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四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二数学12月月考试题 理


绵阳南山中学 2015 年秋季高 2017 届 12 月月考数学试题
满分:100 分,考试时间:100 分钟 一、选择题:本题共 12 题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题的四个选项中,只有一个正 确答案,把正确答案填涂在机读卡上。 1.已知点 A(0,4),B(4,0)在直线 l 上,则 l 的方程为( A.x+y-4=0 C.x+y+4=0 B.x-y-4=

0 D.x-y+4=0 )

2. 质点在数轴上的区间[0,2]上运动,假定质点出现在该区间各点处的概率相等,那么质 点落 在区间[0,1]上的概率为( 1 A. 4 1 B. 3 ) 1 C. 2 D.以上都不对 )

3.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( A. ?4 B. ?6 C. ?8 D. ?10

4.如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估平均数与中位数分别 是( ) B.12.5、13 D.13、13

A.12.5、12.5 C.13、12.5

5.一个 均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6,将这个玩具向 上抛掷 1 次,设事件 A 表示“向上的一面出现的点数不小于 3” ,事件 B 表示“向上的一面 出现奇数点” ,事件 C 表示“向上的一面出现的点数不超过 2” ,则( A. A 与 B 是互斥而非对立事件 C. A 与 C 是互斥而非对立事件
2 2

)

B. A 与 B 是对立事件 D. A 与 C 是对立事件

6.已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? 2) ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,当直线 l 被 C 截得的 弦长为 2 3 时,则 a ? ( A. 2 7. 如果方程 A. (?2,?1) ) C. 2 ? 1 D. 2 ? 1 ) D. (?3,?2)

B. 2 ? 2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是( m ? 2 m ?1
B. (??,?2) ? (?1,??) C. (?1,1)

8.某单位为了制定节能减排的目标,先调查了用电量 y (单位:度)与气温 x (单位:?c )
1

之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表:

x (单位: ?c )
y (单位:度)

17

14
34

10

?1
64
)

24
?

38

由表中数据得线性回归方程: y ? ?2 x ? a .当气温为 20 ?c 时,预测用电量约为( A. 5 B.10 C. 16 D. 20 )

9. 执行如图所示的程序框图,输出的 T ? ( A.29 B.44 C.52

开始

D.62
S ? 3, n ? 1,T ? 2


10.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线 交抛物线于 A, B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 3,则 该抛物线的准线方程为( A. x ? 1 B.x ? 2 ) C. x ? ?1 D. x ? ?2

T ? 2S ?

S ? S ?3 n ? n +1 T ? T +3n

输出T
结束

11.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 若 am?1 ? am?1 ? 2am (m ? 2) ,数列 ?an ? 的前 n 项积为 Tn , 若 T2m?1 ? 512 ,则 m 的值为( A.4 B.5 ) C.6 D.7

12. 我们把由半椭圆
2

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0 ) 与半椭圆 ? ? 1( x ? 0) 合成的曲线称 a2 b2 b2 c2
2 2

作“果圆” (其中 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 ) 。如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭 圆的焦点,A1、A2 和 B1、B 2 是“果圆”与 x,y 轴的交点 ,若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形,则 a,b 的值分别为( A.5,4 B. 3,1 C.5,3 )

1 7 ,1 D,. 2 3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 , 12 分。 5 13. 为了调查城市 PM 2.5 的值,按地域把长三角地区 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对 应的城市数分 别为 6 、 12 、 18 ,若用分层抽样的方法 抽取 12 个城市,则乙组中应抽 取的城市数为 .

1 1 1 14. 已知数列{an}的首项 a1= ,且满足 = +2(n∈N+),则 a1 007=________. 3 an+1 an

2

15. 过圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 外一点 A(2, ?2) , 引圆的两条切线, 切点为 T1 , T2 , 则直线 TT 1 2的 一般式方程为 16.已知 F 是双曲线 于 D,且 | DF |? .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,A 为右顶点,上下虚轴端点 B、C,若 FB 交 CA a2 b2
.

