ bn ? an ? an?1 ? ?3n ? 2??3n ? 1? ∴

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bn ?3n ? 2??3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?
1? 1 ? 1 ?1 ? ? ? .(8 分) 3 ? 3n ? 1 ? 3

∴ Tn ?

当 m ? 7 时, m2 ? 6m ? 1 ? ?m ? 3? ? 10 ? 0 ,则
2

6m ? 1 3n ? 4 4 ? 1 ,而 ? 3? ? 3, 2 n n m

所以,此时不存在正整数 m , n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. 综上,存在正整数 m ? 2, n ? 16,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列.(16 分)

数学 II(附加题) 21. [选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内 作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A. [选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 外一点,且 AC=AB,BC 交⊙O 于点 D. 已知 BC=4,AD=6,AC 交⊙O 于点 E,求四边形 ABDE 的周长.

B. [选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知二阶矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为 ?

?1 ? ? ,属于特征值 3 的一个特征向量 ?? 3?

为 ? ? ,求矩阵 A. 【 答 案 】 [选修 4-2:矩阵与变换] 解:设 A ? ?

?1? ?1?

?a b ? ? ?c d ?

则?

?a b ? ?1 ? ?1 ? ?? 1? ? ? ? ? ?? 1?? ? ? ? ? ? ?c d ? ?? 3? ?? 3? ?3 ?

?a b ? ?1? ?1? ?3? ?c d ? ? ?1? ? 3 ? ?1? ? ?3? ? ? ?? ?? ? ?

?a ? 3b ? ?1 ?a ? 2 ?c ? 3d ? 3 ?b ? 1 ? ? ∴? ?? ?a ? b ? 3 ?c ? 3 ? ? ?c ? d ? 3 ?d ? 0
∴A??

?2 ?3

1? 0? ?

【 解 析 】根据特征值的定义可知 Aα =λ α ,利用待定系数法建立四个等式关系,解四元一 次方程组即可. C. [选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 已知直线 l 的参数方程: ?

?x ? t, ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? y ? 1 ? 2t ,

? ? 2 2si n ?? ?

? ?

??

? ,判断直线 l 和⊙C 的位置关系. 4?

【解析】 将直 线 l 化成普通方程 ,得 2x-y+1=0 .再将 圆 C 的 方程化成普通方程 :

x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,得到圆心为点 C(1,1),半径 r ? 2 ,最后求出点 C 到直线 l 的
距离 d 小于半径 r,得到直线 l 与圆 C 相交. D. [选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)

m3 n3 ? ? m2 ? n2 . 已知 m, n 是正数,证明: n m
【 答 案 】 [选修 4-5:不等式选讲] 证明:∵

m3 n3 m3 ? n3 n3 ? m3 m 3 ? n 3 ?m ? n ? ? ? m2 ? n2 ? ? ? n m n m nm

?

?

2 ? m ? n ? ?m 2 ? m n ? n 2 ? ,又 m , ?

n

n 均为正整数,



m3 n3 ? ? m2 ? n2 . n m

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥ 平面 ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4,求二面角 B ? PC ? A 的余弦值.

【 答 案 】 证明:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(-2, 4, 0) , D (-2, 0, 0) , P (0, 0, 4) , 易证 BD 为面 PAC 的法向量, 则 BD ? ?? 2, ? 1, 0?

设面 PBC 的法向量 n ? ?a, b, c ? ,

PB ? ?0, 1, ? 4? , BC ? ?? 2, 3, 0?
所以 ?

? ?n ? PB ? 0

?b ? 4c ?? 2a ? 3b ? ?n ? BC ? 0 ?

所以面 PBC 的法向量 n ? ?6, 4, 1?

∴ cos ? ?

BD ? n | BD || n |

?

? 12 ? 4 5 ? 53

?

? 16 265

23. (本小题满分 10 分) 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (1)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (2)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (3)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列,并求其数学期望 E( ? ).


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