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2017年成都第一次诊断考试试题文科数学

时间:2017-10-17


2017 年成都第一次诊断考试试题及答案(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设集合 U ? R, A ? x | ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ,则 ? UA? (A)

?

?

? ??,?1? ? ? 2,??? (B) ??1,2? (C) ? ??,?1? ? ?2,???

(D)

? ?1,2?

(2) 命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆命题是 (A)若 a ? b ,则 a ? c ≤ b ? c (B)若 a ? c ≤ b ? c ,则 a ≤ b (C)若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b (D)若 a ≤ b ,则 a ? c ≤ b ? c (3)双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 4 5

(A)4(B)

3 5 (C ) 5

5 (D) 3 2 2

4 ,则 cos ? ? ? ? 5 3 3 4 4 (A) ? (B) (C) ? (D) 5 5 5 5 (5)执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为 0,那么 输入的 x 为 1 (A) (B) -1 或 1(C)-1(D)1 9 (6)已知 x 与 y 之间的一组数据: x 1 2 3 4 y m 3.2 4.8 7.5
(4)已知 ? 为锐角,且 sin? ? 若 y 关于 x 的线性回归方程为 ? y ? 2.1x ? 1.25 ,则 m 的值为 (A)1 (B)0.85 (C) 0.7 (D) 0.5

?

?

3 3 (7)定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 3? ? f ? x? ,当 ?0 , ? ? 时, f ? x ? ? ? x ,则 ? ? 2?

? 11 ? f ? ?= ?2?
1 1 125 125 (B) (C) ? (D) 8 8 8 8 (8)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某四棱锥的三 视图,则该四棱锥的所有棱中,最长的棱的长度为
(A) ?

(A) 41 (B) (9)将函数

34 (C) 5 (D) 3

2

f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的图象上的所有点向右平移 个单位长度,得到函数

? 6

g ? x ? 的图象,则该图象的一个对称中心是
(A)(

?? ? ? ? ? , 0)(B)( , 0)(C) ( ? , 0) (D) ? , 0 ? 12 3 4 ?2 ?

( 10 ) 在 直 三 棱 柱 A B C? 1 A1 BC , AC , 1 AC AB 1中 , 平 面 ? 与 棱 AB 1, 1 1分 别 交 于 点 且 AA 有下列三个命题: ①四边形 EFGH 是平行四边形; ②平面 ? ∥ E , F , G, H , 1 // 平面 ? , 平面 BCC1 B1 ;③平面 ? ? 平面 BCFE .其中正确的命题有 (A) ①②(B) ②③(C)①③(D)①②③

??? ? 5 ??? ? 2 ??? ? ??? ? (11) 已知 A, B 是圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上的两个动点, AB =2 , 若点 M OC ? OA ? OB , 3 3
是 AB 的中点,则 OC ? OM 的值为 (A)3(B) 2 3 (C)2(D) ?3 (12)已知曲线 C1:y ? tx ? y ? 0,t ? 0? 在点 M ?
2

??? ? ???? ?

?4 ? , 2 ? 处的切线与曲线 C2:y ? ex?1 ? 1 ?t ?

也相切,则 t 的值为 (A) 4e 2 (B) 4e (C) e (D)
4
2

e 4 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2i (13)复数 z ? ( i 为虚数单位)的虚部为 . 1? i (14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理) : “幂势既同,则积不 容异”.“势”即是高, “幂”是面积.意思是,如果两等高 的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等, 那么这两 个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面 直角坐标系中,图 1 是一个形状不规则的封闭图形,图 2 是一个矩形,且当实数 t 取 ?0, 4? 上的任意值时,直线

y ? t 被图 1 和图 2 所截得的线段长始终相等,则图 1 的
面积为 .

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? (15)若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 3x ? y 的最大值为 ?x ?1 ? 0 ?
(16)已知 ?ABC 中, AC ? 上存在点 D,使 ?BDC ?

.

2 ,BC ? 6 , ?ABC 的面积为

3 ,若线段 BA 的延长线 2

? ,则 CD ? . 4 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 某省 2016 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分 制,发布成绩使用等级制.各等级划分标准为:85 分及以上, 记为 A 等;分数在 [70,85) 内,记为 B 等;分数在 [60, 70) 内,
记为 C 等;60 分以下,记为 D 等.同时认定 A,B,C 为合格,D 为 不合格.已知甲, 乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100] 内,为了比较两校学生的情况,分别抽取 50 名学生的原始成绩 作 为 样 本 进 行 统 计 . 按 照 的 分0 组 作,出 甲 校 0 [ 5 0 , 6 0 ) , [ 6 7

)

,

[

7

0

,

8

0

)

的样本频率分布直方图如图 1 所示,作出乙校的样本中等级为 C,D 的所有数据的茎叶图如图 2 所示. (I)求图中 x 的值,并根据样本数据比较甲乙两校的合格 率; (II)在乙校的样本中,从成绩等级为 C,D 的学生中随机抽取 2 名学 生进行调研,求抽出的 2 名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 的概率. (18) (本小题满分 12 分) 在等比数列

?an ? 中, a4 ? 8a1 ,且 a1,a2 ? 1,a3 成等差数列. ?an ? 的通项公式;
? ?

(I)求数列

(II)求数列 an ? 4 的前 n 项和 Sn . (19) (本小题满分 12 分) 如图 1,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,BD 与 EF 交于点 H,点 G, R 分别在线段 DH,HB 上,且

DG BR BEF 分别沿 DE,DF ,EF ,将 ?AED, ?CFD, ? ? GH RH

折起,使点 A,B,C 重合于点 P,如图 2 所示. (I)求证: GR ? 平面 PEF ; (II)若正方形 ABCD 的边长为 4,求三棱锥 P ? DEF 的内切球的半径.

(20) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,记直线 l:x ? 5 与 x 轴的交点为 E ,过点 F 且 已知椭圆 5 4
斜率为 k 的直线 l1 与椭圆交于 A,B 两点,点 M 为线段 EF 的中点.

? ,求 AB 的值; 4 (II)设直线 AM 交直线 l 于点 N ,证明:直 线 BN ? l .
(I)若直线 l1 的倾斜角为 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数

f ? x ? ? x ln x ? (1 ? k ) x ? k , k ? R . f ? x ? 的单调区间; f ? x ? ? 0 恒成立的最大整数 k 的值.

(I)若 k ? 1 ,求

(II)当 x ? 1 时,求使不等式

请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分.
(22) (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程

(? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为 ?

? ? x ? 1 ? t cos ? ) 的直线 l 的参数方程为 ? 2 ? y ? t sin ?

( t 为参数) .以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐 标方程是 ? cos
2

? ? 4sin ? ? 0 .

(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; ? (Ⅱ) 已知点 P (1,0) , 点 M 的极坐标为 (1, ) , 直线 l 经过点 M 且与曲线 C 相交于 A, B 2 两点,设线段 AB 的中点为 Q,求 PQ 的值. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲

已知函数

f ? x ? ? x ? 1 ? 3 ? x ,x ≥ ?1 . f ? x ? ≤ 6 的解集;

(Ⅰ)求不等式 (Ⅱ)若

f ? x ? 的最小值为 n ,正数 a , b 满足 2nab ? a ? 2b ,求 2a ? b 的最小值.


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