5 | DA | ,则此双曲线的 离心率为 2

三、解答题:本大题共 4 题 ,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 7.在某次数学测试中,记答对题数:大于或等于 6 道为合格,小于 6 道为不合格。现从 A,B 两个班级随机抽取 5 人,将他们答对的题数分别记录如下: A班 B班 5 5 4 8 7 8 9 8

m

n

由于表格受损,数据 m,n 看不清,统计人员只记得 m<n,且在抽取的数据中,A 班的平均 数比 B 班的平均数多 1 道题,两班数据的方差相同 (1)求表格中 m 和 n 的值; (2)若从抽取的 B 班 5 人中任取 2 人,求 2 人都合格的概率.

18.数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,且 an ? Sn ? ?2n ? 1 ( n ? N* ) . (1)证明数列 ?an ? 2? 为等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若 bn ? log 2
n 1 1 ?1. ,证明: ? an ? 2 k ?1 bk bk ?1

3

19.已知点 P(2,0) ,圆 C 的圆心在直线 x﹣y﹣5=0 上且与 y 轴切于点 M(0,﹣2). (1)求圆 C 的标准方程; (2)设直线 ax﹣y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,过点 P 的直线 l 垂直平分弦 AB,这样的实 数 a 是否存在,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

20. 已知圆 C1 : ( x + 1) + y = 8 ,点 C2 (1 , 0) ,点 Q 在圆 C1 上运动, QC2 的垂直平分 线交 QC1 于点 P . (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (2)设 M 、N 分别是曲线 W 上的两个不同点,且点 M 在第一象限,点 N 在第三象限,若

2

2

OM ? 2ON ? 2OC1 , O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率 kMN ;
( 3)过点 S ? 0, ? ? 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在定点

? ?

1? 3?

D ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由.

4

12 月月考 参考答案 一、选择题:ACBDD 二、填空题:13. 三、解答题: 17.解: (1)A 班平均数为 方差为 = ....3 分 ∵A 班的平均数比 B 班的平均数多 1 道题,两班数据的方差相同 ∴ ............... .............4 分 由 m<n,解得 m=4, , ........................ =7, CADAC BD

4;14.

1 2 3 ;15.2x-5y-10=0;16. 2 015 3 .

n=7

............................5 分

(2)由(1)的结果可知,B 班 5 个人中,2 人不合格,3 人合 格, .............. ..............6 分 分别设为 a,b,1,2,3,从 B 班 5 人中任抽取 2 人共有 10 种情况:

ab,a1,a2,a3,b1,b2,b3,12,13,23,它们是等可能
的. .............................8 分

其中满足条件的有 3 种:12,13,23,故两人都合格的概率为 . .................... ........10 分 18.解: (1)因为 an ? Sn ? ?2n ? 1 ,所以 an ?1 ? Sn ?1 ? ?2n ? 3 , 两式相减,有 an ?1 ? an ? Sn ?1 ? Sn ? ?2 ,即

1 an ?1 ? an ? 1 , 2
所以 an ?1 ? 2 ?

.............................2 分

a ?2 1 3 1 ? an ? 2 ? , n?1 ? . 又因为当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3 ,所以 a1 ? ? . an ? 2 2 2 2

5

所以数列 ?an ? 2? 是首项为 a1 ? 2 ? 列,

1 1 ,公比为 q ? 的等比数 2 2

.............................4 分
1 ?1? ?? ? 2 ?2?
n ?1

(2) 由(1)得, an ? 2 ? ? a1 ? 2 ? q n ?1 ?
1? 所以 an ? ? ? ? ?2. ?2?
n

?1? ?? ? , ?2?

n

.............................6 分 (3)由(2)得 bn ? log 2
1 ? log 2 2n ? n . an ? 2

.............................7 分 所以

1 1 1 1 . ? ? ? bn bn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1
.............................8 分

所以

1 1 1 1 1? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 ? 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n ?1 n ?

n 1 ? 1 1 ?1 ?? ? ? 1 ,即 ? ?1. ? ?1? n ?1 ? n n ?1? k ?1 bk bk ?1

.............................10 分 19. 解: (1)∵圆 C 的圆心在直线 x﹣y﹣5=0 上且与 y 轴切于点 M(0,﹣2) , ∴设圆心坐标为 C(a,b) ,则 ,

解得 a=3,b=﹣2,∴圆心 C(3,﹣2) ,半径 r=|MC|=3, 故圆的标准方程为 (x﹣3)+ (y+2)=9 分 (2)把直线 ax﹣y+1=0,即 y=ax+1.代入圆 C 的方程, 消去 y,整理得(a +1)x +6(a﹣1)x+9=0. 由于直线 ax﹣y﹣1=0 交圆 C 于 A,B 两点, 故△=36 (a﹣1)﹣36 (a +1) >0, 即﹣2a>0, 解得 a<0. ............................7 分 设符合条件的实数 a 存在, 由于 l2 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,﹣2)必在 l2 上.
2 2 2 2 2 2

............................5

6

所以 l2 的斜率 kPC=﹣2,而 . 由于 在.

,所以

............................9 分 ,故满足题意的实数 a 不存 ............................10 分

20.解:(1)因为 QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 p ,所以 PQ ? PC2 ,

? PC2 ? PC1 ? PC1 ? PQ ? QC1 ? 2 2 ? C1C2 ? 2 . 所 以 动 点 P 的 轨 迹 W 是 以 点

C1 ,C2 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆.
设椭圆的方程为 则 动

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,则 2a ? 2 2 , 2c ? 2,b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 . a 2 b2

P







W









x2 ? y2 ? 1 2

.............................2 分

(2)设 M ? a1 ,b1 ? ,N ? a2 ,b2 ? 则 a12 ? 2b12 ? a2 2 ? 2b2 2 ? 2 .------------① 因为 OM ? 2ON ? 2OC1 ,则 a1 ? 2a2 ? ?2,b1 ? 2b2 ? 0 .-------② 由 ① ② 解 得

a1 ?

1 2

,

1

?

1 b 4

4
2

?

4

,

5

2

1 4 a? ...................... ? , b ... 8

.... 4 分 所 以 直 线

MN







kMN ?

b2 ? b1 3 14 ? a2 ? a1 14

.............................5 分

(3)直线 l 方程为 y ? kx ?

1 ,联立直线和椭圆的方程得: 3

1 ? y ? kx ? ? ? 3 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?2

得 9(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0

由 题 意 知 : 点 S (0,? ) 在 椭 圆 内 部 , 所 以 直 线 l 与 椭 圆 必 交 与 两

1 3

7

点, 设

....................... ......6 分

A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ).
4k 16 , x1 x2 ? ? 2 3(1 ? 2k ) 9(1 ? 2k 2 )
??? ?



x1 ? x2 ?

............... ..............7 分

假设在 y 轴上存在定点 D(0, m) ,满足题设,则 DA ? ( x1 , y1 ? m), DB ? ( x2 , y2 ? m) 因为以 AB 为直径的圆恒过点 D , 则

??? ?

??? ? ??? ? DA ? DB ? ( x1 , y1 ? m) ? ( x2 , y2 ? m) ? 0





:

x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? 0

(*)...........................8 分

1 1 3 3 2 则(*) 左边变为 x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? x1 x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m
因为 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ?

1 1 1 1 ? x1 x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? ? kx2 ? ) ? m 2 3 3 3 3 1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( ? m)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m ? 3 3 9

??

2 2 2 16(k 2 ? 1) 1 4k 2 1 ? k ( ? m) ? m 2 ? m ? ? 18(m ? 1)k ? (9m ? 6m ? 15) 2 2 9(2k ? 1) 3 3(2k ? 1) 3 9 9(2k 2 ? 1)

?

???9 分

?

18 ? m2 ? 1? k 2 ? ? 9m2 ? 6m ? 15 ? 9 ? 2k 2 ? 1?

??? ? ??? ? ? 0 由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立,

即?

?m 2 ? 1 ? 0 ? 解得 m ? 1 2 ? ?9m ? 6m ? 15 ? 0
..... ........................10 分

因此,在 y 轴上存在满足条件的定点 D ,点 D 的坐标为

(0,1)

8


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